精品解析：甘肃省庄浪县紫荆中学2024-2025学年高一新生入学考试数学试题

2024年紫荆中学高一入学考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，只交回答题卡，本试卷自己保留. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则x的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 点关于y轴对称的点的坐标是（  ） A. B. C. D. 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 函数定义域为（    ） A. B. C. D. 8. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列公式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 若为任意实数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式组的所有整数解的和为是 _____． 13. 方程组的解集为___________． 14. 若多项式含有因式，则m的值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算或求值： （1）． （2）． （3）已知，，求的值． 16. 把下列各式因式分解： （1） （2） （3） （4） 17. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） 18. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍. （1）甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”； ； ； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年紫荆中学高一入学考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，只交回答题卡，本试卷自己保留. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合交集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 若，则x的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得到，解得，再与四个选项分别比对即可. 【详解】由已知有，故，解得. 符合题意的选项只有D选项的2. 故选：D． 3. 点关于y轴对称的点的坐标是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数先求出该点坐标，关于y轴对称后，y不变，x相反 【详解】∵， ∴， 关于轴对称点的坐标是． 故选：A． 4. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由算术平方根与立方根的定义判断. 【详解】由算术平方根的定义，，A错误； 由立方根定义，，B错误； ，C错误； ，，D正确. 故选：D 5. 如图，为的直径，为的切线，连结交于点，连结．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质求出，根据圆周角定理求出是解决问题的关键． 【详解】， ， 为的切线， ， ， 故选：B． 6. 若，是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理，可得答案. 【详解】由题意，，则， 故选：D. 7. 函数定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据具体函数的解析式列不等式，解不等式可得解. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为， 故选：C. 8. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，即函数的值域为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义确定正确答案. 【详解】根据函数的定义可知，一个有唯一的与其对应， 所以AC选项错误，BD选项正确. 故选：BD 10. 下列公式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数学运算有关公式确定正确选项. 【详解】，A正确， ，B正确， ，C正确， ，D错误. 故选：ABC 11. 如图，抛物线的对称轴是直线，并与轴交于，两点，若，则下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 若为任意实数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴、图象进行分析，由此确定正确答案. 【详解】由图可知， 设的横坐标分别为，则， 而，即，则， 故，则， 所以，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项正确. ，所以，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式组的所有整数解的和为是 _____． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求其整数解即可. 【详解】由得， 由得， 所以不等式组的解集为， 则整数解为，故和为0. 故答案为：0. 13. 方程组的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程组的解法，利用消元法，即可求解. 【详解】由方程组， ①+②，可得，，可得， 联立方程组，解得， 代入①式，可得， 所以方程组的解集为. 故答案是： 14. 若多项式含有因式，则m的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可设：另一个因式为，代入运算即可. 【详解】由题意可设：另一个因式为， 则， 可得，解得， 所以m的值是2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算或求值： （1）． （2）． （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式、特殊角三角函数值、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． （3）由，两边平方，代入数据，即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 由，两边平方得：， 又因为，所以 16. 把下列各式因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式； （2）利用立方差公式计算即可； （3）利用十字相乘法、分组分解法分解因式； （4）利用完全平方公式和平方差公式计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 . 17. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可； （2）分类讨论即可求解不等式； （3）移项通分得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 可化为 ， 所以解为 【小问2详解】 当时，不等式可化为， 此时不等式解为； 当时，不等式可化为， 此时不等式无解； 当时，不等式可化为， 此时不等式解为； 综上：原不等式的解为或. 【小问3详解】 原不等式可化为， 与同解， 所以不等式的解为：或. 18. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍. （1）甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？ 【答案】（1）元，元； （2）个. 【解析】 【分析】（1）设出两种粽子的单价，可列方程求解即可； （2）假设最多购进甲种粽子的个数，可列不等式来求解. 【小问1详解】 设乙种粽子的单价为元，则甲种粽子的单价是元， 由题意可得：，去分母得：， 解得，经检验，是原方程的解，则， 所以甲、乙两种粽子的单价分别是8元和4元. 【小问2详解】 假设最多购进个甲种粽子，则乙种粽子购进个， 由题意得：， 整理得：， 解得： 所以最多购进87个甲种粽子. 19. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”； ； ； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】（1）不是“邻根方程”， 是 “邻根方程” （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求出、的根，即可判断； （2）利用求根公式解出方程，利用，即可解出答案； （3）利用求根公式解出方程，利用，可得，代入，利用二次函数的最值，即可解出答案. 【小问1详解】 ， 所以， 所以，，，故不是“邻根方程”； ， 所以， 所以，故是 “邻根方程”； 【小问2详解】 因为方程（是常数）是“邻根方程”， 所以方程必有两不相等实根，即，记， 由求根公式有：， 所以， 解得：或； 【小问3详解】 因为方程是“邻根方程”， 记， 所以， 所以， 所以当时，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $