专题04 双角平分线模型与角n等分线模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 9 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平分，平分，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵平分，∴，∵平分，∴， ∴， ∵，∴．故选：B 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到是解题的关键． 例2．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线，且．(1)求的度数；(2)若，直接写出的度数．    【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用角平分线的的定义依次求出、即可； （2）利用角平分线的的定义依次用表示、即可； 【详解】（1）解：，是的平分线，， 是的平分线，． （2）解：；，是的平分线，， 是的平分线，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． 例3．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角平分线平分角，及大角等于小角加小角，小角等于大角减小角，进行角度的转化计算即可． 【详解】解：，，， 平分，平分，，， ．故选：D． 【点睛】本题考查了角度的计算，掌握从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线是关键． 例4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，射线平分，射线平分，射线OE平分，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义，则，，，直接求值即可． 【详解】解：∵，射线平分，∴； ∵射线平分，∴； ∵射线平分，∴；∴．故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，先找角与角之间的关系，再运算． 例5．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）（）如图，已知 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，则 ． （）若按照（）中的方法将平分线作到第 次（即 平分 ），那么 ．    【答案】 【分析】（1）根据角的平分线的定义，得到结合规律计算即可．（2）根据猜想的规律计算即可． 【详解】（1）∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， ∴，， ∴， ∵，∴，故答案为：． （1）∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， ∴，， ∴，∴， 当时，故答案为：． 【点睛】本题考查了角的平分线的意义，角的变化规律，熟练掌握规律的探解方法是解题的关键． 例6．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）如图，，在的内部，在的内部，是的一三等分线，若，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】先根据余角的定义可得，再根据是的一三等分线可得或，据此分两种情况解答即可． 【详解】解：∵，，∴， ∵是的一三等分线，∴或， ∵，， ∴当时，；当时，； 综上，的度数为110或130．故答案为或． 【点睛】本题主要考查垂直的定义、余角的性质、等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 例7．（2023秋·河南周口·七年级统考期末）若，，分，平分，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，进行分类讨论当在内部时，当在外部时，再根据角平分线是定义以及角度之间的和差关系即可进行解答． 【详解】解：当在内部时，∵分，平分， ∴，， ∴； 当在外部时，∵分，平分， ∴，， ∴；故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的定义以及角度之间的和差关系，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 例8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小；②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”．在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；(2)或或或． 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴，∵均为直角∴ ①由可得，∴； ②由可得，∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，，∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，，∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，，∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，，∴； 综上：的度数为或或或． 1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平分，平分，求出，再根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点O为直线上一点，平分，平分， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，故C正确．故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出． 2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②； ③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可． 【详解】解：平分，平分， 故①正确； 故②错误； 故③正确； 故④错误；故选B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是解决本题的关键． 3．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（    ） A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角 C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个 【答案】C 【详解】解：∵射线OC、OD把平角∠AOB三等分，∴， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴， ∴，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ∠AOC与∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互为补角，故C选项符合题意； ∠AOE与∠AOC、∠COD、∠BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C 【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键． 4．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：∵∠BOE=∠BOC，∴∠BOC=n∠BOE， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE， ∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，故答案为：． 【点睛】本题考查了角的计算，正确的识别图形是解题的关键． 5．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    【答案】 【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设， ，， ，， 平分，平分，平分， ，，， ，故正确，符合题意； ， 度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意； 综上所述，正确的有：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 6．（2023春·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）直线、相交于点，，作射线，且在的内部．    (1)当点，在直线的同侧；①如图1，若，，的大小是 ； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②平分，理由见解析(2)或 【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得，再根据，可得的度数； ②先根据角平分线定义，再结合余角定义可得结论； （2）需要分类讨论，当点，在直线的同侧时，当点，在直线的异侧；再分别表示、，再消去即可． 【详解】（1）解：①，，， ，，， ；．故答案为：； ②平分，理由如下：平分，， ，，， ，即平分； （2）当点，在直线的同侧时，如图，    记，则， ，，，①， ②， ①②得，； 当点和点在直线的异侧时，如图，    记，则， ，，①， ②， ①②得，． 综上可知，或． 【点睛】本题考查了对顶角，角平分线定义，角的和差倍分运算，主要考查学生的计算能力，并注意数形结合和分类讨论． 7．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：射线在的内部，射线是的平分线，射线是的平分线．    (1)如图1，求证：；(2)如图2，当A、O、B在一条直线上时， (3)在（2）的条件下，，射线与射线夹角是求，的度数． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 或 【分析】（1）直接利用角平分线的定义得出，再相加即可得出答案； （2）由（1）结论进行计算即可； （3）先求出，再分当射线在射线下方时与当射线在射线上方时两种情况求解即可． 【详解】（1）证明：∵射线OM是∠AOC的平分线，射线ON是∠BOC的平分线， ∴， ∴； （2）当A、O、B在一条直线上时，由（1）得： ， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当射线在射线下方时，， 当射线在射线上方时，， 或 【点睛】本题考查了余角与补角、角平分线的定义，邻补角的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键． 8．（2023春·湖北黄冈·七年级校联考阶段练习）如图，直线、交于点，，是的平分线，是的平分线，． (1)求的度数；(2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据垂线的定义，由，得，推断出； （2）根据角平分线的定义，由是的平分线，得，是的平分线，得，进而解答问题． 【详解】（1）解：，，； （2）是的平分线，， ，， 又是的平分线，， ，． 【点睛】本题考查角平分线定义和角的有关计算，解题的关键是掌握角平分线定义和角的有关计算的方法． 9．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）综合与探究 旧知回顾：（）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点．若厘米，则线段的长为______厘米．设厘米，则线段的长为______厘米． 知识迁移：（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究：（）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上；（）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可；本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 10．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考开学考试）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若，，、分别是、的角平分线，求的度数；(2)如图2，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)；(2)．理由见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （2）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解. 【详解】（1）解：∵，，、分别是、的角平分线， ∴，，∴； （2）解：．理由如下， ∵，∴设，则， 设，∵平分，∴，∴， ∵，∴， ∴，则，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 11．（2023秋·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）阅读材料并解答问题． 数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小兰的解答过程（部分空缺）： 解：如图2 因为平分． 所以__________________． 又因为 所以_________． 张明说：“我觉得这道题有两种情况，小兰考虑的是在内部的情况，事实上还可以在的外部．” 请完成以下问题：(1)请你将小兰的解答过程补充完整． (2)根据张明的想法，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求此时的度数． 【答案】(1)；；(2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据,即可求解； （2）根据角平分线的定义得出，根据,即可求解． 【详解】（1）解：如图2 因为平分．所以． 又因为所以．故答案为：；；． （2）解：如图1 因为平分．所以． 又因为 所以． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 12．（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，直线与直线相交于点平分．    (1)若，求；(2)若，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，平分，可得，根据，计算求解即可．（2）由，设，则，由，可得，解得，则，，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴，∴． （2）解：∵，设，则． ∵，∴，解得， ∴，，∴． 【点睛】本题考查了角平分线，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 13．（2024·云南昆明·七年级校考期末）如图，已知点为直线上一点，，平分，，是的三等分线，求的度数．      【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到，再根据角的三等分线定义得到，再由平角的定义得到，即可解答． 【详解】∵，平分，∴， ∵，是的三等分线，∴， 又，∴，∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的三等分线，平角的定义，根据图形确定所求角与已知角的关系是解题的关键． 14．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分．(1)如图，若，求的度数； (2)如图，求证：； (3)若，过点O作射线，使，求的度数．        【答案】(1)(2)见解析(3)或 【分析】（1）根据角平分线的意义求出，再由求解即可；（2）先由角平分线的定义得出，再求出，利用等式的性质即可证明；（3）先由角平分线的意义和角的和差得出，再分两种情况进行讨论：①当在直线下方时，②当在直线上方时，进行求解即可． 【详解】（1）∵平分，，∴， ∵，∴； （2）∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）∵，∴， ∵，∴， ∵平分，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴， ①当在直线下方时，； ②当在直线上方时，； 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查了角平分线的意义和角的和差，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 15．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）如图所示，直线相交于点O，平分，平分．(1)求证：;(2)若，求的度数．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由角平分线的定义得到，，又由得到，结论得证；（2）由得到，由得到，根据对顶角相等即可得到的度数． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∵，∴，即. （2）由（1）可知，∴， ∵，∴， ∵，∴，即的度数为． 【点睛】此题考查了几何图形中的角的计算，用到了角平分线的定义、对顶角的性质、垂直的定义、邻补角等知识，熟练掌握各角之间的关系是解题的关键． 16．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）已知：如图，，平分．    (1)若，求和的度数；(2)若，则_________． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先求出，根据对顶角的性质得到，进而求出，根据角平分线的定义可得，进而可求出的度数； （2）先求出，根据角平分线的定义得到，进而可求出的度数． 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴，∴； （2）∵，∴，∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，角的和差，数形结合是解答本题的关键． 17．（2023重庆市七年级上学期期末数学试题）已知内部有三条射线，，且在同一个平面内，，射线始终在射线的上方，，． (1)如图，当平分时，求的度数； (2)如图，若时，求的度数． 【答案】(1)；(2)的度数为或． 【分析】（1）根据题意，求得、的度数，再根据角平分线的定义，求得的度数，从而得到的度数，即可求解； （2）分两种情况，在的上方或在的下方，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分，∴， ∴，∴； （2）解：由（1）可得：，， 设 当在的上方时，， ∴，∴， 由可得，解得，即； 当在的下方时，则， ∴，∴ 由可得 解得，即； 综上，的度数为或． 【点睛】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学会利用分类讨论的思想求解问题． 18．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，． 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）∵，平分，∴ ∵分别平分，．∴ ∴． （2）若射线在的内部，如图2 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的内部时，． 若射线在外部时，如图3 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的外部时，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 19．（2023秋·山东·七年级课堂例题）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由． 【答案】（1）∠AOB=120°，其补角为60°；（2）∠DOE=60°，∠AOB=120°，∠DOE与∠AOB互补；（3）∠DOE与∠AOB不互补，理由见解析. 【分析】（1）由∠AOB=∠BOC+∠AOC，以及补角的定义，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义，即可求出∠DOE和∠AOE的度数，然后∠DOE+∠AOB=180°，即可得到答案； （3）分别求出∠DOE与∠AOB的度数，然后进行判断，即可得到答案. 【详解】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°， 其补角为：180°∠AOB=180°120°=60°． （2）∠DOE与∠AOB互补； 理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， ∴∠DOC=∠BOC=×70°=35°，∠COE=∠AOC=×50°=25°． ∴∠DOE=∠DOC+∠COE =35°+25°=60°． ∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，∴∠DOE与∠AOB互补． （3）∠DOE与∠AOB不互补， 理由如下：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC， ∴∠DOC=∠BOC=α，∠COE=∠AOC=β． ∴∠DOE=∠DOC+∠COE =α+β=（α+β）． ∴∠DOE+∠AOB=（α+β）+（α+β）=（α+β）， ∴∠DOE与∠AOB不互补． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，补角的定义，以及角的和差计算，解题的关键是熟练掌握几何图形中的角度的计算，熟练掌握所学的知识进行计算. 20．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3)图见解析，的度数是或或 或 【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解； （2）观察图形中角之间的位置关系，得，由角平分线，得； （3）由，分情况：①在内部：由，进一步分情况讨论，在内部或在外部，②在外部：进一步分情况讨论，在内部或在外部；分别求解． 【详解】（1）解：，， ，； （2）由（1）可知，，，， 平分，，的度数是； （3）的度数是或或或， 理由如下：如图1，， ，，    ， 又，，， 如图2，，    即，又，，，    如图3，，， 又，，， 如图，，    ，， 综上所述，的大小为或或 或． 【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 9 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 例2．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线，且．(1)求的度数；(2)若，直接写出的度数．    例3．（2023秋·江苏·七年级统考期末）如图，在外部，，分别是，的平分线．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，射线平分，射线平分，射线OE平分，则等于（　　）    A． B． C． D． 例5．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）（）如图，已知 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，则 ． （）若按照（）中的方法将平分线作到第 次（即 平分 ），那么 ．    例6．（2023秋·山西太原·七年级校考期末）如图，，在的内部，在的内部，是的一三等分线，若，则的度数为 ．    例7．（2023秋·河南周口·七年级统考期末）若，，分，平分，则的度数是 ． 例8．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小；②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”．在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②； ③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（    ） A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角 C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个 4．（2024·山东·七年级专题练习）如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，则∠DOE＝ °．（用含n的代数式表示） 5．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    6．（2023春·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）直线、相交于点，，作射线，且在的内部．    (1)当点，在直线的同侧；①如图1，若，，的大小是 ； ②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 7．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：射线在的内部，射线是的平分线，射线是的平分线．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当A、O、B在一条直线上时， (3)在（2）的条件下，，射线与射线夹角是求，的度数．    8．（2023春·湖北黄冈·七年级校联考阶段练习）如图，直线、交于点，，是的平分线，是的平分线，．(1)求的度数；(2)求的度数． 9．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）综合与探究 旧知回顾：（）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点．若厘米，则线段的长为______厘米．设厘米，则线段的长为______厘米． 知识迁移：（）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究：（）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    10．（2023春·重庆九龙坡·七年级校考开学考试）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线．(1)如图1，若，，、分别是、的角平分线，求的度数；(2)如图2，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 11．（2023秋·海南·七年级统考期末）阅读材料并解答问题．数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小兰的解答过程（部分空缺）： 解：如图2 因为平分．所以__________________． 又因为 所以_________． 张明说：“我觉得这道题有两种情况，小兰考虑的是在内部的情况，事实上还可以在的外部．”请完成以下问题：(1)请你将小兰的解答过程补充完整． (2)根据张明的想法，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求此时的度数． 12．（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，直线与直线相交于点平分． (1)若，求；(2)若，求．    13．（2024·云南昆明·七年级校考期末）如图，已知点为直线上一点，，平分，，是的三等分线，求的度数．      14．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：直线和相交于点O（为锐角），点E在直线上方，，平分．(1)如图，若，求的度数； (2)如图，求证：； (3)若，过点O作射线，使，求的度数．        15．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）如图所示，直线相交于点O，平分，平分．(1)求证：;(2)若，求的度数．    16．（2023春·山东青岛·七年级统考开学考试）已知：如图，，平分．(1)若，求和的度数；(2)若，则_________．    17．（2023重庆市七年级上学期期末数学试题）已知内部有三条射线，，且在同一个平面内，，射线始终在射线的上方，，． (1)如图，当平分时，求的度数；(2)如图，若时，求的度数． 18．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 19．（2023秋·山东·七年级课堂例题）已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由；（3）若∠BOC=α，∠AOC=β，则∠DOE 与∠AOB是否互补，并说明理由． 20．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，已知． (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$