5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（分层作业，20大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 题型1 求sinx的函数的单调性 1．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 题型2 利用正弦型函数的单调性求参数 1．已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 题型3 比较正弦值的大小 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 题型4 解正弦不等式 1．不等式，，求不等式的解集． 2．在内，求使成立的x的取值范围. 3．可以利用正弦函数和的图像，并结合正弦函数的周期性来求解不等式.请根据上述方法求函数的定义域. 题型5 正弦（或正弦型)函数的定义域、值域和最值 1．已知（为常数）. (1)求的递增区间； (2)求的最大值及取得最大值时的集合； (3)若时，的最大值为4，求的值. 2．已知的一段图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)，求函数的值域． 3．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的最小值及相应的x的值． 题型6 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 1．若函数（其中常数ω是小于1的正数）在区间上的最大值是，求ω的值. 2．已知函数的最大值为1， (1)求常数的值； (2)求使成立的x的取值集合． 3．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上的最大值为2，求t的取值范围． 题型7 正弦（或正弦型)函数的奇偶性 1．已知函数． (1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合； (2)判断函数的奇偶性并证明； 2．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）． 3．已知函数，． （1）请指出函数的奇偶性，并给予证明； （2）当时，求的取值范围． 题型8 由正弦（或正弦型)函数的奇偶性求参数、函数值 1．（多选题）下列选项中，正确的有（    ） A．若，都是第一象限角，且，则 B．函数的最小正周期是 C．若是定义在R上的奇函数，且最小正周期是T，则 D．函数的最小值为 2．设函数（其中常数）是R上的偶函数，求的值． 3．已知函数的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递减区间． 题型9 求sinx（型）函数的对称轴及对称中心 1．（多选题）给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（多选题）已知函数满足，函数图象上距原点最近的最高点坐标为，则下列说法错误的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．为函数图象的一条对称轴 D．为函数图象的一个对称中心 3．（多选题）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 题型10 求含cosx的函数的单调性 1．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于点对称 C．若，，则 D．若，且，则 2．（多选题）已知函数，则（    ） A．函数为偶函数 B．最小正周期为 C．单调递增区间为 D．的最小值为-2 3．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．函数的最小正周期为 C．函数在上单调递减 D．对于函数，， 题型11 利用余弦函数的单调性求参数 1．（多选题）若函数在上单调，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D． 3．（多选题）已知函数在上单调，且有，则（    ） A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．点是图像的一个对称中心 D． 题型12 比较余弦值的大小 1．（多选题）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）下列结论正确的是（    ） A．在锐角中，恒有成立 B．在中，恒有成立 C．若，则的最小值为2 D．若，则 3．（多选题）下列式子成立的有（    ） A． B． C． D． 题型13 解余弦不等式 1．设角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．当，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．满足不等式成立的的取值集合为（ ） A． B． C． D． 题型14 余弦（或余弦型)函数的定义域、值域和最值 1．已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 2．已知． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求的值域． 3．已知函数． (1)求函数的定义域D，并写出函数的值域； (2)证明该函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间． 题型15 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 1．已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型16 余弦（或余弦型)函数的奇偶性 1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D． 2．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 题型17 由余弦（型）函数的奇偶性求参数 1．已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型18 求余弦（或余弦型)函数的最小正周期 1．已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则的最小正周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型19 由余弦（型）函数的周期性求值 1．已知，则 . 2．若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 3．已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ． 题型20 求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 1．写出函数图象的一条对称轴的方程： ． 2．函数的最小正周期为，则曲线的一条对称轴方程为 . 3．函数的对称中心为 . 1．函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为（    ）. A． B． C． D． 2．若函数满足，在上的解析式为,则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）多设函数，则（　　） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．的最小值是 D．在上有个零点 4．（多选题）设，函数，，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．时，在区间上无对称轴 D．时，在区间上单调递减 5．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 . 6．已知函数且.若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的最小值为 . 7．已知； (1)若函数的定义域为，求函数的最值； (2)，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 8．若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. (1)判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； (3)当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 题型1 求sinx的函数的单调性 1．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【详解】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 2．下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦函数的奇偶性、单调性和周期性逐个分析判断. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以A错误， 对于B，为偶函数，且周期为，当时，， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B错误， 对于C，因为为奇函数，所以C错误， 对于D，因为，所以为偶函数， 因为的图象是由在轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 所以函数的周期为， 当时，，此时， 而在上单调递增，故D符合． 故选：D． 3．下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 【答案】C 【分析】根据余弦函数的单调性可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据奇偶性的定义可判断C；根据正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B错误； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：C. 题型2 利用正弦型函数的单调性求参数 1．已知函数在有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在有且仅有2个极值点，可得，解得，又在上单调递增，可得，解得，则可得的取值范围. 【详解】因为在有且仅有2个极值点， 所以，解得， 因为在上单调递增， 又，所以， 解得，所以． 故选：A． 2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且在区间上有且仅有1个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，结合在区间上单调递增可得，再由在区间上有且仅有1个零点，可得可能的零点，再分类讨论结合三角函数的性质即可得得出答案. 【详解】由题意可得：， 因为在区间上单调递增， 因为，， 所以，解得：， 又在区间上有且仅有1个零点， 所以，， 结合，所以， 所以这个零点可能为或或， 当时，，， 解得：， 当时，，， 解得：， 当时，无解， 综上：的取值范围为. 故选：A. 3．已知函数，的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的最小正周期为可求出，从而可得，根据函数图象关于点对称可得出，根据，可得或，根据单调性，可得的值. 【详解】因为函数的最小正周期为，，所以，解得， 则，因为函数图象关于点对称， 所以，解得， 因为，所以或. 令，解得：， 所以的单调递增区间为， 又函数在区间上单调递增， 所以，， 解得：， 因为，所以，故， 故选：D 题型3 比较正弦值的大小 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数及正弦函数的单调性，借助媒介数比较大小. 【详解】依题意， 所以. 故选：A 2．已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数、对数函数、三角函数的单调性求出，，的取值范围即可求得. 【详解】由指数函数和对数函数的单调性知，，， 因为在单调递增，且，所以， 所以. 故选：C 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正余弦函数及对数函数的单调性分别判定与c的大小即可. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又定义域上单调递增，所以， 而在上单调递减，所以，所以. 故选:A 题型4 解正弦不等式 1．不等式，，求不等式的解集． 【答案】 【分析】利用三角不等式的解法进行求解即可. 【详解】由，则， 因为不等式在上的解集为， 所以当时，不等式的解集为． 2．在内，求使成立的x的取值范围. 【答案】 【分析】画出函数，利用图象求解即可. 【详解】当时，由，得，解得或. 函数在的图象如下图所示：    由图可知，该不等式的解集为. 3．可以利用正弦函数和的图像，并结合正弦函数的周期性来求解不等式.请根据上述方法求函数的定义域. 【答案】见解析 【分析】先求出时，的解集，再根据正弦函数的周期性即可得出答案；同理可求出函数的定义域. 【详解】正弦函数和的图像如下图， 当时，由可得， 当时，由可得， 函数的定义域为，即， 所以的定义域. 题型5 正弦（或正弦型)函数的定义域、值域和最值 1．已知（为常数）. (1)求的递增区间； (2)求的最大值及取得最大值时的集合； (3)若时，的最大值为4，求的值. 【答案】(1) (2)，有最大值为 (3) 【分析】（1）根据求解即可. （2）根据时取得最大值，再解方程即可. （3）根据题意得到，即可得到，即可得到答案. 【详解】（1），解得. 所以的递增区间. （2）由正弦函数性质知，当时，即，取得最大值为. （3）因为，所以， 所以，即，解得. 2．已知的一段图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)，求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图象可知，求出，从而可求出的值，再将代入函数中可求出的值； （2）由可求出函数减区间； （3）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域. 【详解】（1）由图象可知，则， 所以，得， 所以， 因为的图象过点， 所以，得， 得， 因为，所以， 所以； （2）由，得 ， 所以， 所以的递减区间为； （3）由，得， 所以， 所以，即， 所以， 所以的值域为. 3．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调增区间； (3)当时，求函数的最小值及相应的x的值． 【答案】(1) (2)， (3)时取得最小值 【分析】（1）由最小正周期的计算公式计算即可； （2）由整体法代入求解即可； （3）利用整体法求解范围，进而可求解最小值． 【详解】（1）由，则函数最小正周期为． （2）令，∴，， 故函数的单调递增区间为，． （3）时，， 当，即时取得最小值． 题型6 由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 1．若函数（其中常数ω是小于1的正数）在区间上的最大值是，求ω的值. 【答案】 【分析】由正弦函数的单调性确定时，取最大值，进而得出ω的值. 【详解】由题意知，函数的最大值为， 因为，所以，故函数在给定区间内递增， 所以当时，取最大值. 即. 2．已知函数的最大值为1， (1)求常数的值； (2)求使成立的x的取值集合． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦函数的性质，结合已知求出的值. （2）利用正弦函数的单调性求解不等式即得. 【详解】（1）依题意，函数的最大值为1，因此函数，由，解得， 所以常数的值为. （2）由（1）知，，由，得， 因此，解得， 所以使成立的x的取值集合是. 3．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上的最大值为2，求t的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，再由正弦函数的性质得出单调增区间； （2）由结合正弦函数的性质列出不等关系，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：因为 由，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. （2）由得 结合题意可知，解得，即t的取值范围为 题型7 正弦（或正弦型)函数的奇偶性 1．已知函数． (1)求函数取得最大、最小值时自变量的集合； (2)判断函数的奇偶性并证明； 【答案】(1)函数取最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是； (2)函数为奇函数，证明见解析. 【分析】（1）先用诱导公式化简，再用整体法可得函数取最值时自变量的取值范围； （2）利用函数奇偶性定义进行判断. 【详解】（1）因为， 令，，即，时，函数取得最大值； 令，，即，时，函数取得最小值， 所以函数取得最大值时自变量的集合是，函数取得最小值时自变量的集合是； （2）函数为奇函数； 因为函数定义域为R，且， 故函数为奇函数. 2．判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）． 【答案】（1）偶函数；（2）奇函数． 【分析】根据函数解析式，判断函数奇偶性即可. 【详解】（1）由， 得函数为偶函数； （2）由， 则函数为奇函数. 3．已知函数，． （1）请指出函数的奇偶性，并给予证明； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）. 【分析】（1）取，验证，即得函数是非奇非偶函数； （2）先由得到，再逐步计算的取值范围即可． 【详解】解：， （1），      是非奇非偶函数；                      （2）由，得，．    所以．即． 题型8 由正弦（或正弦型)函数的奇偶性求参数、函数值 1．（多选题）下列选项中，正确的有（    ） A．若，都是第一象限角，且，则 B．函数的最小正周期是 C．若是定义在R上的奇函数，且最小正周期是T，则 D．函数的最小值为 【答案】CD 【分析】A选项，取特殊角，即可判断A错；B选项，根据正弦函数的性质以及翻折变换，可判断B错；C选项，根据函数奇偶性与周期性，得到，求得，即可判断C正确；D选项，将函数整理，得到，根据含正弦的二次式的最值，即可判断D正确. 【详解】A选项，取，，得，故A错误； B选项，因为函数的图象是由沿轴后与组成的图像， 根据正弦函数的性质可知，该函数不是周期函数，故B错误； C选项，若是定义在上的奇函数，且最小正周期是，则， 因此，所以，故C正确； D选项，函数， 因为，所以当时， 此函数有最小值，故D正确． 故选：CD. 【点睛】本题主要考查三角函数性质的相关判定，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型. 2．设函数（其中常数）是R上的偶函数，求的值． 【答案】 【分析】根据正弦函数的奇偶性结合诱导公式运算求解. 【详解】因为函数是R上的偶函数，则， 又因为，则. 3．已知函数的图象过点，且其图象上相邻两个最高点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合周期性和特值求即可； （2）根据题意可得，结合正弦函数单调性分析求解. 【详解】（1）因为函数的图象上相邻两个最高点之间的距离为， 可知，且，所以， 又因为函数的图象过点，则， 且，可知，所以． （2）由（1）可知． 令，因为的单调递减区间为， 且由，解得． 故函数的单调递减区间为． 题型9 求sinx（型）函数的对称轴及对称中心 1．（多选题）给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】利用诱导公式化简函数，利用正弦含性质即可求解①，举反例即可求解②，根据整体法，结合正弦函数的性质即可求解③，代入验证即可求解④. 【详解】 ①函数是奇函数，正确； ②若、是第一象限角且，取，，则，不正确； ③，则，所以， 故在区间上的最小值是，最大值是2，不正确； ④当时，， 故是函数的一条对称轴，正确． 故选：AD 2．（多选题）已知函数满足，函数图象上距原点最近的最高点坐标为，则下列说法错误的是（    ） A．的最小正周期为 B． C．为函数图象的一条对称轴 D．为函数图象的一个对称中心 【答案】ACD 【分析】利用正弦函数的图象的特征求得和的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性、正弦函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】设函数周期为，由，函数图象上距轴最近的最高点坐标为， 可得，又， 由且为离原点最近的最高点位置， 结合正弦函数的图象及性质，有， ， 由的最小正周期为，所以错误； 因为，所以B正确； 时函数不取得最值，所以不是对称轴，所以C错误； 时函数的值不为零，所以不是函数对称中心，所以D错误. 故选：ACD. 3．（多选题）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数.当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．在上单调递减 C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 【答案】AD 【分析】根据题意可得是函数的一个周期，由对称性作出函数部分图象和的草图，数形结合判断各个选项得解. 【详解】为奇函数，函数的图象关于点成中心对称， 为偶函数，函数的图象关于直线成轴对称. 则且， ，即， 所以， 是函数的一个周期. 当时，，则可作出函数部分图象和的草图如下. 由图可知A，D正确，B，C不正确. 故选：AD.    题型10 求含cosx的函数的单调性 1．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于点对称 C．若，，则 D．若，且，则 【答案】BD 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据余弦函数的性质判断A，代入求出，即可判断B，由函数的周期性判断C、D. 【详解】因为， 当时，， 又在上单调递增，所以在上单调递增，故A错误； 因为，所以的图象关于点对称，故B正确； 又函数的最小正周期， 因为，所以， 即函数的最大值为，最小值为， 若，，则，故C错误； 由，解得， 所以函数的对称中心为， 又，且，则，故D正确. 故选：BD 2．（多选题）已知函数，则（    ） A．函数为偶函数 B．最小正周期为 C．单调递增区间为 D．的最小值为-2 【答案】AD 【分析】利用奇偶性和周期性定义判断AB,先化简得的解析式，再利用单调性和最值判断CD. 【详解】对A, 易知的定义域为R,关于原点对称，且， 故函数为偶函数，A正确； 对B, ,故最小正周期不是，B错误； 对C, ,, 故的单调增区间为，C错误； 对D,由C易知当，，取得最小值，D正确. 故选：AD. 3．（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．函数的最小正周期为 C．函数在上单调递减 D．对于函数，， 【答案】ACD 【分析】 利用中心对称的性质验证判断A；求出周期判断B；探讨函数单调性判断C；计算判断D. 【详解】对于A，， 因此的图象关于点对称，A正确； 对于B，，即是的周期，B错误； 对于C，当时，，， 令，显然函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，C正确； 对于D，由选项C知，，， ，因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 题型11 利用余弦函数的单调性求参数 1．（多选题）若函数在上单调，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得，再通过整体法确定的取值范围，最后求解取值范围即可. 【详解】由题意函数的最小正周期为， 因为函数在区间上单调， 可得， 则． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为在上单调， 所以或 解得或． 故选：AB. 2．（多选题）已知函数（，）的图象既关于点中心对称，也关于直线轴对称，且在上单调，则的值可能是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】AB 【分析】由对称轴和对称中心列出关系式得，利用单调性得到，进而得或或，再注意验证是否符合题意可得答案. 【详解】由题意可得则， 即.因为在上单调， 所以，所以，即，所以，即， 解得.因为，所以或或. 当时，，，此时在上单调递减，故符合题意； 当时，，，此时在上单调递减，故符合题意； 当时，，，此时在上不单调，故不符合题意. 故选：AB. 3．（多选题）已知函数在上单调，且有，则（    ） A．直线是图像的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．点是图像的一个对称中心 D． 【答案】ABD 【分析】通过函数在某区间上单调得出函数的最小正周期的范围，再通过三个函数值得出函数图像的对称中心和对称轴，进而得出函数的周期，求出有关参数，再逐一判断即可. 【详解】因为函数在上单调， 所以的最小正周期， 又因为， 所以函数的图像关于点，即点对称， 由及，知的图像关于直线对称， 所以的最小正周期，从而，故A，B正确； 因为函数的图像的一条对称轴为直线， 所以，解得， 又，所以，所以， 所以， ，故C错误，D正确． 故选：ABD． 题型12 比较余弦值的大小 1．（多选题）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，利用在上的单调性分析判断，对于B，化简后利用在上的单调性判断， 对于C，利用在上的单调性判断，对于D，利用诱导公化简，通过与中间量比较可得答案. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以，故A正确； 对于B，， 又在上单调递减，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，，所以，故C错误； 对于D，， 又，即， ，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 2．（多选题）下列结论正确的是（    ） A．在锐角中，恒有成立 B．在中，恒有成立 C．若，则的最小值为2 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据锐角三角形性质结合正余弦函数单调性可判断A；根据诱导公式可判断B；举反例判断C；将平方后得到，分类讨论，可判断D. 【详解】对于A，在锐角中，，故， 故，同理可得, 故，A正确； 对于B，在中，，B正确； 对于C，当时，取，则，C错误； 对于D，若，则，即， 故，当时，；当时，； 无论哪种情况，都有，D正确， 故选：ABD 3．（多选题）下列式子成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性，再结合诱导公式逐项判断即可求解. 【详解】A．由，，又因为，所以， 所以，故A正确； B．，，因为， 所以，故B错误； C．由，又因为，所以，故C错误； D．因为，所以，因为，所以， 所以，故D正确. 故选：AD. 题型13 解余弦不等式 1．设角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴非负半轴重合，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当（）时，，所以成立， 所以“（）”是“”的充分条件； 当时，， 所以“”不是“”的必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 2．当，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的单调性解三角不等式，即得答案. 【详解】由题意，， 当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 故的取值范围为， 故选：B 3．满足不等式成立的的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出一个周期内不等式的解集，再结合余弦函数的周期性即可求解. 【详解】解：由得： 当时， 因为的周期为 所以不等式的解集为 故选：A. 题型14 余弦（或余弦型)函数的定义域、值域和最值 1．已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； （3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可； 【详解】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得. （3）因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 2．已知． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求的值域． 【答案】(1)；单调递增区间为； (2) 【分析】（1）利用求出最小正周期，并整体法求解单调递增区间； （2）求出，结合图象得到函数的最值，得到值域. 【详解】（1）的最小正周期， 令，解得， 故单调递增区间为； （2）时，， 故当，即时，取得最大值，最大值为1， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故值域为. 3．已知函数． (1)求函数的定义域D，并写出函数的值域； (2)证明该函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间． 【答案】(1)， (2)证明见解析，，． 【分析】（1）由，结合余弦函数的性质可求出定义域和值域； （2）根据函数奇偶性的定义判断，根据周期的定义可求出最小正周期，由的增区间结合定义域可求出函数的增区间. 【详解】（1）由得，，． 则函数的定义域D为， 函数的值域为； （2）因为定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数． 因为， 即2π是的一个周期， 假设T为的一个周期，且， 则对定义域D内的任意一个x恒成立， 取，则， 即，即， 因为，所以， 则不成立， 所以假设不成立，故2π是的最小周期， 因为的单调增区间为，， ，在上为增函数， 结合定义域D可得函数的单调增区间为 ，． 题型15 由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 1．已知函数，若关于的方程在上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先根据余弦型函数性质求出在上的取值范围及相应单调性情况，再结合与有两个交点，从而可求解. 【详解】由题意知当时，，所以， 当时，单调递增，此时， 当时，单调递减，此时， 所以要使有两个不同实数根， 等价于函数与在及上各有一个交点，所以， 所以的取值范围为，故B正确. 故选：B. 2．已知函数在一个周期内的图象如图所示，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期可得，代入点运算求解即可. 【详解】设函数的最小正周期为， 由题意可知：，即， 且函数，则，解得，即， 又因为函数的图象过点，则， 即，且，所以. 故选：C. 3．已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元令，可得，，根据题意结合二次函数性质分析求解. 【详解】令，则，， 可知的开口向上，对称轴为， 原题意等价于：当时，取最大值，当时，取最小值， 结合二次函数对称性可知：， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 题型16 余弦（或余弦型)函数的奇偶性 1．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为偶函数 D． 【答案】C 【分析】由图象分析取，，得，结合诱导公式，三角函数的单调性，奇偶性分别判断即可． 【详解】对于A，由图象可知，取，，即，则，取 ，即，取， 所以，故A错误； 对于B，当时，设， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，， 设，定义域为， ，所以为偶函数，故C正确； 对于D， ，故D错误； 故选：C． 2．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用求解． 【详解】因为， 故，而，故， 故选：B. 3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】当时，，则. 故选：A 题型17 由余弦（型）函数的奇偶性求参数 1．已知，若存在常数，使得为奇函数，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合余弦型函数的奇偶性求解即得. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数， 得是奇函数， 则必有函数是偶函数，函数是奇函数， 此时， 因此，当时，， 不存在整数，使得值为BCD， 当时，是奇函数. 故选：A 2．已知函数，则“，”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】当时，代入可得，由正弦函数性质，可验证充分性，为偶函数时，得到，可验证必要性. 【详解】函数，当时， ， 则为奇函数，所以充分性不成立， 当为偶函数时，，所以必要性不成立， 故“，”是“为偶函数”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 3．若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：为函数的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解. 【详解】由题意可知：为函数的对称轴， 则，则， 对于选项A：令，解得，不合题意； 对于选项B：令，解得，符合题意； 对于选项C：令，解得，不合题意； 对于选项D：令，解得，不合题意； 故选：B. 题型18 求余弦（或余弦型)函数的最小正周期 1．已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函·数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 2．已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则的最小正周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时，求得，根据题意、结合三角函数的性质，得到，解得，进而求得的最小正周期. 【详解】因为函数，由，可得， 因为，当时，可得， 要使得在区间 内恰好存在两个不同的，使得， 则满足，解得， 所以的最小值为，则的最小正周期的最大值为． 故选：A. 3．关于函数，有以下结论： ①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数； ③函数，定义域均为；④函数，值域均为． 其中正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④. 【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误； 因为， 所以函数为偶函数， 因为， 所以函数为偶函数，故①正确； 因为， 所以是以为周期的周期函数， 因为， 所以是以为周期的周期函数，故②正确； 因为，所以，即， 因为，所以，即，故④错误， 所以正确的个数有个. 故选：B. 题型19 由余弦（型）函数的周期性求值 1．已知，则 . 【答案】/ 【分析】求得的周期，再利用周期性求值即可. 【详解】因为，所以的周期. 又，，，，，， 所以. 又，所以. 故答案为：. 2．若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 【答案】 【分析】根据整体法可得零点满足，即可利用时，，求解符合条件的结合周期性验证所求满足其他区间即可. 【详解】令,则， 函数的零点 ， 当时，，此时符合条件的两个零点为故， 故，解得， 当 时，的零点为， 因此零点为，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间上恰好有两个零点。 故答案为： 3．已知函数的最小正周期为，且时，函数取最小值，若函数在上单调递减，则a的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据最小正周期的计算公式以及余弦函数的最小值，可得函数解析式，根据余弦函数的单调性，利用整体思想，可得答案. 【详解】由函数的最小正周期为，则，解得； ，解得，则.由，则. 故，由，则，， 由函数在上单调递减，则，解得. 故答案为：. 题型20 求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 1．写出函数图象的一条对称轴的方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用整体思想，结合余弦函数对称轴的性质即可求解. 【详解】由题意，函数， 令，解得, 令，则函数的一条对称轴方程为. 故答案为：（答案不唯一）. 2．函数的最小正周期为，则曲线的一条对称轴方程为 . 【答案】（，只需写一个答案即可 【分析】由最小正周期求出函数的解析式，然后求解对称轴即可. 【详解】由函数的最小正周期为， 所以，得，所以. 令，得. 故答案为：（，只需写一个答案即可 3．函数的对称中心为 . 【答案】，. 【分析】利用整体代换法求解对称中心. 【详解】令， 解得 故函数的对称中心为，. 故答案为：，. 1．函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像，先求出，再求出，然后得到，进而求出，最后，直接求函数值即可. 【详解】由图得，，， ，得， 所以，， 则， 得， 由得，， 则， 所以，. 故选：A. 2．若函数满足，在上的解析式为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，分析可得，，由函数的解析式可得与的值，将其相加即可得答案． 【详解】 根据可得为奇函数，由可得，故为周期函数，且周期为4， 故函数是周期为4的奇函数， 则，， 又由函数在,上的解析式为 则，， 则， 故选：C． 3．（多选题）多设函数，则（　　） A．是偶函数 B．在上单调递减 C．的最小值是 D．在上有个零点 【答案】ACD 【分析】根据函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，由题意，函数的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，因为， 所以， 令，在单调递增， 所以，在单调递增， 因为， 所以， 所以在单调递增，故B错误； 对于C，当时， ， 所以当时，， 当时， ， 所以当时，， 所以，故C正确； 对于D，当时， ， 令，得， 解得(舍去)，或， 因为， 所以， 即是函数在上的零点 又因为是偶函数，所以是在上的零点， 所以函数在有个零点，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了正弦型复合函数的性质，包括奇偶性、单调性、最值以及零点，解题的关键是理解并掌握奇偶性的定义，复合函数单调性的原则，正弦函数的值域，根据性质逐个判断即可. 4．（多选题）设，函数，，则（    ） A．函数为奇函数 B．函数为偶函数 C．时，在区间上无对称轴 D．时，在区间上单调递减 【答案】BCD 【分析】对于A,B两项，先写出相应的函数式，再利用函数的奇偶性判断即得；对于C，由推理得到，再根据正弦函数在上的对称轴情况判断即得；对于D，由推理得到，再利用复合函数的单调性判断即得. 【详解】对于A，，则， 故函数为偶函数，故A错误； 对于B，，则， 故函数为偶函数，故B正确； 对于C，当，时，， ∴，，∴， ∵在区间上无对称轴， 故在区间上无对称轴，故C正确； 对于D，若，当时，． ∴，∴． ∴根据复合函数的单调性，可知时，单调递增， 又在区间上单调递减， ∴在区间上单调递减，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛:本题主要考查正弦型函数和余弦型函数的性质应用，属于难题. 求解此类题的一般方法是将内部函数看成整体角，先求出其范围，再利用正弦函数或余弦函数的图象进行观察、分析判断. 5．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于 . 【答案】2025 【分析】函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果． 【详解】设， 当时，， 当时，显然， 所以关于中心对称， 设，则的周期为， 且， 所以关于中心对称， 在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象与函数的图象，如图所示：    观察图象可知两函数的一个交点的横坐标为， 除此以外，这两函数图象如下区间：内，各有两个交点， 且注意到这些区间均关于对称， 故所求为. 故答案为：2025. 【点睛】关键点点睛：关键在于通过对称性画出函数图象，通过图象得出它们交点的分布规律，由此即可顺利得解. 6．已知函数且.若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的最小值为 . 【答案】6 【分析】利用给定的角度范围结合换元法得到，再利用分离参数法求解的取值范围，最后得到最小值即可. 【详解】因为，故有最大值10， 故存在，成立，令因为所以 即存在时，成立，即令， 易知函数的图象开口向下，对称轴为 又则可得，故实数的最小值为6. 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是进行换元，然后得到，再使用分离参数法得到，最后得到的取值即可. 7．已知； (1)若函数的定义域为，求函数的最值； (2)，，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由对数函数的性质可得的值域，通过换元法及二次函数的性质可得结果； （2）由对数函数的单调性转化为对恒成立，利用基本不等式求出的最大值，转化为对恒成立，求出的最大值，根据一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，，由解得， 当时，； 所以， 当时，， 所以， 令则， 设，该函数在时单调递减， 所以，； （2）因为，且 所以， 依题意恒成立， 根据函数在上为增函数，所以对恒成立， 设，因为， 又，当且仅当， 即，所以时取等号， 所以，即对恒成立， 所以对恒成立， 又当时，在时有最大值6， 所以，即或， 故实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题关键第二问：由对数函数的单调性转化为对恒成立，利用基本不等式求出的最大值，转化为对恒成立，求出的最大值，根据一元二次不等式求解即可. 8．若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. (1)判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； (3)当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析 (2) (3)实数的最大值为4 【分析】（1）本题可以从存在性或唯一性来说明该函数不是“依赖函数”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判断答案； （2）根据函数单调性的性质，可得，代入可求解； （3）分类讨论，当时，明显不符题意；当时，利用函数单调性，可得，解得，代入后，利用不等式恒能成立的性质，可得答案. 【详解】（1）对于函数的定义域内取， 则，无解， 故不是“依赖函数”. （2）因为在上递增，故， 即，所以. （3）①当时，取，则，此时不存在，舍去； ②当时，在上单调递减， 从而，由于，故 解得（舍）或， 且，所以 由于存在实数，使得不等式能成立， 故 从而得到， 由于，所以 综上，实数的最大值为4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是：对函数单调性的理解，以及不等式恒能成立的用法，要充分利用数形结合对函数单调性进行充分剖析才可得到答案. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$