3.2.2双曲线的简单几何性质学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 图形 标准方程 范围 对称性 关于 对称，关于 中心对称 顶点 轴 实轴为 ,虚轴为 ，实轴长为 ,虚轴长为 半轴长 实半轴长为 ,虚半轴长为 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义： 叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围： . (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线定义: 等轴双曲线的两渐近线互相 ，离心率e= . 例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 思考1：椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？ 思考2：若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？ 练习5．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率： （1） ；         （2）； （3）；         （4）． 练习6．求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，； （2）焦点在y轴上，焦距是16，． 练习7．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 练习8．双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 现实中的双曲线 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图）．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）． 双曲线第二定义 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 总结：双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 练习9．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 总结：双曲线第三定义 到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是双曲线；其中，定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值． 直线与双曲线的弦长问题 例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求． 总结：弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径：过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于. 10．求下列直线和双曲线的交点坐标，并求弦长： （1），；     （2），． 11．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 轴 实轴为 A1A2 ,虚轴为 B1B2 ，实轴长为2a ,虚轴长为 2b 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把双曲线的方程化为标准方程 ． 由此可知，实半轴长，虚半轴长；由，焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为． 思考1：椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？ 答：不一样，椭圆的离心率0<e<1，而双曲线的离心率e>1. 思考2：若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？ 答：当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上． 练习5．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率： （1） ；        （2）； （3）；        （4）． 【详解】解：（1）∵x2﹣8y2＝32，∴1， ∴4，b2，c6， ∴双曲线的实轴2a＝8、虚轴的长2b＝4， 顶点A1（﹣4，0），A2（4，0）、 焦点的坐标F1（﹣6，0），F2（6，0）， 离心率e． （2）∵9x2﹣y2＝81，∴， ∴a3，b9，c3， ∴双曲线的实轴2a＝6、虚轴的长2b＝18， 顶点A1（﹣3，0），A2（3，0）、 焦点的坐标F1（﹣3，0），F2（3，0）， 离心率e． （3）∵x2﹣y2＝﹣4，∴1， ∴a2，b2，c2， ∴双曲线的实轴2a＝4、虚轴的长2b＝4， 顶点A1（0，﹣2），A2（0，2）、 焦点的坐标F1（0，﹣2），F2（0，2）， 离心率e． （4）∵1，∴1， ∴a5，b7，c， ∴双曲线的实轴2a＝10、虚轴的长2b＝14， 顶点A1（0，﹣5），A2（0，5）、 焦点的坐标F1（0，），F2（0，）， 离心率e． 练习6．求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，； （2）焦点在y轴上，焦距是16，． 【详解】解：（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，e，则a＝4，c＝5，b＝3， ∴双曲线的标准方程为； （2）焦点在y轴上，焦距是16，e，则c＝8，a＝6，b2， ∴双曲线的标准方程为1． 练习7．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 【详解】因为一个焦点是，所以，且焦点在x轴， 所以设等轴双曲线方程为， 所以，解得， 所以双曲线标准方程为， 渐近线方程为. 练习8．双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 【详解】若双曲线焦点在x轴，设方程为，则渐近线方程为， 所以，解得， 所以双曲线标准方程为：； 若双曲线焦点在y轴，设方程，则渐近线方程为， 所以，解得， 所以双曲线标准方程为：； 所以双曲线标准方程为或 双曲线实际应用问题 例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）． 解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10（2）所示的直角坐标系，使小圆的直径在x轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于x轴，且，． 设双曲线的方程为，点C的坐标为，则点B的坐标为． 因为直径是实轴，所以．又B，C两点都在双曲线上，所以 由方程②，得（负值舍去）．代入方程①，得 ． 化简得 ． ③ 解方程③，得 （负值舍去）． 因此所求双曲线的方程为 ． 双曲线第二定义 例5 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合 ， 由此得． 将上式两边平方，并化简，得 ， 即 ． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线． 总结：双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 练习9．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【详解】设，因为， 所以，整理得， 故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 总结： 3. 第三定义之“积” 到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是双曲线；其中，定点为实轴或虚轴顶点，定值为正值． 直线与双曲线的位置关系及弦长问题 例6 如图3.212，过双曲线的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求． 解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，． 因为直线的倾斜角是30°，且经过右焦点，所以直线的方程为 ． ① 由消去y，得 ． 解方程，得 ，． 将，的值分别代入①，得 ， 于是，A，B两点的坐标分别为，． 所以 ． 总结：弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 10．求下列直线和双曲线的交点坐标： （1），；     （2），． 【详解】（1）由消去y，得：，解得：或， 由解得，；由解得，； 所以交点坐标为：； （2）由消去y，得：，解得：. 求得，； 所以交点坐标为. 11． 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e． 【详解】联立，得，设，， 则，解得. 所以，离心率. 学科网（北京）股份有限公司 $$