精品解析：上海市闵行区2024-2025学年九年级上学期数学期中试题

2024学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） 1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．本次考试不可以使用科学计算器． 一、选择题（本大题共6题，每小题4分，满分24分） 1. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，那么的余弦值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是 A. B. C. D. 4. 下列命题中，错误的是（ ） A. 如果或，那么 B. 如果、为实数，那么 C. 如果（为实数），那么 D. 如果，那么或 5. 如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图，在正方形中，点E，M是边上的点，与交于点F，G．如果，那么下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么________． 8. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 9. 已知为单位向量，向量与的方向相反，且长度为6，那么________．（用表示） 10. 已知点是线段上的一点，且，如果，那么______． 11. 已知两个相似三角形的周长之比是，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是________． 12. 已知D、E分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似____________（只填一个）． 13. 在中，已知，，点是的重心，那么的长是________． 14. 如图，已知，如果，，，那么的长是________． 15. 如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为________米（结果保留根号）． 16. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______． 17. 如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为___________． 18. 中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是________． 三、解答题（第19-22题，每题10分；第23-24题，每题12分；第25题14分；共78分） 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1． （1）求EC：BC的值； （2）设，，那么________，__________（用向量、表示） 21. 如图，已知中，，，边的垂直平分线，交的延长线于点D，交边于点E． （1）求的长； （2）求点C到直线的距离． 22. 图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 23. RtABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB． （1）求证：． （2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH⊥AB． 24. 如图在平面直角坐标系内，已知点，，，，点在轴的负半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点是直线在第三象限上的点，连结，且，求的值； （3）在（2）的条件下，连结，在直线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． （1）如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． （3）如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （考试时间：100分钟 满分150分） 1．本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 3．本次考试不可以使用科学计算器． 一、选择题（本大题共6题，每小题4分，满分24分） 1. 如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的相似比问题．利用相似三角形的周长比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答． 【详解】解：∵两个三角形相似，且对应边之比为， ∴相似比为， ∵相似三角形的对应中线之比等于相似比， ∴对应中线之比为． 故选：B． 2. 在中，，，，那么的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的余弦值，结合，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， 则 故选：D 3. 已知中，、分别是边、上的点，下列各式中，不能判断的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出图形，根据相似三角形的判定与性质逐项判断即可． 【详解】解：如图， 对于A，C，D选项，∵ ，， ， 又， ∴ B. 如图， ， 不能得到与平行 故选:B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意作出图形是解题的关键． 4. 下列命题中，错误的是（ ） A. 如果或，那么 B. 如果、为实数，那么 C. 如果（为实数），那么 D. 如果，那么或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质，属于中考常考题型． 根据实数与向量相乘，平行向量定理等知识点判断即可． 【详解】解：A、如果或，那么，故本选项正确，不符合题意； B、如果、为实数，那么，故本选项正确，不符合题意； C、如果（为实数），那么，故本选项正确，不符合题意； D、如果，说明的模是的模的3倍，由于与的方向不确定，故不能得到或，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 5. 如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从传送带最低处送到离地面3米高的处，那么物体从到所经过的路程是（ ） A. 9米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 过点B作于点C，构造直角，利用坡度的定义求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴ ， ∴米， 在中，，由勾股定理得米 ， 故选：D． 6. 如图，在正方形中，点E，M是边上的点，与交于点F，G．如果，那么下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，正方形的性质的应用．推出，可判断选项A；由，可判断选项B；证明，可判断选项C；由于，可判断选项D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 即， ∵， ∴，故选项A不合题意； ∵， ∴，故选项B不合题意； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项C不合题意； ∵， ∴， ∴， ∴与不相似，故选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．利用比例的性质计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 故答案为：． 8. 上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 ___厘米． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解． 【详解】解：∵200千米=20000000厘米， ∴上海与杭州的图上距离约为； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键． 9. 已知为单位向量，向量与的方向相反，且长度为6，那么________．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确向量是有大小和方向的量． 两向量方向相反可做线性运算，单位向量长度为，故可得二者的数量关系． 【详解】解：∵为单位向量，向量与的方向相反，且长度为6， ∴做线性运算可得 故答案为：． 10. 已知点是线段上的一点，且，如果，那么______． 【答案】## 【解析】 【分析】设则再利用，建立方程，解方程并检验即可得到答案. 【详解】解：设点是线段上的一点，， ， 整理得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键. 11. 已知两个相似三角形的周长之比是，面积之差是50，那么这两个三角形中较小三角形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、一元一次方程的应用． 根据两个相似三角形的周长之比是得到两个相似三角形的周长之比是，设这两个三角形中较小三角形的面积是，则这两个三角形中较大三角形的面积是，根据面积之差是50列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长之比是， ∴两个相似三角形的周长之比是， 设这两个三角形中较小三角形的面积是，则这两个三角形中较大三角形的面积是， 则， 解得， ∴， 即这两个三角形中较小三角形的面积是． 故答案为： 12. 已知D、E分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似____________（只填一个）． 【答案】或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．添加条件即可求得，即可解题． 【详解】解：已知D、E分别是的边，且与不平行，， ∴， 故添加条件即可求得． 或添加条件即可求得． 或添加条件即可求得． 故答案为：或或（答案不唯一）． 13. 在中，已知，，点是的重心，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于H．利用等腰三角形的三线合一，可知是高，由可设，则，利用勾股定理求出，得到，根据重心的性质计算即可． 【详解】解：如图，延长交于H， ∵点是的重心， ∴是边上的中线， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵G是重心， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的重心、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握重心的性质． 14. 如图，已知，如果，，，那么的长是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质和判定． 过点D作交于点G，交于点H，根据，可得，四边形和四边形是平行四边形，从而得到，，进而得到，再证明，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作交于点G，交于点H， ∵， ∴，四边形和四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：7 15. 如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作于，于， 则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 16. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交CB的延长线于点E，先证明四边形AEBD是平行四边形，则有，进而将所求转化为求，然后利用得出，再证明，则有 ，设 ，则 ，进而利用可求出的值，则答案可求． 【详解】如图，过点A作交CB的延长线于点E， ， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∴ ． ， ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． 设 ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，能够作出辅助线并将所求转化成角的正切值是解题的关键． 17. 如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点F，首先根据题意可证得，，，根据勾股定理即可求得，，再由折叠的性质可知：，，即可求得，，再根据勾股定理即可求得，，由，可证得，，据此即可求得，，，再根据勾股定理即可求得，，据此根据勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图：过点D作于点F， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 解得， ， 由折叠的性质可知：，， ， 解得， ， 在中，， ， ， ， ， ， 解得，， ， 在中，， ， 解得， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键． 18. 中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查旋转的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.． 过作于，利用旋转的性质及勾股定理求得，再利用，得，过作交的延长线于，利用，得，故，即可求出即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于， ∵将绕点旋转得到， ∴，，， ∵中，，，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， 过作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（第19-22题，每题10分；第23-24题，每题12分；第25题14分；共78分） 19. 计算：． 【答案】2+． 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案． 【详解】原式＝ ＝， ＝， ＝2+． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1． （1）求EC：BC的值； （2）设，，那么________，__________（用向量、表示） 【答案】（1）EC：BC＝2：3；（2），．； 【解析】 【分析】(1)根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题； (2)利用三角形法则计算即可； 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴3， ∴3， ∴EC：BC＝2：3． （2）∵，AC＝2AO， ∴2， ∵2，ECBC， ∴， ∵AD∥BE， ∴， ∴BGBD， ∵222， ∴（22）， 故答案为，． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，已知中，，，边的垂直平分线，交的延长线于点D，交边于点E． （1）求的长； （2）求点C到直线的距离． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点F，由等腰三角形的性质可得，，求得，再根据垂直平分线的性质可得，，从而可得，即，求得，即可求解； （2）过点C作于点H，证明，根据平行线段成比例定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点F， ∵，，， ∴，， 在中，， ∵垂直平分， ∴，， 在中，，即， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点C作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 22. 图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，） 【答案】托板顶点A到底座CD所在平面的距离为248mm． 【解析】 【分析】过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F，由平行线的性质可得，得出，在与中，分别利用锐角三角函数求解得出，，托板顶点A到底座CD所在平面的距离即可得出． 【详解】解：如图所示：过点B作，，交CD于点G，过点A作，交BE于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 答：托板顶点A到底座CD所在平面的距离为． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，利用锐角三角函数解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用锐角三角函数是解题关键． 23. RtABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD=CA，DE⊥AB． （1）求证：． （2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H．求证：CH⊥AB． 【答案】 证明：（1）∵CA=CD， ∴∠A=∠CDA． ∵∠ACD=90°， ∴∠A+∠B=90°． ∵DE⊥AB， ∴∠CDA+∠CDE=90°， ∴∠B=∠CDE． ∵∠DCE=∠BCD， ∴△DCE∽△BCD， ∴． ∵CD=CA， ∴， ∴； （2）∵，∠ACE=∠BCA， ∴△CAE∽△CBA， ∴∠CEA=∠CAB． ∵∠ACB=90°， ∴∠CEA+∠CAE=90°． ∵M为AE的中点，∠ACE=90°， ∴CM=AM， ∴∠CAE=∠ACM． ∵∠CEA=∠CAB， ∴∠CAB+∠ACM=90°， ∴∠AHC=90°， ∴CH⊥AB． 【解析】 【分析】（1）证明△DCE∽△BCD，根据相似三角形的对应边成比例即可得证； （2）证明△CAE∽△CBA，可得∠CEA=∠CAB，由直角三角形的性质可证CM=AM，从而∠CAE=∠ACM，然后由等量代换可证∠CAB+∠ACM=90°，进而可证结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 24. 如图在平面直角坐标系内，已知点，，，，点在轴的负半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点是直线在第三象限上的点，连结，且，求的值； （3）在（2）的条件下，连结，在直线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由，结合点在轴的负半轴上，求出点P的坐标，设直线的表达式为，把P、D两点代入为，求得k，b的值即可； （2）由，得到，结合为的公共角，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可得，由此，过M作轴于H，设点，由由，解直角三角形的性质易得，得到，求出，即可求； （3）分两种情况：点E在C左侧和点E在C右侧讨论即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴ ， ∵，点在轴的负半轴上，即， ∴， 设直线的表达式为，把P、D两点代入为， 则，解得：， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，过M作轴于H， ， ∴， ∵为的公共角， ∴， ∴， 设点，则， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ 轴 ， 当点E在C左侧， 则， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴. ∴， ∴；                                                      过点A作于点N，则， 当点E在C右侧时，记为点， ∵ ， ∴ 点与E关于直线对称，则 综上所述，E的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 25. 如图，梯形中，，，，，，点是射线上一动点（不与点重合），将沿着进行翻折，点的对应点记为点． （1）如图，当点落在梯形的中位线上时，求的长． （2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出定义域． （3）如图，连接，线段与射线交于点，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）如图中，延长交的延长线于，证明垂直平分线段，得，得到，由，，推出，即可得解； （2）如图中，设交于，，，证明得，可得，证明得，可得，继而得到，再根据，即可得出结论； （3）分三种情形：①如图中，当时；②如图中，当时；③如图中，当时，点与重合．分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图中，延长交的延长线于， ∵梯形中，，， ∴， ∵是梯形的中位线， ∴，，， ∴，即， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 如图2中，过点作于点，设交于，设，， ∴，， ∵在梯形中，，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点在线段上（不与点重合），，， ∴， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ，得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 ①如图3中，当时，延长交于，设， ∵在梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将沿着进行翻折，点的对应点为点， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ③如图中，当时，点与重合， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，梯形的性质，梯形的中位线，垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $