专题04 双角平分线模型与角n等分线模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 9 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023秋·重庆·七年级校联考期末）如图，，，平分，平分．则的度数为 ．        【答案】 【详解】（1）解：平分，，∴， ∵，∴；∵，平分， ∴，∴； 【点睛】本题考查有关角平分线的角度计算，解题的关键是根据角平分线得到相应角度． 例2．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线，且．(1)求的度数；(2)若，直接写出的度数．    【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用角平分线的的定义依次求出、即可； （2）利用角平分线的的定义依次用表示、即可； 【详解】（1）解：，是的平分线，， 是的平分线，． （2）解：；，是的平分线，， 是的平分线，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． 例3．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 ． 【答案】40 【分析】设，，据角平分线的定义得到，据角的和差即可得到结论． 【详解】解：设，， ∵是的平分线，∴，∴， ∵是的平分线，∴， ∵，∴， ∴，∴，即的大小等于，故答案为：40． 【点睛】本题考查角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题关键是找出图中各角之间的和差关系． 例4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，是内部一条射线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，则 ． 【答案】 【分析】依据是平分线，是平分线，可得，依据是平分线，是平分线，可得，进而得出． 【详解】解：∵是平分线，是平分线，∴， ∵是平分线，是平分线，∴， ∴==， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行推算． 例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．    【答案】 【分析】由角平分线性质推理得，，，据此规律可解答． 【详解】解：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：．故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 例6．（2024·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答． A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ． B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）． 【答案】 110°或130° 或 【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB=20°，②当∠BOE′=∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论； B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB，②当∠BOE′=∠AOB，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：A、如图，∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°， ∵OE是∠AOB的一条三等分线，∴①当∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°， ∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°， ②当∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°， 综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°； B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，∵OE是∠AOB的一条三等分线， ∴①当∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°， ∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°， ②当∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°， 综上所述，∠EOD的度数为150°-α°或120°-α°，故答案为：150°-α°或120°-α°； 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键． 例7．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，求的度数？ 【答案】或 【分析】根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：若射线在外部时，若射线在内部时，结合图形求解即可． 【详解】解：∵射线平分，射找平分，∴，， ∴， ∵射线平分，∴，                若射线在外部时，如图1， 则，即， ∵，∴，解得：或；               若射线在内部时，如图2，则， ∴，即，不满足，                  综上，或． 【点睛】题目考查角平分线的计算，理解题意，分类讨论作出图形求解是解题关键． 例8．（2024·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________． (2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）． 【答案】(1)或(2)或或或 【分析】（1）根据“3等分线”的定义分和两种情况求解即可； （2）分为的“3等分线”和为的“3等分线”两种情况求解即可． 【详解】（1）根据“3等分线”的定义可得，或 ∵ ∴或故答案为： 或 （2）①当OA在的内部时，如图， 根据“3等分线”的定义可得，或 ②当OB在的内部时，如图， 根据“3等分线”的定义可得，或 此时，或 综上，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了角的和差倍分，熟练掌握“3等分线”的定义是解答本题的关键． 1．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，平分，平分，，，（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和角的运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分，， ∴，，∴， ∵，∴，∴．故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的定义和角度的运算，熟练掌握与角平分线的有关的角度运算是解答的关键． 2．（2023秋·广东七年级月考）如图，射线平分，平分，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义得出，，即可得出，依次进行判断即可． 【详解】解：∵射线平分，平分， ∴，，∴，故①正确； ∵，，∴，故②正确； ∵，∴，故③正确； ，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③，故A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是根据角平分线的定义，得出． 3．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（    ） A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角 C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个 【答案】C 【详解】解：∵射线OC、OD把平角∠AOB三等分，∴， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴， ∴，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ∠AOC与∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互为补角，故C选项符合题意； ∠AOE与∠AOC、∠COD、∠BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C 【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键． 4．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 当射线在的外部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴∴； 综上所述，或，故答案为：或． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 5．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)． 【答案】 120 【分析】①利用角平分线的定义可得，，易得，利用，可得结果； ②由角的加减可得，可得，再利用可得结果 【详解】解：①，，， ，平分，平分， ，，， ，故答案为120； ②，，， ， ，故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题关键． 6．（2023·北京西城·七年级校考开学考试）如图，OB，OC分别是，的三等分线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由角的三等分线的含义先求解 再结合角的三等分线可得从而可得答案. 【详解】解： ，OB是的三等分线， OC分别是的三等分线， 故答案为： 【点睛】本题考查的是角的三等分线的应用，结合角的和差关系理解图形中的三等分线是解本题的关键. 7．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    【答案】 【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设， ，， ，， 平分，平分，平分， ，，， ，故正确，符合题意； ， 度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意； 综上所述，正确的有：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 8．（2023·天津·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上的点，OC在∠BOD内，∠DOC：∠COB=2：3，OE平分∠AOD，∠EOC=78°，求∠BOD的度数． 【答案】120° 【分析】设∠DOC=2x，∠COB=3x，则∠BOD=5x，求得∠EOD=78°-2x，根据角平分线的定义得到∠AOD=2∠EOD=2（78°-2x），列方程即可得到结论． 【详解】∵∠DOC：∠COB=2：3，∴设∠DOC=2x，∠COB=3x，则∠BOD=5x， ∵∠EOC=78°，∠EOC=∠EOD+DOC，∴∠EOD=78°-2x， ∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠EOD=2（78°-2x）， ∵∠AOD+∠DOB=180°，∴2×（78°-2x）+5x=180°，解得：x=24°，∴∠BOD=120°． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 9．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）已知：如图，平分，平分．若，，求的度数．    【答案】 【分析】根据题意求出，依据角平分线定义得到度数，从而可求度数，最后运用是角平分线这个已知，得到度数； 【详解】平分，平分，，， ． （2）∵，，∴， 平分，， ∵平分，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，掌握角之间的和差倍分关系是解题的关键． 10．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）（1）如图1，为直角，，且OM平分，ON平分，求的度数．（2）如图2，，，且OM平分，ON平分．直接写出的度数．    解：（1）因为，，所以______°； 因为，OM平分，所以∠____________°； 因为，ON平分，所以∠____________°； 所以______°； （2）______°． 【答案】（1），，，，，；（2） 【分析】（1）根据角平分线定义和各个角的度数求出，即可求出的度数； （2）根据角平分线定义和各个角的度数求出，即可求出的度数． 【详解】解（1）因为，，所以； 因为OM平分，所以； 因为，ON平分，所以；所以； 故答案为：，，，，， （2）如图，，，， OM平分，ON平分， ， ，故答案为：． 【点睛】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，正确理解并灵活运用角平分线的定义是解题关键． 12．（2023·广东江门·七年级期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后由角的和差倍分关系可得问题的答案． 【详解】解：是的角平分线，， 是的角平分线，， ，， ，， 是的角平分线，． 【点睛】此题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，能够根据定义正确表达出关系式是解决此题的关键． 13．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角．时，的度数是多少？(2)如图2，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由． 【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)，与的大小无关，理由见解析． 【分析】（1）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，即可求出的度数； （2）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，求出的度数，Ike得到结论； （3）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，求出的度数，即可得到结论； 【详解】（1）解： ，， ， 是的平分线，是的平分线，，， ，； （2）解：，理由如下：，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ； （3）解：，理由如下： ，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ． 【点睛】本题考查了角的有关计算，角平分线的定义，利用数形结合思想解决问题是解题关键． 14．（2023·河北保定·七年级统考期末）问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是___；当是直角，，射线在的内部时，的度数是___°． 探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时． 若是直角，，求出的大小； 若是直角，，写出的度数； 数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】问题情境：；；探索发现：；；数学思考： 【分析】问题情境：根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案； 探索发现：根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案； 数学思考：分两种情况讨论：当在内部时；当在外部时，计算得出答案即可． 【详解】解：问题情境：，分别是和的角平分线， ，故答案：； ，分别是和的角平分线， ，故答案：； 探索发现：，分别是和的角平分线， ，为； ，，分别是和的角平分线， ，为； 数学思考：分两种情况 当在内部时，如图所示， ， ， 的度数是，， ， 当在外部时，如图所示， ，∴． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，分清所求角的构成． 15．（23-24七年级上·河南郑州·期末）我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常重要的作用，请根据所学知识进行下列探究： 已知，，，分别平分和． (1)如图①，，在同一直线上，则_________； (2)如图②，在内部，且，则_________； (3)若将（2）中改为，其他条件不变，请求出的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，正确找出的不同位置是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义，求得，，即可得到答案； （2）根据角的和差得到，，因此，，从而可的答案； （3）分在右侧和左侧两种情况，根据角的和差分别列方程求解，可分别得到答案． 【详解】（1），分别平分和， ， ， ； 故答案为：． （2）当在内部， ，， 由（1）知，， ； 故答案为：． （3）设，， 当在右侧时，如图②， ， 解得， ； 当在左侧时，如图③， ， 解得， ； 综上所述，的度数为． 16．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，平分，若，请你补全图形，并求出的度数． (1)以下是小刚的解答过程，请你将解答过程补充完整： 解：如图2，因为平分， 所以____________________________（角平分线的定义）． 因为， 所以______________． (2)小戴说：“我觉得小刚的解法不完整，这道题应该有两种情况．”根据小戴的想法，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求出这种情况下的度数． 【答案】(1)；； (2)图见解析； 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握定义． （1）依据角平分线的定义，即可得到，再根据角的和差关系，即可得出的度数； （2）根据题意画出图形，利用角平分线的定义，求出结果即可． 【详解】（1）解：因为平分， 所以（角平分线的定义）． 因为， 所以， 故答案为：；；． （2）解：如图1所示： 在的内部， 因为平分， 所以（角平分线的定义）． 因为， 所以． 17．（23-24七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”；(2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵是的三等分线，∴， ∴，∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”，∴，∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”，∴，∴ 综上所述，的度数为或． 18．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，． 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）∵，平分，∴ ∵分别平分，．∴ ∴． （2）若射线在的内部，如图2 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的内部时，． 若射线在外部时，如图3 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的外部时，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 19．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，． (1)如图1，若是的平分线，求的度数； (2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设，则，再利用，然后整理可得结论． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴，∴． ∵， ∴，∴，∴． （2），设，则， ∵，∴， ∴，∴． 【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键． 20．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 【答案】(1)；(2)；理由见解析；(3) 【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解； （2）根据图形得出，计算，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解． 【详解】（1）如图1，，在内部， ，，， ，； （2）；理由如下：如图2， ，射线、分别在内、外部， ，， ，； （3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线， 则，，如图3， ，，， ，； ②当时，如图4，射线、在的外部，如图4， 则，， ，，， ， ， .综合①②得． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 9 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023秋·重庆·七年级校联考期末）如图，，，平分，平分．则的度数为 ．        例2．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线，且．(1)求的度数；(2)若，直接写出的度数．    例3．（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 ． 例4．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，是内部一条射线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，则 ． 例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．    例6．（2024·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答． A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ． B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）． 例7．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，求的度数？ 例8．（2024·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”．(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为__________． (2)如图2，已知，过点O在外部作射线．若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）． 1．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，平分，平分，，，（    ）    A． B． C． D． 2．（2023秋·广东七年级月考）如图，射线平分，平分，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（    ） A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角 C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个 4．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度． 5．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)． 6．（2023·北京西城·七年级校考开学考试）如图，OB，OC分别是，的三等分线，若，则的度数为 ． 7．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    8．（2023·天津·七年级统考期末）如图，已知O为直线AB上的点，OC在∠BOD内，∠DOC：∠COB=2：3，OE平分∠AOD，∠EOC=78°，求∠BOD的度数． 9．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）已知：如图，平分，平分．若，，求的度数．    10．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）（1）如图1，为直角，，且OM平分，ON平分，求的度数．（2）如图2，，，且OM平分，ON平分．直接写出的度数．    解：（1）因为，，所以______°； 因为，OM平分，所以∠____________°； 因为，ON平分，所以∠____________°； 所以______°； （2）______°． 12．（2023·广东江门·七年级期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求．    13．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角．时，的度数是多少？(2)如图2，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由． 14．（2023·河北保定·七年级统考期末）问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是___；当是直角，，射线在的内部时，的度数是___°． 探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时． 若是直角，，求出的大小； 若是直角，，写出的度数； 数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示） 15．（23-24七年级上·河南郑州·期末）我们学习了“角平分线”的定义，知道角平分线在角的计算中有着非常重要的作用，请根据所学知识进行下列探究： 已知，，，分别平分和． (1)如图①，，在同一直线上，则_________； (2)如图②，在内部，且，则_________； (3)若将（2）中改为，其他条件不变，请求出的度数． 16．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，平分，若，请你补全图形，并求出的度数． (1)以下是小刚的解答过程，请你将解答过程补充完整： 解：如图2，因为平分， 所以____________________________（角平分线的定义）． 因为， 所以______________． (2)小戴说：“我觉得小刚的解法不完整，这道题应该有两种情况．”根据小戴的想法，请你在图1中画出另一种情况对应的图形，并求出这种情况下的度数． 17．（23-24七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”；(2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 18．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 19．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，． (1)如图1，若是的平分线，求的度数； (2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 20．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，. (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由； (3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$