专题04 双角平分线模型与角n等分线模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 9 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，，则的度数为 . 例2．（2023·山东济宁·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线，则的度数为 ． 例3．（2023·陕西西安·七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②；③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例5．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）（）如图，已知 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，则 ． （）若按照（）中的方法将平分线作到第 次（即 平分 ），那么 ．    例6．（2023·湖北七年级期中）如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是 （只填序号）． 例7．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）已知，，分别平分、．求的度数． 例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．          1．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（    ） A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角 C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个 2．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②； ③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 4．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和．    请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题． A．的度数 ．B．如果，的度数 ． 5．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图．平分，平分．若，，则 ．    6．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    7．（2023·重庆·七年级校考阶段练习）已知点为直线上的一点，为直角，平分.（1）如图1，若，则______°.    （2）如图1，若，求的度数.（用含的代数式表示） （3）如图2，若，平分，且，求的值. 8．（2023·山东枣庄·七年级校考期末）（1）如图1，已知线段，C是线段AB上一点，，M是的中点，N是的中点．求线段的长． （2）如图2，已知点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线． ①若，求的度数．②如果把“”条件去掉，那么的度数有变化吗？请说明理由． 9．（2023春·七年级期中）如图，点，，在一条直线上，，平分．(1)若，求的余角的度数．(2)若，求的度数（用含的式子表示）． 10．（2023·广东梅州·七年级期末）如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．(1)若，求的度数；(2)猜想：与具有怎样的数量关系？请说明理由．    11．（2023秋·江苏七年级课时练习）如图，，平分，平分． (1)若，求的度数；(2)设，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；(3)若将题干中“”改为“（）”，其他条件不变，设，请用含的式子表示的度数    12．（2023·黑龙江·七年级校联考期末）如图，，，平分，平分．(1)如图1，求度数；(2)如图2，若，其他条件不变，请直接写出的度数．    13．（2023·广东·七年级假期作业）如图，是的平分线，是的平分线，． (1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数．    14．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．    (1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数． 15．（2023春·天津南开·七年级校考开学考试）（1）如图1，已知O为上一点，与互补，分别为与的平分线，若，试求与度数．（2）已知如图2，，是的平分线，是的平分线，且，求的度数． 16．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； （3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由． 17．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图①，已知线段，，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是的中点． (1)若cm，则______；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，分别平分和，若，，则______．直接写出，和的数量关系：_____________． 18．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 19．（2023·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、． (1)如图1，当时，________，________． (2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)直接写出图2和图3中，与的数量关系． 图2：__________；图3：__________． 20．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知O为直线上一点，作射线、、，且平分．(1)如图1，当、、均在上方时，若，，则______． (2)如图2，当、在上方，在的下方时，若，，求的度数．(3)在（2）的条件下，作射线，若，请画出图形，并求的度数．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 9 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）已知如图是的平分线，是的平分线，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，进而根据即可求解； 【详解】∵是的平分线，是的平分线，， ∴，∴ 例2．（2023·山东济宁·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得出，，即可求出答案． 【详解】解：∵是的平分线，∴， 又∵是的平分线，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，能够根据角平分线表示相关的角之间的倍分关系，再根据角的和差进行计算． 例3．（2023·陕西西安·七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、分别是、的角平分线，可得，，根据，可得，再结合，可得，问题随之得解． 【详解】∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵，∴，即， ∵，，∴， ∵，∴，∴，故选：A． 【点睛】本题考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键． 例4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②；③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ①，故①正确； ②， 即，故②正确； ③， 即，故③正确； ④由①得，故④错误； 综上，①②③正确，共3个；故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系． 例5．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）（）如图，已知 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，则 ． （）若按照（）中的方法将平分线作到第 次（即 平分 ），那么 ．    【答案】 【分析】（1）根据角的平分线的定义，得到结合规律计算即可．（2）根据猜想的规律计算即可． 【详解】（1）∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， ∴，， ∴， ∵，∴，故答案为：． （1）∵ 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， ∴，， ∴，∴， 当时，故答案为：． 【点睛】本题考查了角的平分线的意义，角的变化规律，熟练掌握规律的探解方法是解题的关键． 例6．（2023·湖北七年级期中）如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是 （只填序号）． 【答案】② 【分析】由OB、OC是∠AOD的两条三等分线，得到∠AOB＝∠BOC＝∠COD，以此判断即可． 【详解】解：OB、OC是∠AOD的两条三等分线，故∠AOB＝∠BOC＝∠COD ∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3∠BOC，故①正确； ∠AOD＝3∠BOC，2∠AOC＝2（∠AOB＋∠BOC）＝4∠BOC故②不正确 ，故③正确；∠COD＝∠BOC，故④正确；故答案为：②． 【点睛】本题考查了角的n等分线的定义，熟练掌握角等分线的定义是解决本题的关键． 例7．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）已知，，分别平分、．求的度数． 【答案】或 【分析】分当在内时及当在外时，两种情况，根据角平分线的性质及角的和与差即可得出答案． 【详解】解：当在内时，，， 分别平分、，, ；       当OC在外时，，，分别平分、 ，, ；综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角的平分线的计算，根据题意分情况讨论是解题的关键． 例8．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．          【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或 【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴, ∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．       （2）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为． （3）解：如图3：①当时，则； ②当，则，解得：； ③当，则，解得：． 综上，可以为． 【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键． 1．（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列说法正确的是（    ） A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角 C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个 【答案】C 【详解】解：∵射线OC、OD把平角∠AOB三等分，∴， ∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴， ∴，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ∠AOC与∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互为补角，故C选项符合题意； ∠AOE与∠AOC、∠COD、∠BOD都是互为余角，故D选项不符合题意；故选：C 【点睛】此题考查了角平分线的定义，余角与补角的定义，正确掌握角平分线的定义求出各角的度数是解题的关键． 2．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平分，平分，求出，再根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵点O为直线上一点，平分，平分， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，故C正确．故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出． 3．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（    ） ①；②； ③；④． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可． 【详解】解：平分，平分， 故①正确； 故②错误； 故③正确； 故④错误；故选B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是解决本题的关键． 4．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和．    请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题． A．的度数 ．B．如果，的度数 ． 【答案】 A（或者选B） 【分析】A：根据角平分线的定义得到，，再根据平角的定义，结合代入计算；B：根据角平分线的定义求出，继而得到，再次利用角平分线求出，最后根据平角的定义求出结果． 【详解】解：A：∵，分别平分和， ∴，，∴； B：∵平分，，∴，∴， ∵平分，∴，∴； 故答案为：A（或者选B）；；． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平角，解题的关键是利用角平分线和平角得出角的关系． 5．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图．平分，平分．若，，则 ．    【答案】/82度 【分析】证明， ，求解，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵平分，平分，∴， ， ∴， ∴．故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质及角的运算，运用整体代换的思想是解题关键． 6．（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；与互补；；．请你把所有正确结论的序号填写在横线上 ．    【答案】 【分析】设，则，，由角平分线的定义得出，，，然后再逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设， ，， ，， 平分，平分，平分， ，，， ，故正确，符合题意； ， 度数未知，与不一定互补，故错误，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，， ，故正确，符合题意； 综上所述，正确的有：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 7．（2023·重庆·七年级校考阶段练习）已知点为直线上的一点，为直角，平分.（1）如图1，若，则______°.    （2）如图1，若，求的度数.（用含的代数式表示） （3）如图2，若，平分，且，求的值.    【答案】（1）22.5（2）（3）160 【分析】(1)由∠AOE=45°，可以求得∠BOE=135°，再由OC平分∠BOE，可求得∠EOC=67.5°，∠EOF为直角，所以可得∠COF=∠EOF−∠EOC=22.5°；(2)由(1)的方法即可得到∠COF=°； (3)先设∠BOF为x°，再根据角的关系得出方程，解答后求出n的值即可． 【详解】解：（1）∵∠AOE=45°，∴=135°， ∵平分，∴∠EOC=67.5° ∵为直角，∴∠COF=∠EOF−∠EOC=22.5°； （2））∵，∴， ∵平分，∴ ∵为直角，∴ （3）设为，为，为，平分， 则可得：， 解得：， 所以可得：，， 故的值是160. 故答案为：160 【点睛】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，角的和差，准确识图是解题的关键． 8．（2023·山东枣庄·七年级校考期末）（1）如图1，已知线段，C是线段AB上一点，，M是的中点，N是的中点．求线段的长． （2）如图2，已知点O是直线上一点，射线、分别是、的平分线． ①若，求的度数． ②如果把“”条件去掉，那么的度数有变化吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②不变，理由见解析 【分析】（1）根据线段中点定义可求，的长度，然后根据求解即可； （2）①先根据角平分线的定义求出，，然后根据邻补角定义求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据求解即可； ②根据角平分线定义可得，，根据邻补角定义可得，代入计算即可解决问题． 【详解】解：（1）∵， ，M是的中点，N是的中点， ∴，，∴； （2）①∵射线是的平分线，， ∴，，又∴， ∵射线是的平分线，∴，∴； ②的度数不变．理由如下： ∵射线、分别是、的平分线，，， 又 ，． 【点睛】本题考查了有关线段中点的计算，有关角平分线的计算，掌握线段中点的定义和角平分线定义是解题的关键． 9．（2023春·七年级期中）如图，点，，在一条直线上，，平分．(1)若，求的余角的度数．(2)若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用与的倍数关系求出的度数，然后利用余角的定义求解即可；（2）先计算出，的度数，然后利用角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴的余角的度数为 （2）解：∵，，∴，， 又平分，∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的有关计算，余角的定义等知识，正确识图，找准角的有关关系是解题的关键． 10．（2023·广东梅州·七年级期末）如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分．    (1)若，求的度数； (2)猜想：与具有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析 【分析】（1）根据先求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出； （2）根据角平分线的定义表示出与，然后整理即可得解． 【详解】（1），， ， 平分， ； （2）． 平分， ； 平分， ； ， ． 【点睛】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键． 11．（2023秋·江苏七年级课时练习）如图，，平分，平分．    (1)若，求的度数； (2)设，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若将题干中“”改为“（）”，其他条件不变，设，请用含的式子表示的度数 【答案】(1)(2)能，(3) 【分析】（1）可求，从而可求，，接可求解； （2）可求，从而可求，，接可求解； （3）可求而可求，，接可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为平分，平分， 所以， ， 所以， 故的度数． （2）解：能； 因为，， 所以， 因为平分，平分， 所以， ， 所以 ， 故的度数． （3）解：因为，， 所以， 因为平分，平分， 所以， ， 所以 ， 故的度数． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差运算，理解定义，正确运算是解题的关键． 12．（2023·黑龙江·七年级校联考期末）如图，，，平分，平分．(1)如图1，求度数；(2)如图2，若，其他条件不变，请直接写出的度数．    【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据、的度数可得出的度数，根据角平分线的定义即可得出、的度数，再根据与、之间的关系通过角的计算即可得出结论； （2）根据、的度数可得出的度数，根据角平分线的定义即可得出、的度数，再根据与、之间的关系通过角的计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵平分，∴， ∵平分，∴ ∴； （2）解：∵，，∴， ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∴． 【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义，解题的关键是求出、的度数． 13．（2023·广东·七年级假期作业）如图，是的平分线，是的平分线，．    (1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，那么；（2）先根据求出的度数，再根据求出的度数，根据角平分线的定义即可得出结论． 【详解】（1）是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）是的平分线，，， ，， 是的平分线，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． 14．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．    (1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明； （3）设，，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得，，计算得出，等，再求得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，∴； （2）证明：∵平分，∴， ∴ =； （3）解：设，， ∵平分，∴， ∵，∴，， ∵，∴， ∴，，即，，， ∵，平分，∴，， ∵，∴， ∵是的平分线，∴， ∵反向延长射线得到射线，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键． 15．（2023春·天津南开·七年级校考开学考试）（1）如图1，已知O为上一点，与互补，分别为与的平分线，若，试求与度数．（2）已知如图2，，是的平分线，是的平分线，且，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由角平分线定义和补角定义得出方程，解方程即可得出结果； （2）设设，．则．由角平分线定义和已知条件求出，即可得出所求角的度数． 【详解】解：（1）设，∵与互补，则． 由题意，得．解得：，∴，． （2）解：设，．则． ∵是的平分线，∴， ∴， ∵，∴，解得：， ∵是的平分线，∴， ∴． 【点睛】此题考查了补角的定义、角平分线的定义及角的运算．熟练掌握补角定义和角平分线定义，根据题意得出方程是解决问题的关键． 16．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数； （2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数； （3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）没有关系，，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线性质可求，根据即可解答； （2）由题意可得进而求出； （3）根据角平分线性质可得，，进而求出． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ； （2）∵，，， ∴， ∴； （3）与的大小无关．理由：∵，，∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴，即． 【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差． 17．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图①，已知线段，，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是的中点． (1)若cm，则______；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，分别平分和，若，，则______．直接写出，和的数量关系：_____________． 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）先求出的长度，在根据线段中点的定义，分别求出的长度，即可求解； （2）先求出和的和，再根据角平分线的定义，求出和的和，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∵E，F分别是的中点，∴， ∴，故答案为：． （2）∵，，∴， ∵分别平分和，∴， ∴， ∴． 由图可知：，， ∵分别平分和，∴， ∴，整理得：． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了中点和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握中点和角平分线的定义，根据线段和角度的和差关系进行求解． 18．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，． 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）∵，平分，∴ ∵分别平分，．∴ ∴． （2）若射线在的内部，如图2 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的内部时，． 若射线在外部时，如图3 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的外部时，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 19．（2023·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、． (1)如图1，当时，________，________． (2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)直接写出图2和图3中，与的数量关系． 图2：__________；图3：__________． 【答案】(1)，(2)，理由见详解(3)， 【分析】（1）根据角平分的定义即可求解； （2）根据（1），可得，问题得解； （3）图2，先表示出，，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，，可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵射线、射线分别平分、， ∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：，； （2），理由如下： 在（1）中有：，，， ∴； （3）图2中，，理由如下： ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵射线、射线分别平分、， ∴，，∴， ∵，，∴； 图3中，，理由如下： ∵，∴， ∵射线、射线分别平分、，∴，， ∵，， ∵，∴， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键． 20．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知O为直线上一点，作射线、、，且平分．(1)如图1，当、、均在上方时，若，，则______． (2)如图2，当、在上方，在的下方时，若，，求的度数．(3)在（2）的条件下，作射线，若，请画出图形，并求的度数．    【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求解，结合角平分线可得，再利用角的和差关系可得答案；（2）先求解，结合角平分线的含义可得，再利用角的和差关系可得答案；（3）如图一：当在的上方时，先求解，再利用角的和差关系可得答案；如图二：当在的下方时，先求解，结合，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴； （2）∵，，∴， 又平分，∴， ∴，，； （3）如图一：当在的上方时，       ∵，，∴ ∴ 如图二：当在的下方时， ∵ ，，∴ 又∵ ∴． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$