5.3 诱导公式（分层作业，7大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.3 诱导公式 题型1 诱导公式一 1．求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性化简求值即可. 【详解】 ， 故选：A 2．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式结合特殊角的余弦值即可求解. 【详解】. 故选：C 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化解即可求解. 【详解】. 故选：B 题型2 诱导公式二、三、四 1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故选：B 2．若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式化简条件即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：B 3．若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据诱导公式即可. 【详解】. 故选：A. 题型3 诱导公式五、六 1．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：A 2．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】由，得. 故选：B. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案； 【详解】由诱导公式得，又由，可得． 故选：A. 题型4 诱导公式的综合应用 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用平方关系求得的值，再结合诱导公式、商数关系逐项化简判断即可. 【详解】因为，，所以， 则，， ，，则AC正确，BD错误. 故选：AC. 2．给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ） A．，成立的条件是是锐角 B．若，则cos. C．若，则 D．若，则， 【答案】CD 【分析】由诱导公式判断选项A错误；对分类讨论得到选项B错误；利用同角商数关系和诱导公式证明选项C正确；由得或．再证明选项D正确. 【详解】由诱导公式二，知时，，所以A错误． 当（）时，，此时， 当（）时，，此时，所以B错误． 若（），则，所以C正确． 将等式两边平方，得，所以或． 若，则，此时； 若，则，此时， 故，所以D正确． 故选：CD 3．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式结合切化弦运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：ABD. 题型5 三角函数恒等式的证明——诱导公式 1．已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 2．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 3．求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 题型6 三角函数的化简、求值——诱导公式 正切函数的诱导公式 1．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 2．已知角终边上一点，求的值. 【答案】 【分析】根据题意，由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简求值即可. 【详解】角终边上一点，根据三角函数的定义，可得． 所以． 3．计算题： (1)已知，，求的值； (2)； (3)已知，，求用表示 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可； （2）利用对数的运算公式求解即可； （3）利用换底公式和对数的运算求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以. （2） （3），所以，又， 题型7 正切函数的诱导公式 1． ． 【答案】－1 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【详解】解：原式 故答案为：. 2．已知，则 . 【答案】6 【分析】利用诱导公式求得的值，然后在所求分式的分子和分母中同时除以，可将所求分式转化为只含的代数式，代值计算即可. 【详解】由诱导公式可得，因此，. 故答案为：6. 3．已知则 . 【答案】0 【分析】根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】由，可得，故. 故答案为：0 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，以及三角函数的诱导公式和二倍角公式，即可求解. 【详解】令，则， 故， 故选：D. 2．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考试难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点和在以坐标原点为圆心，半径为l的上逆时针匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad／s，起点为射线与的交点，则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为，由，可用含的式子表示，再根据的取值，代入运算，得解． 【详解】设两个质点重合时，所用时间为，则重合时点，的坐标均为， 由题意可得，，解得， 当时，，，所以点的坐标均为，故选项A正确； 当时，，，所以点的坐标均为，故选项B正确； 当时，，，所以点的坐标均为，故选项D正确，选项C错误； 故选：ABD. 3．欧拉公式（是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知， 【答案】1 【解析】由已知可知，运用诱导公式可求出，以及，继而可求. 【详解】解：由题意知，，， 同理，.故. 故答案为:1. 【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 4．化简： ． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 【详解】. 故答案为： 5．化简： . 【答案】 【分析】运用诱导公式直接化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 6．化简：． 【答案】 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 诱导公式 题型1 诱导公式一 1．求值：（    ） A． B． C． D． 2．（     ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型2 诱导公式二、三、四 1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则=（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D．1 题型3 诱导公式五、六 1．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型4 诱导公式的综合应用 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ） A．，成立的条件是是锐角 B．若，则cos. C．若，则 D．若，则， 3．下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5 三角函数恒等式的证明——诱导公式 1．已知，求证：. 2．证明：． 3．求证：当或3时，. 题型6 三角函数的化简、求值——诱导公式 正切函数的诱导公式 1．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 2．已知角终边上一点，求的值. 3．计算题： (1)已知，，求的值； (2)； (3)已知，，求用表示 题型7 正切函数的诱导公式 1． ． 2．已知，则 . 3．已知则 . 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．2023年1月出版的《中国高考报告2023》中指出，高考数学试题将会全面的加入复杂情境，更加注重数学思维能力和思想方法的考察，考试难度加大.某教师从“丢手绢”游戏中抽象出以下数学问题，质点和在以坐标原点为圆心，半径为l的上逆时针匀速圆周运动，同时出发，的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5rad／s，起点为射线与的交点，则当与重合时，的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 3．欧拉公式（是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知， 4．化简： ． 5．化简： . 6．化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$