3.2.1双曲线及其标准方程学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 一、双曲线的定义 1．定义：平面内 的点的轨迹． 2．定义的集合表示： 3．焦点： 4．焦距： ，表示为|F1F2|. 思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ 二、双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 a，b，c的关系 思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？ 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 练习1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1） 焦点在x轴上，，； （2）焦点为，，且经过点M． （3）焦点在x轴上，经过点A，B 点拨：求双曲线标准方程的步骤（“先定位，再定量”） 1.定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．2.定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． ★★★★★提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，可将双曲线的方程设为或或者mx2＋ny2＝1（mn＜0），再根据条件求解. 练习2．求证：双曲线与椭圆的焦点相同． 双曲线方程综合应用 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 练习3．已知方程表示双曲线，求m的取值范围．（习题7总结） 练习4．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 一、双曲线的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． 2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答：当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ 答：点M在双曲线的右支上． 二、双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 思考：如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？ 答：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 例1 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ． 由，，得，又，因此． 所以，双曲线的标准方程为 练习1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，，； （2）焦点在x轴上，经过点， （3）焦点为，，且经过点． 解：（1）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为， 因为，，所以双曲线方程为； （2）因为焦点为，，所以c=6，且交点在y轴， 因为过点且经过点， 根据双曲线定义可得， 解得， 又， 所以双曲线方程为：； （3）因为焦点在x轴上，设双曲线方程为， 因为经过点，，代入可得， 令，可得， 解得，所以， 所以双曲线方程为：； 练习2．求证：双曲线与椭圆的焦点相同． 【详解】证明：双曲线x2﹣15y2＝15即为： y2＝1，c2＝a2+b2＝15+1＝16，c＝4， 焦点为（±4，0）， 椭圆1的a′＝5，b′＝3，c′＝4， 焦点为（±4，0）， 即有双曲线x2﹣15y2＝15与椭圆1的焦点相同． 点拨：求双曲线标准方程的步骤（“先定型，再定量”） 1.定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． 2.定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解． ★★★★★提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，可将双曲线的方程设为或或者mx2＋ny2＝1（mn＜0），再根据条件求解. 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上． 解：如图，建立平面直角坐标系，使A，B两点在x轴上，并且原点O与线段的中点重合． 设炮弹爆炸点P的坐标为，则 ， 即，． 又，所以，，． 因为，所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此． 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 ． 练习3．已知方程表示双曲线，求m的取值范围． 【详解】解：因为方程表示双曲线，所以，解得或，即 练习4．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． 【详解】由题意得，焦距，可得， 在双曲线中， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不满足题意，故舍去， 当时，，满足题意， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $$