专题04 双角平分线模型与角n等分线模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 10 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，平分，平分，且，则为 度．    例3．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度． 例4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②；③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．    例6．（2023·湖北七年级期中）如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是 （只填序号）． 例7．（2022秋·海南三亚·七年级统考期末）已知，在同一平面内过点作射线，平分，平分，的度数为 ． 例8．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．(1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，，①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．    1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图所示，OC是平分线，OD是的平分线，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 4．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 5．（2023春·山东淄博·七年级淄博市临淄区第八中学校考期中）如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 6．（2024·湖南长沙·七年级校联考期末）补全推导过程，如图，已知，平分，平分，求的度数． 解：∵，∴__________°， ∵平分，∴________________°， ∵平分，∴________________°， ∴________________________°． 7．（2023·湖南常德·七年级统考期末）如图，为直线，为射线，且OC平分，平分． (1)若，求的度数；(2)求的度数． 8．（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图，以点为O端点按顺时针方向依次作射线、、、、．并且使是的平分线，是的平分线． (1)若，，求的度数；(2)若，，求的度数； (3)当时，求的度数（用含n的式子表示）． 9．（2023·广东揭阳·七年级统考期末）已知：如图1，、分别为锐角内部的两条动射线，当、运动到如图的位置时，，． (1)求的度数；(2)如图2，射线、分别为、的平分线，求的度数． 10．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，，求的度数；(2)若，求的度数； (3)你发现与有什么等量关系？请你给出结论并予以说明． 11．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）如图，已知内部有三条射线.(1)如图①，若平分，平分，且，则____________；（用含的式子表示）；(2)如图②，若，，且，求的度数.（用含的式子表示）    12．（203·湖北恩施·七年级统考期末）如图，射线是的平分线，射线、是的三等分线，即、将分成三个相等的角． （1）如果，求的度数；（2）如果，求的度数； （3）如果，请用表示的度数，并把你的运算过程写出来． 13．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得． (1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°； (2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数． 14．（2023·广东惠州·七年级统考期末）如图，为的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么为多少度？ (2)如果，，那么为多少度？ (3)如果，，则______°，如果，则______． 15．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．    (1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数． 16．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究 【背景知识】如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． (1)若 ，则   ；(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求． 17．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，，分别平分和，若，，则___________．直接写出，和的数量关系：___________． 18．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．    (1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）； ②若，则的度数是________（直接填空）． (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空） 19．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 20．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数；(3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 1 10 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 例1．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据角平分线定义得，，再据得出答案． 【详解】∵，平分，，∴，， ∴．故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线定义，平角的定义，掌握各角之间的数量关系是解题的关键． 例2．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，平分，平分，且，则为 度．    【答案】100 【分析】根据角平分线的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，平分，∴， ∵平分，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，熟知角的平分线把角分成相等的两部分是解题的关键． 例3．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度． 【答案】 【分析】设，，根据是的平分线，是的平分线，得到，，由可得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：设，，∴， ∵是的平分线，是的平分线，， ∴，， ∵，∴，解得：， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线定义和角的有关计算的应用，运用了方程的思想．根据题意并结合图形建立等量关系式是解题的关键． 例4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②；③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ①，故①正确； ②， 即，故②正确； ③， 即，故③正确； ④由①得，故④错误； 综上，①②③正确，共3个；故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系． 例5．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线，则的度数是 ．    【答案】 【分析】由角平分线性质推理得，，，据此规律可解答． 【详解】解：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：．故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质、图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 例6．（2023·湖北七年级期中）如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是 （只填序号）． 【答案】② 【分析】由OB、OC是∠AOD的两条三等分线，得到∠AOB＝∠BOC＝∠COD，以此判断即可． 【详解】解：OB、OC是∠AOD的两条三等分线，故∠AOB＝∠BOC＝∠COD ∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3∠BOC，故①正确； ∠AOD＝3∠BOC，2∠AOC＝2（∠AOB＋∠BOC）＝4∠BOC故②不正确 ，故③正确；∠COD＝∠BOC，故④正确；故答案为：②． 【点睛】本题考查了角的n等分线的定义，熟练掌握角等分线的定义是解决本题的关键． 例7．（2022秋·海南三亚·七年级统考期末）已知，在同一平面内过点作射线，平分，平分，的度数为 ． 【答案】或 【分析】分在内部或在外部两种情况，根据角平分线的定义得出，，由，结合的度数求解即可． 【详解】解：当在内部时，如图所示： 射线平分，射线平分，，， ，， ，； 当当在内部时，如图所示： 射线平分，射线平分，，， ，， ，； 综上分析可知，的度数为或．故答案为：或． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，掌握角平分线的定义，注意分类讨论，是解题的关键． 例8．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图1，点O在直线上，射线、在直线上方，，．(1)若，请说明射线是的角平分线； (2)射线在直线上方，平分，，①当时，求的度数 ②当时，是否存在常数k使得的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由．    【答案】(1)见解析(2)①或；②存在；时，为定值 【分析】（1）先求出，根据，求出，求出，得出，即可证明结论； （2）①分两种情况：当在左侧时，当在左侧时，分别画出图形，求出结果即可； ②根据，，得出一定在内部，得出，，表示出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴射线是的角平分线． （2）解：设度，则度，， ①当在左侧时，如图所示：则，       ∵平分，∴， ∵，∴，解得：，∴； 当在左侧时，如图所示：  ，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，解得：，∴； 综上分析可知，或； ②存在；∵，，∴一定在内部，如图所示： ∵，， 又∵平分，∴， ∵，， ∴， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角的倍数关系，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 1．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，点在直线上，平分，平分，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件可求得的度数，然后将代入计算即可求得答案． 【详解】解：平分，平分，，， ， ，，，故选：A． 【点睛】本题考查角的计算及角平分线的定义，结合已知条件求得是解题的关键． 2．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图所示，OC是平分线，OD是的平分线，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定义，得出角与角的关系，再根据选项选取正确答案． 【详解】A．∵是的平分线，∴． ∵是的平分线，∴，∴，故A正确； B．∵是的平分线，∴， ∵是的平分线，∴， ∴，即，故B不正确； C．由B知，，即，故C不正确； D．，故D不正确；故选A． 【点睛】此题考查的是角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系是解决此题关键． 3．（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题． 【详解】解：平分，， ，，， ，，故选：C． 【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴，∴的度数为或．故选：C． 【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键． 5．（2023春·山东淄博·七年级淄博市临淄区第八中学校考期中）如图所示，为一条直线，是的平分线，在内，，，求的度数． 【答案】 【分析】利用角平分线定义求出的度数，进而求出的度数，结合即可求出的度数． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，∴， 又，∴． 【点睛】本题考查了角的计算，邻补角定义，掌握角平分线把已知角分成两个相等的角是解题的关键． 6．（2024·湖南长沙·七年级校联考期末）补全推导过程，如图，已知，平分，平分，求的度数． 解：∵，∴__________°， ∵平分，∴________________°， ∵平分，∴________________°， ∴________________________°． 【答案】150，，75，，30，，，45 【分析】首先计算出的度数，再根据角平分线的性质可得，的度数，进而根据角的和差关系推出的度数． 【详解】解：∵，∴， ∵平分，， ∵平分，， ∴， 故答案为：150，，75，，30，，，45． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及有关角的计算，熟练利用角平分线的定义求出角的度数是解题的关键． 7．（2023·湖南常德·七年级统考期末）如图，为直线，为射线，且OC平分，平分． (1)若，求的度数；(2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先根据OC平分得到，进而得到，然后根据平分得到； （2）根据角平分线的概念结合整体方法求解即可． 【详解】（1）∵，OC平分 ∴∴ ∵平分∴； （2）∵OC平分，平分 ∴． 【点睛】此题考查角的和差计算，角平分线的有关计算，解题的关键是正确分析题目中角之间的数量关系． 8．（2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图，以点为O端点按顺时针方向依次作射线、、、、．并且使是的平分线，是的平分线． (1)若，，求的度数；(2)若，，求的度数； (3)当时，求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，，即可求出结果； （2）根据角平分线的定义得出，，设，则，根据列出方程，解方程得出，再根据角度之间的关系即可得出答案； （3）设，，根据图形得出，，根据列出等式，得出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是的平分线，∴， ∵是的平分线，∴， ∴； （2）解：∵平分，平分，∴，， 设，，∴， ∴，解得：，即， ∴． （3） 解：设，， 依题意可知，，； 由得：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合． 9．（2023·广东揭阳·七年级统考期末）已知：如图1，、分别为锐角内部的两条动射线，当、运动到如图的位置时，，． (1)求的度数；(2)如图2，射线、分别为、的平分线，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据角的和差运算即可求得答案；（2）利用角平分线定义和角的运算即可求得答案． 【详解】（1）∵，,， ∴， ∵，∴； （2）∵射线、分别为、的平分线， ∴，， ． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的运算，掌握角平分线的定义以及角的和差关系是正确解答的前提． 10．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，，求的度数；(2)若，求的度数； (3)你发现与有什么等量关系？请你给出结论并予以说明． 【答案】(1)(2)(3)，详见解析 【分析】(1)根据角的平分线和角的和计算即可．(2)根据角的平分线和角的和计算即可． (3)根据角的平分线和角的和计算即可． 【详解】（1）∵是的平分线，是的平分线， ∴，∵，， ∴． （2）∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵，∴ =． （3）与的等量关系为：．理由如下： ∵是的平分线，是的平分线，∴， ∵，∴=． 故． 【点睛】本题考查了角的平分线即把一个角分成相等两个角的射线，两个角的和，熟练掌握定义和运算是解题的关键． 11．（2023秋·云南昭通·七年级统考期末）如图，已知内部有三条射线.    (1)如图①，若平分，平分，且，则____________；（用含的式子表示）；(2)如图②，若，，且，求的度数.（用含的式子表示） 【答案】(1)(2)． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，进而得出，据此计算即可求解； （2）根据题意，，进而得出． 【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，， ∴， ∵，∴；故答案为：； （2）解：∵，，∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的相关计算，角度的和差倍分等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 12．（203·湖北恩施·七年级统考期末）如图，射线是的平分线，射线、是的三等分线，即、将分成三个相等的角． （1）如果，求的度数；（2）如果，求的度数； （3）如果，请用表示的度数，并把你的运算过程写出来． 【答案】（1）；（2）；（3），过程见解析 【分析】（1）根据角平分线及三等分线的定义即可求解；（2）同（1）把角度换为90°即可求解； （3）同（1）把角度换为x即可求解； 【详解】解：∵∴， ∴∴ （2）∵∴， ∴∴ （3）∵∴， ∴∴ 【点睛】此题主要考查角度的和差关系，解题的关键是熟知角平分线的性质. 13．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得． (1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°； (2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系； (3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数． 【答案】(1)45(2)(3)为或 【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可． （2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可． （3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可． 【详解】（1）平分，平分， ， （2） 平分， ， 根据图形有：， ， ， ， ， （3）当H在K左侧时 平分 平分 当K在H左侧时 平分 平分 综上所述：为或 【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置． 14．（2023·广东惠州·七年级统考期末）如图，为的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么为多少度？ (2)如果，，那么为多少度？ (3)如果，，则______°，如果，则______． 【答案】(1)(2)(3)； 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，再根据角度之间的关系求出的度数即可； （2）先根据角平分线的定义，，得出，根据，求出，根据角平分线的定义即可得出答案； （3）根据角平分线的定义得出，，根据角度之间的关系得出；根据角平分线的定义得出． 【详解】（1）解：∵为的平分线，是的平分线， ∴，，∴． （2）解：∵是的平分线，，∴， ∵，∴， ∵为的平分线，∴． （3）解：∵为的平分线，是的平分线，，， ∴，， ∴； ∵为的平分线，是的平分线，∴，， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，数形结合． 15．（2023秋·河北邢台·七年级校联考期末）已知，平分，平分．    (1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求解，，可得答案； （2）先求解，，再证明，，结合角的和差运算可得答案；（3）设，可得，证明，，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，，重合，平分，平分． ∴，，∴； （2）∵在内部，，， ∴，，∵平分，平分． ∴，，∴． （3）设，，∴， ∵平分，平分．， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，熟练利用角的和差运算进行计算是解本题的关键． 16．（2023·山西吕梁·七年级统考期末）综合与探究 【背景知识】如图甲，已知线段，，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点． (1)若 ，则   ；(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和，若度，度，求． 【答案】(1)(2)不变，．(3)． 【分析】（1）根据线段中点分别求解，，从而可得的长度； （2）根据，再根据中点进行推导即可； （3）根据再结合角平分线进行计算． 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∵E，F分别是，的中点，∴，． ∴． （2）EF的长度不变．理由如下： E，F分别是，的中点，∴，． ∴ （3）∵，分别平分和∴，． ∴ ∵ ∴ ． 【点睛】本题主要考查线段中点的含义，线段的和差，角平分线的定义，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 17．（2024·广东广州·七年级校考期末）如图①，已知线段，，线段在线段上运动，E，F分别是，的中点． (1)若，则___________cm；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，，分别平分和，若，，则___________．直接写出，和的数量关系：___________． 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）先求出的长度，再根据线段中点的定义，分别求出，的长度，即可求解； （2）先求出和的和，再根据角平分线的定义，求出和的和，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，∴， ∵，分别是的中点，∴，， ∴． （2）∵，，∴， ∵分别平分和，∴，， ∴， ∴． 由图可知：，， ∵分别平分和，∴， ∴，整理得：． 【点睛】本题主要考查了中点和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握中点和角平分线的定义，根据线段和角度的和差关系进行求解． 18．（2023秋·湖南永州·七年级统考期末）点为直线上一点，在直线同侧任作射线，使得．    (1)如图一，过点作射线，使为的角平分线，若时，则________，________；(2)如图二，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分．①若，求的度数（写出推理过程）； ②若，则的度数是________（直接填空）． (3)过点作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，当时，则的度数是________．（在稿纸上画图分析，直接填空） 【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55° 【分析】（1）根据求出，利用角平分线的定义得到，再根据进行求解即可；（2）①由平角的定义，角平分线的定义求出，根据进行求解即可；②同①法，进行计算即可；（3）分在内部和在外部两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵为的角平分线，∴， ∴；故答案为：； （2）①解：∵，，∴， 又∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴， ②∵，，∴， 又∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴；故答案为：； （3）①当在内部时，如图：    ∵，平分，∴， ∵，∴， ∵平分，∴， ②当在外部时，如图：    ∵，平分，∴， ∵，∴， ∵平分，∴； 综上：的度数是或；故答案为：或． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．解题的关键是正确的识图，理清角之间的和差关系． 19．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数； (2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，． 【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）∵，平分，∴ ∵分别平分，．∴ ∴． （2）若射线在的内部，如图2 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的内部时，． 若射线在外部时，如图3 ∵，，、分别平分、． ∴∴． 所以当射线在的外部时，． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键． 20．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数；（2）由角平分线得出，，继而由得出结论．（3），结合已知和可求，再由，再根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答． 【详解】（1）解：，，， 是的平分线，， ；答：的度数为． （2）解：是的平分线．， 是的平分线，， ，，答：的度数为． （3）解：由（2）得 ，， 又， ，， ，，，， 当，，； 当，， 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$