期中考试绝对值综合压轴题专项训练（四川成都专用）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都北师大版七年级数学上册

期中考试绝对值综合压轴题专项训练（四川成都专用） 一、填空题 1．式子的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质—绝对值，根据非负数的性质即可求出的最小值，从而求出式子的最小值，求的最小值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值是， ∴的最小值为， 故答案为：． 2．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 3．的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求绝对值运算中的最小值问题，要根据算式先对的取值范围进行划分，再根据去绝对值符号法则进行化简，解题的关键是熟练掌握去绝对值符号法则． 【详解】当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ； ∴的最小值是， 故答案为：． 4．非零整数m、n满足，所有这样的整数组共有 组． 【答案】8 【分析】等式变形，利用绝对值的代数意义判断即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ∵、为非零整数， ∴当时，； 当时，； 故时，，2种； 时，，2种； 时，，2种； 时，，2种． 共8种． 故这样的整数组共有8组． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的代数意义． 5．已知a、m、n均为有理数，且满足|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，那么|m+n|的值为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】根据绝对值的意义，求出m＝-a±6，n＝a±3，进而得到m+n＝±6±3，再分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵|a+m|＝6，|n﹣a|＝3， ∴a+m＝±6，n-a＝±3， ∴m＝-a±6，n＝a±3， ∴m+n＝±6±3， ∴①， ②； ③， ④， 故答案为：3或9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的相关知识，掌握绝对值的意义是解答本题的基础，解答本题需要注意分类讨论的思想以及整体代入的思想． 6．已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 7．已知，，为有理数，若，且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】由题意得，，得． 【详解】解：，且， ，， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了绝对值性质的应用能力，解题关键是根据绝对值性质的得出，，从而得出，． 8．若a、b、c都为整数，满足，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了绝对值，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据绝对值的定义列出方程组求解即可． 【详解】解：a、b、c都为整数， 与都为整数， ，且，， 或， 若，则，，， ， 若，则，，， ， 故答案为：0 9．三个整数a，b，c满足，且．若，则的最大值为 ． 【答案】34 【分析】根据，，可得，，，则，再由，a，b，c都是整数，得到则，根据，，即可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵，a，b，c都是整数， ∴∴， ∵，， ∴， ∴的值最大为9+8+17=34， 故答案为：34． 【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键在于能够根据题意得到，，． 10．已知整数，，，……满足下列条件：，，，……依此类推，则在数轴上到的距离为3的数是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了数字中的规律，数轴上两点间的距离，探索规律，分类求解是解题的关键． 【详解】根据题意，得，，，，，，，…． 观察其规律，可得，所以，与相距3个单位长度的数是或． 故答案为：或 三、解答题 11．a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)求_______ (2) 、、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：； (3)求的最大值，并求出此时x的范围． 【答案】(1)-1 (2) (3)b-a，x≥b 【分析】（1）根据数轴上的位置可得a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果； （2）根据a＜b＜0＜c，从而化简绝对值得到结果； （3）分x＜a，a≤x≤b，x＞b三种情况进行讨论，综合讨论结果可得． 【详解】（1）解：由数轴可知：a＜b＜0＜c， ； （2）∵a＜b＜0＜c， ∴ = = （3）当x＜a时， ==＜0， 当a≤x≤b时， ==， ∴， 当x＞b时， ==＞0， 综上：的最大值为， 此时x的范围是：x≥b． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，数轴，解题的关键是能根据绝对值的性质化简式子，同时更好的理解题意，将困难的问题分开讨论． 12．阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数有______个． 【答案】(1)， (2)或 (3)无数 【分析】（1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法即可求解； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）根据绝对值的性质，结合数轴即可求解． 【详解】（1）解：与的两点之间的距离是， 与的两点之间的距离是， 故答案为：，． （2）解： 当时，；当时，； ∴或， 故答案为：或． （3）解：根据材料提示两点之间距离公式，则表示为，即点到表示的点，与点到表示的点的距离和为，如图所示，    ∴在点之间的任何数都可以， 故答案为：无数． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离的计算，绝对值的性质的综合，掌握绝对值的性质计算数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 13．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)如果，那么　　　． (3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是　　　，最小距离是　　　． (4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则　　　； ②若，则　　　． 【答案】(1)3，4 (2)2或 (3)8，2 (4)①4；②5或． 【分析】（1）根据距离公式计算即可． （2）根据绝对值的意义计算即可． （3）根据绝对值的意义，确定a，b的值，再最值的意义计算即可． （4）①根据取值范围，化简绝对值计算即可． ②分，，三种情况计算即可． 【详解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是：，数轴上表示1和的两点之间的距离是：； 故答案为：3，4． （2）， ∴， ∴， 故答案为：2或． （3）∵， ∴， ∴， ∴或1，或， ∴A，B两点间的最大距离是：，最小距离是：； 故答案为：8，2． （4）①∵x的点位于与1之间， ∴， 故答案为：4． ②当时，，得到， 解得，； 当时，，得到， 解得，； 当时，，得到， 无解； 综上，或； 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握绝对值方程的计算是解题的关键． 14．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”．    (1)若点表示数，点表示数，点是点，的“联盟点”，点在，之间，且表示一个负数，则点表示的数为______； (2)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是______； (3)点表示数，点表示数，为数轴上一点： 若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，此时点表示的数是______； 若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______． 【答案】(1) (2)， (3)①或或；②或或 【分析】（1）设点表示的数为，根据“联盟点”的定义，得或，求出满足的值，即可； （2）设，的“联盟点”表示的数为，根据“联盟点”的定义，则或，求出，即可； （3）设点表示的数为，根据“联盟点”的定义，得或，求出符合条件的，即可；设点表示的数为，分类讨论：当点是点，的“联盟点”，由得，点表示的数为；当点是点，的“联盟点”，根据或，求出点；当点是点，的“联盟点”，根据或，求出点，即可． 【详解】（1）∵点是点，的“联盟点”， ∴或， 设点表示的数为， ∵点表示数，点表示数， ∴或， 解得：或或或， ∵点在，之间，且表示一个负数， ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． （2）设，的“联盟点”表示的数为， ∴或， 解得：或或或， ∴，是点，的“联盟点”， 故答案为：，． （3）设点表示的数为， ∵点是点，的“联盟点”， ∴或， ∴或， 解得：或或或， ∵点在点的左侧， ∴， ∴或或， 故答案为：或或； 设点表示的数为， 点是点，的“联盟点”， 由得：点表示的数为； 当点是点，的“联盟点”， ∴或， ∴或， 解得：或或或， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为； 点是点，的“联盟点”， ∴或， ∴或， 解得：或或或， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为或， 综上所述：点表示的数为或或． 【点睛】本题考查数轴，绝对值和“联盟点”的知识，解题的关键是掌握数轴的性质，绝对值的运算，“联盟点”的定义和性质． 15．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 【答案】问题解决：（1）点与点之间的距离；（2）；关联运用：（1）；（2）；（3）或；（4）的值是一个定值时，的值为． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 问题解决：（1）的几何意义是点与点之间的距离； （2）根据距离公式可得； 关联运用：（1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差，然后分两种情况讨论，得到答案； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值，已知，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）运用四：时，点表示数是，点表示数是，点表示数是，则，，根据已知条件分情况讨论，得到答案． 【详解】问题解决： 解：（1）的几何意义是点与点之间的距离， 故答案为：点与点之间的距离； （2）由题意得： 表示的数为，点在数轴上表示的数为， 则与之间的距离， 故答案为：； 关联运用： （1）运用一：代数式表示点与的距离与点与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为， 故答案为：； （2）运用二：表示点与的距离与点与点距离的差， 当时，； 当时， 此时； 当时，； 综上所述：当时，代数式取最大值为； 故答案为：； （3）运用三：由（1）知当时|取最小值， 时，或， 故当时，则， 解得：， 当时，， 解得：， 故答案为：或； （4）运用四：点表示数是，点表示数是，点表示数是， 根据题意可得： 时，点表示数是，点表示数是，点表示数是， 由已知可知点始终在点右侧，故 而， 当的值是一个定值时， 则为定值， 当时，即时， ， ， 解得， 此时定值为； 当时，即时， ， ， 解得：， 此时定值为； 综上所述：的值是一个定值时，的值为． 16．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为:； （2）解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 17．如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 【答案】(1)﹣2，6 (2)9 (3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为 【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合； （3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6， 故答案为：﹣2，6； （2）解：∵折叠后点B和点C重合， ∴BC的中点为折痕点， ∴折痕点对应的数是2， ∴点A与数字9重合， 故答案为：9； （3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和， ∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小， ∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3， 故答案为：3； ②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和， ∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7， ∵|x﹣4|+|x+3|＝7， ∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴， ∴满足条件的所有整数x的和是4， 故答案为：4； ③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和， ∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4， ∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值； 故答案为：4； ④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|， 表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和， ∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， ∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键． 18．同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶ (1)求__________；若，则__________； (2)的最小值是__________； (3)当__________时，的最小值是__________； (4)已知则求出的最大值和最小值． 【答案】(1)5；1或 (2)4 (3)2，5 (4)最大值为7，最小值为 【分析】（1）数轴上表示3的点与表示的点的距离为5，与表示的点的距离为3的点表示的数为1或，由此可解； （2）可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和，利用数轴上两点间距离公式即可求出最值； （3）由（2）可知，当时，有最小值，又当时，有最小值，由此可解； （4）先根据已知式子得出，，，进而分别求出x，y，z的最大值和最小值，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示3的点与表示的点的距离为5， ； ， 表示x的点与表示的点的距离为3， ，， 或． （2）解：可以理解为表示x的点到表示1和表示的点的距离之和， 当表示x的点在表示1和表示的两点之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：． （3）解：可以理解为表示x的点到表示、2、4三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最小值，最小值为：， 即当时，的最小值是5． （4）解：，，， ， ， ，，， ，，， 的最大值为：，最小值为：， 即的最大值为7，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值与数轴相关知识，读懂题目所给信息，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 19．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    【答案】(1)①或；②3；③5； (2)5 (3)见解析； 【分析】（1）如图1，①分点在点左侧和点在点右侧分别计算即可； ②若点在线段上，得，，然后化简绝对值即可； ③由图1可知，当时，的最小，最小值为5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解； （3）如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，当满足时，该距离之和最小，最小值为． 【详解】（1）解：①若点在点左侧，得， 若点在点右侧，得； 故的值或． ②若点在线段上，得，， ； ③由图1可知，    当时，的最小， 原式， ， 故答案为：或；3；5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5； 故答案为：5； （3）如图2，    以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， ， ， ， 汇合地点的位置在之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小值为1400米． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考试绝对值综合压轴题专项训练（四川成都专用） 一、填空题 1．式子的最小值为 ． 2．已知、、均为不等式0的有理数，则的值为 ． 3．的最小值是 ． 4．非零整数m、n满足，所有这样的整数组共有 组． 5．已知a、m、n均为有理数，且满足|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，那么|m+n|的值为 ． 6．已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 7．已知，，为有理数，若，且，则的值为 ． 8．若a、b、c都为整数，满足，则 ． 9．三个整数a，b，c满足，且．若，则的最大值为 ． 10．已知整数，，，……满足下列条件：，，，……依此类推，则在数轴上到的距离为3的数是 ． 二、解答题 11．a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)求_______ (2) 、、c在数轴上的位置如图所示，则：化简：； (3)求的最大值，并求出此时x的范围． 12．阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数有______个． 13．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)如果，那么　　　． (3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是　　　，最小距离是　　　． (4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则　　　； ②若，则　　　． 14．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”．    (1)若点表示数，点表示数，点是点，的“联盟点”，点在，之间，且表示一个负数，则点表示的数为______； (2)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是______； (3)点表示数，点表示数，为数轴上一点： 若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，此时点表示的数是______； 若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______． 15．【问题背景】 我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．在数轴上，点，的位置如图所示，． 【问题解决】 （1）的几何意义是______． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，那么______（用含的代数式表示）． 【关联运用】 （1）运用一：代数式的最小值为______． （2）运用二：代数式的最大值为______． （3）运用三：已知，则的值为______． （4）运用四：如图所示，点，，是数轴上的三点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．秒后，若的值是一个定值，试确定的值． 16．同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 17．如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 18．同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数6的点之间的距离．试探索∶ (1)求__________；若，则__________； (2)的最小值是__________； (3)当__________时，的最小值是__________； (4)已知则求出的最大值和最小值． 19．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    学科网（北京）股份有限公司 $$