2025年九年级中考数学复习 几何填空选择题综合练习(一)

几何填空选择题综合练习（一） 1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 2．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为 　 　． 3．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 4.如图，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把纸片沿直线DE折叠，点B落在边AC上的点F处，若BE＝EC＝5，CF＝6，AF＝3，则△ABC的面积是 　　． 5．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′、DC′，若∠CC′D＝90°，C′D＝4，则正方形ABCD的边长为（　　） A．8 B．10 C． D． 6．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O，FE的延长线交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（　　） A．1：4 B．1：9 C．2：5 D．1：2 7．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，将Rt△ABC绕着点C逆时针旋转得Rt△EDC，且点E正好落在BC上，连接BD，则∠CBD的度数为（　　） A．40° B．55° C．60° D．65° 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　） A．12 B．16 C．4 D．24 9．如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠DAE＝∠FAE，CF＝1，AB＝6，则D到AF的距离为 　 　． 10．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为　 　． 11．如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点F为BC上一点，将△DFC沿DF翻折，点C的对应点恰好是点O，连接AF，若AD＝3，则AF的长为 　 　． 13．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝150°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD于F．若△DEF的周长为3+，则菱形ABCD的面积为（　　） A．18 B．14+8 C．7+4 D．12+6 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点E为AD上一点，AE＝6，连接BE，作∠EBC的平分线交CD于点F，连接AF交BE于点G．当AB＝BG时，GF的长为 　　． 15．如图，在矩形ABCD中，E、F为AC上一点，AE＝AD，AF＝CE，连接DE、BF，若∠CAD＝α，则∠BFE的度数为（　　） A． B． C．α D．90°﹣α 16．如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　） A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α 17．如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF＝α，则∠EAF的度数为（　　） A．2α﹣90° B． C． D．90°﹣α 18．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC′D＝90°，BC′＝，则线段C′D的长度为（　　） A． B．2 C．4 D． 19．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，连接GE．若BG＝3，CG＝2，则△CEG的面积为（　　） A． B． C．4 D． 20．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（　　） A． B．4 C． D． 21．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE⊥CD于点E，连接OE．若AB＝3，OE＝，则DE的长度为（　　） A． B． C． D． 2024年10月13日数学培优参考答案 参考答案与试题解析 1．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C． D． 【分析】先证明△AOE≌△COF，Rt△BFO≌Rt△BFC，再证明△OBC、△BEF是等边三角形即可就问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，∠DCB＝90°， ∴∠FCO＝∠EAO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF， ∴OE＝OF，OA＝OC， ∵BF＝BE， ∴BO⊥EF，∠BOF＝90°， ∵∠FEB＝2∠CAB＝∠CAB+∠AOE， ∴∠EAO＝∠EOA， ∴EA＝EO＝OF＝FC＝2， 在Rt△BFO和Rt△BFC中， ， ∴Rt△BFO≌Rt△BFC， ∴BO＝BC， 在Rt△ABC中，∵AO＝OC， ∴BO＝AO＝OC＝BC， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠BCO＝60°，∠BAC＝30°， ∴∠FEB＝2∠CAB＝60°， ∵BE＝BF， ∴△BEF是等边三角形， ∴EB＝EF＝4， ∴AB＝AE+EB＝2+4＝6． 故选：A． 【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质就问题，属于中考常考题型． 2．如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为 　　． 【分析】过点E作EN⊥BC于点N，设NE＝x，因为直角三角形含30°锐角，用含x的式子表示出边FN、FE的长，再根据△BNE∽△BCA，所以＝＝，即＝＝，从而求出BN、FN的长，进而求解即可． 【解答】解：过点E作EN⊥BC于点N， ∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝3， 设NE＝x， ∵∠BFE＝30°， ∴EF＝2x，NF＝x， 由折叠得：AE＝EF＝2x， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣2x， ∵NE∥AC， ∴△BNE∽△BCA， ∴＝＝， ∴＝＝， 解得：x＝，BN＝， ∴NF＝x＝，CN＝BC﹣BN＝3﹣＝， ∴CF＝NF﹣CN＝﹣＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等，对应角相等来解决.问题，通过相似表示线段比例关系是解决本题的关键． 3.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E，连接AE，F为AE的中点，H为BE的中点，连接FH和CF，CF交BE于点G，则GF的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，再由三角形中位线定理得FH＝AB＝2，FH∥AB，然后证△FHG≌△CEG（AAS），得EG＝GH＝EH＝，进而由勾股定理即可得出结论． 【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°， ∵F为AE的中点，H为BE的中点， ∴EH＝BE，FH是△ABE的中位线， ∴FH＝AB＝2，FH∥AB， ∴FH∥AB∥CD， ∵BE⊥AB， ∴FH⊥BE，CD⊥BE， ∴∠FHE＝∠BEC＝90°， ∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°， ∴CE＝BC＝2， ∴BE＝＝＝2， ∴EH＝BE＝， ∴FH＝CE， 在△FHG和△CEG中， ， ∴△FHG≌△CEG（AAS）， ∴EG＝GH＝EH＝， 在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF＝＝＝， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 4.如图，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把纸片沿直线DE折叠，点B落在边AC上的点F处，若BE＝EC＝5，CF＝6，AF＝3，则△ABC的面积是 　　． 【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】36． 【分析】由折叠性质可知，BE＝EF，由BE＝EC，推出∠BFC＝90°，BF⊥AC，根据勾股定理求出BF＝＝8，因为AF＝3，则AC＝3+6＝9，进而求出△ABC的面积＝＝＝36． 【解答】解：由折叠性质可知， BE＝EF， ∵BE＝EC， ∴BE＝EC＝EF， ∴∠EBF＝∠EFB，∠EFC＝∠C， ∴∠EFB+∠EFC＝∠FBE+∠C＝90°， 即∠BFC＝90°，BF⊥AC， ∵BE＝EC＝5，CF＝6， ∴BC＝10， ∴BF＝＝8， ∵AF＝3， ∴AC＝3+6＝9， ∴△ABC的面积＝＝＝36． 故答案为：36． 【点评】本题考查了轴对称的性质，熟知翻折的性质和勾股定理是解题的关键． 5．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′、DC′，若∠CC′D＝90°，C′D＝4，则正方形ABCD的边长为（　　） A．8 B．10 C． D． 【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝8，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：过点B作BE⊥CC'于点E，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCE+∠C'CD＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠C'CD＝∠CBE， 又∵∠BEC＝∠CC'D， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE＝C'D＝4， ∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'， ∴BC＝BC'， 又∵BE⊥CC'， ∴CE＝C'E＝C'D＝4， ∴CC'＝8， ∴CD＝＝＝4， ∴正方形ABCD的边长为4． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 6．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，EF交AC于点O，FE的延长线交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（　　） A．1：4 B．1：9 C．2：5 D．1：2 【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E为AB的中点，F为AD的中点， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AFE∽△BGE， ∴， ∵AE＝BE， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴△AFO∽△CGO， ∴， 即S△AOF：S△COG＝1：9， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 7．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°，将Rt△ABC绕着点C逆时针旋转得Rt△EDC，且点E正好落在BC上，连接BD，则∠CBD的度数为（　　） A．40° B．55° C．60° D．65° 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝40°， ∴∠ACB＝50°， ∵将Rt△ABC绕着点C逆时针旋转得Rt△EDC， ∴∠ECD＝∠ACB＝50°，CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣50°）＝65°， 故选：D． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　） A．12 B．16 C．4 D．24 【分析】先根据菱形的性质得到BD⊥AC，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OC＝OE＝，则利用勾股定理可计算出CD＝4，然后根据菱形的性质计算菱形的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，OD＝OB＝BD＝3，OA＝OC， ∵AE⊥DC， ∴∠AEC＝90°， 而OA＝OC， ∴OA＝OC＝OE＝， 在Rt△OCD中，CD＝＝＝4， ∴菱形的周长为4×4＝16． 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组内角． 9如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠DAE＝∠FAE，CF＝1，AB＝6，则D到AF的距离为 　6　． 【分析】过点E作EM⊥AF于点M，容易证明△ECF≌△EMF，得到EC＝EM＝ED，故可求出EF和AF的长，点D作DN⊥AF于点N，利用三角形ADF的面积求出DN即可． 【解答】解：如图， 过点E作EM⊥AF于点M，点D作DN⊥AF于点N，连接DF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADE＝∠C＝90°，AB＝DC＝6， ∵∠DAE＝∠FAE，EM⊥AF， ∴DE＝EM， ∵AE⊥EF， ∴∠AED+∠FEC＝90°， ∵∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠FEC＝∠DAE， ∵EM⊥AF， ∴∠EAF+∠AEM＝90°， ∵∠MEF+∠AEM＝90°， ∴∠EAF＝∠MEF，∠DAE＝∠FAE， ∴∠FEC＝∠MEF， ∵∠C＝∠EMF＝90°，EF＝EF， ∴△ECF≌△EMF（AAS）， ∴MF＝FC＝1，ME＝EC， ∵ME＝ED， ∴ME＝DE＝DC＝3， ∵∠ADE＝∠C＝90°，∠FEC＝∠DAE， ∴△ADE∽△ECF， ∴， ∴， ∴AD＝9， ∵AD＝AM， ∴AM＝9， ∴AF＝AM+FM＝9+1＝10， ∴△ADF的面积为：﹣DC•FC， 即﹣， 解得DN＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质以及相似三角形的证明，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 10．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为　5　． 【分析】由沿直线DE翻折，点A与点F重合可知：DE垂直平分AF，因为DE∥BC，所以DE为△ABC的中位线，DE＝BC＝5；由折叠可得AE＝EF，因为AF＝EF，可得△AEF为等边三角形，∠FAC＝60°；在Rt△AFC中，解直角三角形可得AF的长，四边形ADFE的面积为DE×AF，结论可得． 【解答】解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合， ∴DE垂直平分AF． ∴AD＝DF，AE＝EF． ∵DE∥BC， ∴DE为△ABC的中位线． ∴DE＝BC＝（BF+CF）＝×（4+6）＝5． ∵AF＝EF， ∴△AEF为等边三角形． ∴∠FAC＝60°． 在Rt△AFC中， ∵tan∠FAC＝， ∴AF＝＝2． ∴四边形ADFE的面积为：DE×AF＝×5×2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了折叠问题，三角形的中位线，平行线的性质，三角形的面积，解直角三角形．利用中点的性质得到对应的部分相等是解题的关键． 11．如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 【分析】利用正方形的性质，由“SAS”可证△ABF≌△CBF，依据全等三角形的对应角相等，可得∠AFB＝∠CFB＝70°，由三角形的外角性质可得到∠DEF的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABF＝∠CBF＝ABC＝45°， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）； ∴∠AFB＝∠CFB， 又∵∠AFC＝140°， ∴∠CFB＝70°， ∵∠DFC+∠CFB＝180°， ∴∠DFC＝180°﹣∠CFB＝110°， ∵∠DEF+∠EDF＝∠DFC， ∴∠DEC＝∠DFC﹣∠EDF＝110°﹣45°＝65°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．要注意三角形间的公共边和公共角． （2022秋•万州区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，线段BC上一点F，连接DF，将△DCF沿着DF翻折，点C恰好与点O重合，连接AF，若CF＝1，则AF的长为（　　） A．3 B． C． D． 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．版权所有 【专题】展开与折叠；运算能力． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质和矩形的性质证明△ODC是等边三角形，进而得出∠ODF＝∠CDF＝∠DBC＝30°，利用30度角所对直角边等于斜边的一半求出DF，再利用勾股定理求出DC，利用“等角对等边”推导出BF＝DF，最后利用勾股定理解Rt△ABF即可． 【解答】解：∵将△DCF沿着DF翻折，点C恰好与点O重合， ∴OD＝CD，∠ODF＝∠CDF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OC，AB＝CD，∠DCF＝∠ABF＝90°， ∴△ODC是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∴，∠DBC＝90°﹣∠ODC＝30°， ∵CF＝1，∠DCF＝90°， ∴DF＝2CF＝2， ∴， ∴， ∵∠ODF＝∠DBC＝30°， ∴BF＝DF＝2， ∴． 故选C． 【点评】本题考查翻折变换，掌握折叠的性质、矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 13．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝150°，DH⊥AB于H，交对角线AC于E，过E作EF⊥AD于F．若△DEF的周长为3+，则菱形ABCD的面积为（　　） A．18 B．14+8 C．7+4 D．12+6 【分析】由菱形的性质可得∠DAB＝150°，∠DAC＝∠BAC，可得AH＝DH，由△DEF的周长为3+，求出DF＝1，可求出DH＝2+，由勾股定理可求出AB的长，可得菱形ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝150°， ∴∠DAB＝30°，∠DAC＝∠BAC， 又∵EH⊥AB，EF⊥AD， ∴EF＝EH，AH＝DH， ∵∠DAB＝30°，DH⊥AB， ∴∠ADH＝60°， ∴∠DEF＝30°， ∴EF＝DF， ∵△DEF的周长为3+， ∴DE+EF+DF＝3+， ∴2DF+DF+DF＝3+， ∴DF＝1， ∴EH＝，DE＝2， ∴DH＝DE+EH＝2+， ∵∠DAB＝30°， ∴AD＝2DH＝4+2， ∴AB＝4+2， ∴菱形ABCD的面积＝AB×DH＝（2+）（4+2）＝14+8， 故选：B． 【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，求EF的长是本题的关键． 14.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，点E为AD上一点，AE＝6，连接BE，作∠EBC的平分线交CD于点F，连接AF交BE于点G．当AB＝BG时，GF的长为 　　． 【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【答案】． 【分析】延长BF，交AD的延长线于M，延长AF，交BC的延长线于N．依据△AGE∽△NGB，即可求得AG的长；依据△AFM∽△NFB，即可求得AF的长．再根据GF＝AF﹣AG即可得出结论． 【解答】解：如图所示，延长BF，交AD的延长线于M，延长AF，交BC的延长线于N， Rt△ABE中，AB＝8，AE＝6， ∴BE＝＝10， 当AB＝BG＝8时，GE＝10﹣8＝2， ∵AE∥BN， ∴△AGE∽△NGB， ∴＝＝＝， ∴BN＝4AE＝24，AG＝AN， Rt△ABN中，AN＝＝， ∴AG＝×＝， ∵BF平分∠EBC，EM∥BN， ∴∠EBM＝∠CBM＝∠M， ∴BE＝ME＝10，AM＝6+10＝16， ∵AM∥BN， ∴△AFM∽△NFB， ∴＝＝，即AF＝AN＝×＝， ∴GF＝AF﹣AG＝﹣＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合． 15．如图，在矩形ABCD中，E、F为AC上一点，AE＝AD，AF＝CE，连接DE、BF，若∠CAD＝α，则∠BFE的度数为（　　） A． B． C．α D．90°﹣α 【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质，可以用含α的代数式表示出∠BFE的度数． 【解答】解：∵AE＝AF+EF，AF＝CE， ∴CF＝CE+EF＝AF+EF＝AE， 即CF＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵AE＝AD， ∴CF＝BC， ∴∠CFB＝∠CBF， ∵∠CAD＝α，AD∥BC， ∴∠CAD＝∠FCB＝α， ∴∠CFB＝∠CBF＝（180°﹣∠FCB）＝（180°﹣α）＝90°﹣α， 即∠BFE的度数为90°﹣α， 故选：B． 【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （2023•沙坪坝区校级模拟）如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　） A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【答案】C 【分析】点F作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF为矩形，易通过HL证明Rt△FHE≌Rt△DAG，得到EH＝AG，∠HFE＝∠ADG＝α，根据DE＝2AG可得EH＝DH＝AG＝CF，于是得到BG＝BF，则△BFG为等腰直角三角形，∠BFG＝45°，由∠BFG+∠EFG+∠HFE＝90°即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°， 如图，过点F作FH⊥AD于点H， 则四边形CDHF为矩形， ∴FH＝CD，DH＝CF，∠FHE＝90°， ∴FH＝AD， 在Rt△FHE和Rt△DAG中， ， ∴Rt△FHE≌Rt△DAG（HL）， ∴EH＝AG，∠HFE＝∠ADG＝α， ∵DE＝AG， ∴DE＝2EH，即点D为DE中点， ∴EH＝DH＝AG＝CF， ∴AB﹣AG＝BC﹣CF，即BG＝BF， ∴△BFG为等腰直角三角形，∠BFG＝45°， ∴∠EFG＝90°﹣∠BFG﹣∠HFE＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α． 故选：C． 【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题． 17．如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF＝α，则∠EAF的度数为（　　） A．2α﹣90° B． C． D．90°﹣α 【分析】延长AE，BC交于点G，先根据矩形的性质证明△ADE≌△GCE，得到AE＝GE，再根据线段垂直平分线的性质证明AF＝FG，所以∠FAE＝∠G，继而证明∠DAE＝∠EAF，即可得到答案． 【解答】解：延长AE，BC交于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠BAD＝90°， ∴∠DAE＝∠G，∠D＝∠ECG， ∵点E为CD边的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△GCE（AAS）， ∴AE＝GE， ∵EF⊥AE， ∴AF＝FG， ∴∠FAE＝∠G， ∴∠DAE＝∠EAF， ∵∠BAF＝α， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 18．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC′D＝90°，BC′＝，则线段C′D的长度为（　　） A． B．2 C．4 D． 【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CE＝C'E＝C'D，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：过点B作BE⊥CC'于点E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCE+∠C'CD＝90°， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠C'CD＝∠CBE， 又∵∠BEC＝∠CC'D， 在△BCE和△CDC'中， ， ∴△BCE≌△CDC'（AAS）， ∴CE＝C'D， ∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'， ∴BC＝BC'＝CD＝2， 又∵BE⊥CC'， ∴CE＝C'E＝C'D， ∵C'D2+C'C2＝CD2， ∴5C'D2＝20， ∴C'D＝2，（负值舍去）， 故选B． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 19．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，连接GE．若BG＝3，CG＝2，则△CEG的面积为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，求CE的长，即可求解． 【解答】解：由旋转可得，△ADE≌△ABF， ∴AE＝AF，DE＝BF， 又∵AG⊥EF， ∴H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF， ∴EG＝FG， 设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x， ∴EG＝8﹣x， ∵∠C＝90°， ∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2， 解得x＝， ∴CE的长为， ∴S△CEG＝×CG×CE＝， 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出CE的长是解题的关键． 20．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（　　） A． B．4 C． D． 【分析】作DL⊥AE于点H，交AB于点L，先证明四边形BFDL是平行四边形，再证明△ABE≌△BCF，则BE＝CF＝BC＝CD，再证明AL＝BL＝AB，根据平行线分线段成比例定理证明AH＝GH，则DL垂直平分AG，根据线段垂直平分线的性质得DG＝DA＝4，得到问题的答案． 【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L， ∵BF⊥AE， ∴DL∥BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°， ∴BL∥DF， ∴四边形BFDL是平行四边形， ∵∠AGB＝90°， ∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF， ∵E为BC中点， ∴BE＝CF＝BC＝CD， ∴DF＝CF＝CD， ∴BL＝DF＝CD＝AB， ∴AL＝BL＝AB， ∴＝＝1， ∴AH＝GH， ∵DA＝AB＝4， ∴DG＝DA＝4， 故选：B． 【点评】此题考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 21．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE⊥CD于点E，连接OE．若AB＝3，OE＝，则DE的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2OE＝2，则OA＝AC＝，再由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，然后由菱形面积求出AE的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC， ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝2， ∴OA＝AC＝， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝， ∴BD＝2OB＝2， ∵S菱形ABCD＝CD•AE＝AC•BD＝×2×2＝2， ∴AE＝， ∴DE＝＝＝， 故选：A． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$