相似三角形基本模型压轴题专项训练（一）-2024-2025学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

相似三角形基本模型压轴题专项训练（一） 一、填空题 1．如图正方形中，E是对角线上一点，在右侧取一点F，使，与交于点G，若，则的长为 ． 2．如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，若，则 ． 3．如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．有一点F在矩形的内部或边上，射接与线段交于点Q，且．如果点C与点F之间的距离为d，那么d的取值范围为 ． 4．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ． 5．如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为 ． 6．中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是 ．    7．如图：正方形中，，为对角线，为内一点，连接、、，若，，则的长度为 ．    8．如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是 ． 9．在平行四边形中，，，对角线，点在上运动，连接，，将，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，，，当为直角三角形时， ． 10．如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则= ． 11．如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，连接，则面积的最大值为 ． 12．如图，在中，，，，点是边上一点，将沿着过点的一条直线翻折，使得点落在边上的点处，连接，如果，那么的长为 ． 13．如图，在平行四边形中，，，．点在上，且，连接．动点在线段上，动点在线段上，且．点为线段上一动点，且，当取得最小值时，线段长度为 ． 二、解答题 14．（1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则　 　；    （2）如图2，平行四边形ABCD，AB，BC，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠B时，你能求出的比值吗？请写出求比值的过程；    （3）如图3，四边形ABCD，AB＝113，∠B＝∠ADC＝120°，BC＝45，，点E在边AB上，连接AC与DE交于点O，当∠COD＝∠B时，求的值．    15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与重合）． (1)求直线的解析式； (2)作于，于，连接． ①若与相似，求点的坐标； ②取的中点，直接写出周长的最小值． 16．在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当时，若，求正方形的边长； (3)如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 17．【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 18．（1）发现：如图所示，在正方形中，点B，F分别是，上的两点，连接，，，求的值． （2）探究：如图，在矩形中，E为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则的长为 ． （3）拓展：如图，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H且，直线交直线于点P，求的长． 19．如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． (1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． (3)将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值. 20．【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形基本模型压轴题专项训练（一） 一、填空题 1．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）如图正方形中，E是对角线上一点，在右侧取一点F，使，与交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质可得到，由，得到，从而求得，再结合正方形的对角线互相垂直可推出，从而，可得到，设，则，，，，最后根据即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴． 故答案为： 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，若，则 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为． 先证得，根据相似三角形的性质得出，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形中，，点E在边上，且，连接．有一点F在矩形的内部或边上，射接与线段交于点Q，且．如果点C与点F之间的距离为d，那么d的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】设交于点Q，由，得到Q是的三等分点，即，过点F作交于点G，交于点H，由平行线分线段成比例定理得，，连接，求出的长，作于M，求出的长即可． 【详解】解：如图，设交于点Q， ∵， ∴Q是的三等分点，即， 过点F作交于点G，交于点H， ∴，， ∴， ∴，， 连接，由矩形性质可得：，，， 则． 作于M， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴d的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积公式，三角形相似的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，判断出点F的位置是解答本题的关键． 4．（2022·山东济南·一模）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，所以当时，最小，利用三角函数和相似比列式可表示出、，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，确定点G的运动路径是本题的难点． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，矩形的对角线与反比例函数相交于点D，且，则矩形的面积为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，矩形的性质 ，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作轴于点，设，则点， 进而得，证明和 相似得，进而得，然后根据矩形的面积公式可得出答案． 【详解】过点作轴于点，如图所示： 设， 则点， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∵四边形为矩形， ， 轴， ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 6．（上海市闵行区2024-2025学年九年级上学期数学期中试题）中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是 ．    【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查旋转的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.． 过作于，利用旋转的性质及勾股定理求得，再利用，得，过作交的延长线于，利用，得，故，即可求出即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于，    ∵将绕点旋转得到， ∴，，， ∵中，，，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， 过作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·期中）如图：正方形中，，为对角线，为内一点，连接、、，若，，则的长度为 ．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设，先证出，根据相似三角形的性质可得，，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设， 正方形中，，为对角线， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即的长度为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，双曲线经过A、B两点，连接、，过点B作轴，垂足为D，交于点E，且E为的中点，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，作轴于，连接，则，证明，得出，，由三角形面积得出，从而得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于，连接， ， 则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·四川成都·期末）在平行四边形中，，，对角线，点在上运动，连接，，将，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，，，当为直角三角形时， ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】当为直角三角形时，有三种可能①，②，③，分类求． 【详解】解：延长交于点． 将，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． 当为直角三角形时， ①当， ， ， ，，在同一直线上． ， ， ， ． ②当． 作于，延长交''于， ，，， ， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 中， ， ， ． 设， ， ， ． 解得，． ③不合题意，舍去． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，图形的旋转，等腰三角形直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，关键是添加正确的辅助线． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则= ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质、三角形的面积公式等知识点，灵活运用相似三角形的判定及其性质是解题的关键． 如图：过点D作于点F，证明得到；证明，得到，由，求得，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点D作于点F， ， 为、的公共高， ， ∵， ∴ 设，则； ， ， ， ， ∵， ， ∴ ． 故答案为∶． 11．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，正方形的边长为1，点E是边上一动点（不与点B，C重合），过点E作交正方形外角的平分线于点F，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二次函数求最值．先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出，设，则，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，得出，然后求出，再根据三角形的面积公式求出的面积，再根据函数的性质求最值． 【详解】解：作于， 四边形是正方形， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 设，则， ， 四边形是正方形，， ， ，， ， ， ； ， ，， ， ， 当时，的最大值为．故答案为：． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，，点是边上一点，将沿着过点的一条直线翻折，使得点落在边上的点处，连接，如果，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用三角形内角和，以及平角180度，推导出平分，设，则，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题． 【详解】解：根据题意如图所示： 在中，， ，， ， 根据折叠的性质可知， ，， ， ， 平分， 设，则， 如图，过点作于点，于点， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，三角形等面积法，综合性较强，熟练解直角三角形中线段问题是解题的关键． 13．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，．点在上，且，连接．动点在线段上，动点在线段上，且．点为线段上一动点，且，当取得最小值时，线段长度为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】如图，过作于，由，，可得，，结合，，，证明，求解，过作于， 证明，结合，可得，延长，使，连接，证明，可得，当三点共线时，最小，即最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长，使，连接， ∴，而， ∴， ∴，即， 当三点共线时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、解答题 14．（2023·江苏无锡·模拟预测）（1）如图1，正方形ABCD，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，有∠FOD＝90°，则　 　；    （2）如图2，平行四边形ABCD，AB，BC，点E、F分别在边AB、BC上，连接AF与DE交于点O，当∠FOD＝∠B时，你能求出的比值吗？请写出求比值的过程；    （3）如图3，四边形ABCD，AB＝113，∠B＝∠ADC＝120°，BC＝45，，点E在边AB上，连接AC与DE交于点O，当∠COD＝∠B时，求的值．    【答案】（1）1；（2），过程见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证△BAF≌△ADE（ASA），得AF＝DE，即可得出结论； （2）证△OAE∽△BAF，得，再证△ADO∽△EDA，得，则，即可得出结论； （3）过点D作DN∥AB交BC的延长线于点N，过点A作AM∥BC交ND的延长线于点M，连接OM，则四边形ABNM是平行四边形，同（2）得△OAE∽△BAC，则，再证△ADE∽△OMA，得，则，在NM上取一点P，使NP＝NC，连接CP，证△PCN是等边三角形，得CP＝NC＝NP，∠CPN＝60°，然后证△PCD∽△MDA，得，设AM＝7x，则DP＝9x，CP＝PN＝NC＝7x﹣45，进而由MN＝PN+PD+DM＝113得出方程，求出x＝9，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°， ∵∠FOD＝90°， ∴∠AOE＝∠FOD＝90°， ∴∠BAF+∠AED＝90°＝∠AED+∠ADE， ∴∠BAF＝∠ADE， 在△BAF和△ADE中， ， ∴△BAF≌△ADE（ASA）， ∴AF＝DE， ∴1， 故答案为：1； （2）能求出的比值为，过程如下： ∵∠FOD＝∠B，∠AOE＝∠FOD， ∴∠AOE＝∠B， ∵∠OAE＝∠BAF， ∴△OAE∽△BAF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，AD＝BC， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°， ∵∠FOD+∠AOD＝180°， ∴∠AOD＝∠BAD， ∵∠ADO＝∠EDA， ∴△ADO∽△EDA， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，过点D作DN∥AB交BC的延长线于点N，过点A作AM∥BC交ND的延长线于点M，连接OM，      则四边形ABNM是平行四边形， ∴∠AMN＝∠B＝120°，∠BAM＝180°﹣∠B＝60°，AM＝BN，MN＝AB＝113， 同（2）得：△OAE∽△BAC， ∴， ∵∠COD＝∠B＝120°， ∴∠AOD＝60°， ∴∠AOD+∠AMN＝180°， ∴A、O、D、M四点共圆， ∴∠ADO＝∠OMA，∠DOM＝∠DAM， ∵∠AOD＝∠BAM＝60°， ∴∠AOD﹣∠DOM＝∠BAD﹣∠DAM， 即∠AOM＝∠EAD， ∴△ADE∽△OMA， ∴， ∴， ∴， 在NM上取一点P，使NP＝NC，连接CP， ∵AB∥MN，∠B＝120°， ∴∠N+∠B＝180°， ∴∠N＝60°， ∴△PCN是等边三角形， ∴CP＝NC＝NP，∠CPN＝60°， ∴∠CPD＝120°＝∠M， ∵∠ADC＝120°， ∴∠PDC+∠PCD＝180°﹣∠ADC＝60°＝∠PDC+∠MDA， ∴∠PCD＝∠MDA， ∴△PCD∽△MDA， ∴， 设AM＝7x，则DP＝9x，CP＝PN＝NC＝BN﹣BC＝7x﹣45， ∴DMCPx﹣35， ∵MN＝PN+PD+DM＝113， ∴7x﹣45+9xx﹣35＝113， 解得：x＝9， ∴AM＝7x＝63， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识，本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 15．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线过点，与轴交于点，，点是线段上一点（不与重合）． (1)求直线的解析式； (2)作于，于，连接． ①若与相似，求点的坐标； ②取的中点，直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①与相似，点的坐标为或；② 【知识点】求一次函数解析式、几何问题(一次函数的实际应用)、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，根据，可得，运用待定系数法即可求解； （2）①根据解直角三角形的计算方法可得，，，四边形是矩形，设，根据含角的直角三角形的性质可得，，，根据相似三角形的判定方法，分类讨论：当时，；当时，；结合含角的直角三角形的性质即可求解；②根据题意，四边形是矩形，对角线的交点即为的中点，分别取的中点，连接，则是的中位线，，则有的中点在线段上，作点关于的对称点，连接，当点三点共线时，的值最小，则的周长最小，根据点坐标即中点坐标的计算方法可得，，，则有，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵直线过点，与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：①∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 如图所示， 设， ∴， 在中，，则，， 在中，，， ∵， ∴当时，， ∴，即， 解得，， ∴； 当时，，如图所示， ，即， 解得，， ∴； 综上所述，与相似，点的坐标为或； ②如图所示， 连接， ∵四边形是矩形， ∴对角线的交点即为的中点， 分别取的中点，连接，则是的中位线，， ∴的中点在线段上， 作点关于的对称点，连接， ∴， ∴的周长为， 当点三点共线时，的值最小，则的周长最小， ∵， ∴，，∴， ∴， ∴， ∴出周长的最小值． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，含角的直角三角形的性质，中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理求最短路径的计算，掌握一次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算方法是解题的关键． 16．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当时，若，求正方形的边长； (3)如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质可证，，结合相似三角形的判定即可求证； （2）根据题意可证四边形是矩形，可得，由（1）中，，可得，则有，由此可求出，在中，运用勾股定理可得的值，由此得到的值，根据即可求解； （3）根据题意可证，可得，，则有，，，，即点是的中点，设，，则，，，在中，由勾股定理可得，由此可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿折叠，得到，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可得，，， 由（1）得， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （3）解：根据题意，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点，则， 设，，则，，， 在中，， ∴，整理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理求线段长等知识的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． 17．（2024·湖北荆州·二模）【教材呈现】 人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下： 【类比分析】 （1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长． 【迁移探究】 （2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质建立等式并求解，即可解题； （2）作，延长交于点，利用等腰三角形性质，证明，得到，再证明，利用相似三角形性质得到，结合等量代换，即可证明； （3）连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点，利用三角形内角和证明，得到，利用等面积法求得，进而得到，设，，利用勾股定理建立等式求解，得到，再证明，利用相似的性质得到，再结合题干条件利用勾股定理得到，将代入等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ， 于点， ， ， ， ， ，， ， 解得； （2）证明：作，延长交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：连接，交于点，由对称的性质可知于点，，作于点，交于点， ，， ， ，，， ，， ， ，解得， ， ， 设，， 有， 解得， ， ，， ， ， ， ， E为中点， ， ， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等面积法求高，对称的性质，以及勾股定理等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 18．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）（1）发现：如图所示，在正方形中，点B，F分别是，上的两点，连接，，，求的值． （2）探究：如图，在矩形中，E为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，则的长为 ． （3）拓展：如图，在菱形中，，E为边上的一点且，，沿翻折得到，与交于H且，直线交直线于点P，求的长． 【答案】（1）  （2）   （3） 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明根据全等三角形的性质得到得到答案； （2）由平行线的性质和折叠的性质可证由勾股定理可求的长，通过证明 ，可得 即可求解； （3）通过证明，可求的长，由勾股定理可求，的长，可得的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即； 解：（2）∵将沿翻折到处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：（3）如图， 过点作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 19．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，在中，，点是边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． (1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小； (2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系． (3)将图1特殊化，如图3，当时，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作，交的延长线于点，如图，证明，得到，再通过线段的代换得出，即得，进而求解； （2）延长并截取，如图，证明，得到，，再通过线段的代换得出，即得，进而求解； （3）证明都是等边三角形，可得，，进而得，可证，设，则，根据相似三角形的性质求出，进而可得，过点作，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质，即可求解. 【详解】（1）解：作，交的延长线于点，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）延长并截取，连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴，   ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长并截取，连接，如图，由（2）可得，， ∴都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，   ∴，，， ∴， ∴，， 过点作 ∴， 在中，， 在中，， ∵，则是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线、证明三角形全等与相似是解题的关键. 20．（22-23九年级上·广东深圳·期中）【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形ABFC中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）10 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案； 【详解】（1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$