第9讲 共点力平衡（讲义）-【划重点】2024-2025学年高一物理上学期中期末复习精细讲义

第9讲 共点力的平衡 ——划重点之复习强化精细讲义系列 考点1 共点力的静态平衡问题 考点2 共点力的动态平衡问题 考点3 共点力平衡中的临界极值问题 考点1：共点力的静态平衡问题 一．平衡分析 1.平衡状态 物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态. 2.两种平衡情形 平衡状态 ①物体在共点力作用下处于静止状态.（v =0，a =0） ②物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态.（v =常数，a =0） 对静止状态的理解 “静止”要满足两个条件：v = 0，a = 0，缺一不可，"保持"某状态与"瞬时"某状态有区别.例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛的物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止 3.共点力作用下的平衡条件 在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。 表达式∶ （Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力） 4.共点力平衡的重要推论 二力平衡 如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，则这两个力必定大小相等，方向相反，作用在一条直线上 三力平衡 如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反 多力平衡 如果物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中一个力与其余的力的合力必定等大反向，或其中几个力的合力与其余的力的合力必定等大反向 5.求解共点力平衡问题的一般步骤 （1）根据问题的要求，以计算方便为原则恰当地选取研究对象，使题目中给定的已知条件和待求的未知量通过这个研究对象的平衡条件联系起来。 （2）对研究对象进行受力分析，画出受力分析图. （3）通过平衡条件，找出各个力之间的关系，由平衡条件列方程，即Fx合=0，Fy合=0。 （4）联立方程求解，必要时对结果进行讨论. 二．解决静态平衡问题的常用方法 静态平衡问题，分析时首先应认真画出各状态物体的受力图，然后根据受力图用正交分解等方法进行运算。 1.解决共点力平衡问题常用的4种方法 合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反 效果分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件 正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件 力的三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力 拉密定理法 如图所示，在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任一个力与其他两个力夹角正弦值的比值相等，即 【典例1】如图所示，某环形吊灯半径为R，质量为m，且分布均匀，通过五根相同长度的细线（质量可忽略不计）悬挂在天花板上半径为的固定圆盘上，已知，重力加速度大小为，五根细线均匀分布，且长度可调节（长度总相等）。下列说法正确的是（　　） A．每根细线对吊灯的拉力大小都大于 B．每根细线对吊灯的拉力大小都等于 C．将五根细线同时缩短相同长度，每根细线的张力大小都不变 D．将五根细线同时伸长相同长度，每根细线的张力都增大 【典例2】如图所示，三根完全相同的圆木柱A、B、C，质量均为m，两两相切地堆放在粗糙水平地面上，三根圆木柱均保持静止状态，下列关于圆木柱A、B、C的受力情况分析正确的是（　　） A．圆木柱A共受5个力作用 B．圆木柱B受C的弹力大小为 C．圆木柱A、B受地面支持力大小都为 D．圆木柱A、B均不受地面摩擦力作用 【典例3】如图所示， 质量为1kg的小球用一轻绳悬挂， 在恒力 F 作用下处于静止状态， 此时悬线与竖直方向的夹角为60°。若把小球换成一质量为2kg的另一小球，仍在该恒力F的作用下处于静止状态， 悬线与竖直方向的夹角变为30°。重力加速度为g=10m/s2，则恒力F的大小为（    ） A．10N B．20N C． D． 【典例4】如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AD固定在竖直面内，圆弧的最低点D的切线力向水平，圆弧上的B、C两点将圆弧AD三等分。将一个小球放在B点，用一个最小的力使小球静止在B点，再将小球移至C点，仍用最小的力使小球静止在C点，则等于（　　） A． B． C． D． 【典例5】如图所示，重为25N的物块甲通过三段绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB平行于倾角为的斜面，且B端与放置在斜面上的重为100N的物块乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角也为，物块甲、乙都处于静止状态，轻绳OB始终与斜面平行，（，）求： (1)轻绳OA、OB受到的拉力大小、； (2)物块乙所受的摩擦力； (3)若斜面光滑，用一水平向左的推力F作用在乙物块上，使其仍保持静止状态，水平推力F的大小。 考点2：共点力的动态平衡问题 1.动态平衡：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡． 2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”． 3.常用方法：解析法、图解法、辅助圆法和相似三角形法． 常用方法 使用条件 使用方法 解析法 一般是能够通过矢量三角形求解得到每个力的解析式。 画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系. 对于一根绳挂着光滑滑轮类问题，当受力动态变化时，抓住绳长不变这一点，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系 图解法 物体所受的三个力中，有一个力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其他力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题 先正确分析物体所受的三个力，将三个力首尾相连构成闭合三角形.然后将方向不变的力的矢量延长，物体所受的三个力中有两个力变化而又形成闭合三角形，只不过三角形的形状发生改变，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就会一目了然。 辅助圆法 物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变， ①另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变; ②动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，这两种类型的问题 先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形， 第①种情况以不变的力为弦作圆，在辅助圆中可画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况. 第②种情况以大小不变、方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助圆中可画出一个大小不变、方向改变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。 相似三角形 物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其他两个力的方向均发生变化，目三个力中没有哪两个力保持垂直关系，但矢量三角形与几何三角形相似的问题 先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的变化问题进行讨论。 考向1：解析法 【典例6】如图所示，整个系统处于静止状态，动滑轮与定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为。如果将绳一端的固定点P缓慢向上移动到Q点，滑轮质量和一切摩擦均不计，整个系统重新平衡后（　　） A．物块B的高度不变，不变 B．物块B的高度不变，变大 C．物块B的高度增大，变大 D．物块B的高度增大，不变 【典例7】抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B分别沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　） A．沿虚线a向左移动，细线的拉力减小 B．沿虚线b向上移动，细线的拉力增大 C．沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变 D．沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大 【典例8】如图，一轻绳OA一端固定在天花板上，另一端固定一轻滑轮，轻绳OA与竖直方向的夹角为、一轻绳绕过轻滑轮，一端固定一质量为m的物体，一人拉着绳的另一端在水平地面上向右运动将物体缓慢吊起来，绕过滑轮的两绳夹角为，绳与滑轮之间的摩擦不计。在此过程中下列说法正确的是（　　） A．拉物体的轻绳上的弹力逐渐增大 B．夹角与夹角的比值逐渐增大 C．固定滑轮的轻绳上的弹力逐渐减小 D．人与地面之间的摩擦力逐渐减小 考向2：图解法 【典例9】如图所示，内壁光滑的半圆形轨道竖直放置，A为最低点，B为右侧最高点。现用力F将小球从A点沿轨道缓慢拉至B点，且保持力F的方向与竖直方向的夹角始终为。关于该过程下列说法正确的是（　　） A．力F先增大后减小 B．力F一直增大 C．轨道对小球的支持力先增大后减小 D．轨道对小球的支持力一直增大 【典例10】如图所示，轻杆的一端固定在一光滑球体上，杆的另一端O为自由转动轴，固定在竖直墙壁上，球体搁置在各面均光滑的斜面体上。若杆与墙面间的夹角为β，斜面的倾角为α，开始时β < α，α + β < 90°，为使斜面体能在光滑水平面上向右缓慢移动，在球体离开斜面之前，作用于斜面体上的水平推力为F，轻杆对球体的作用力为T，地面对斜面体的支持力为FN，下列说法正确的是（　　） A．F逐渐增大 B．F逐渐减小 C．T先增大后减小 D．FN大小不变 【典例11】（多选）如图所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E和半圆柱体M靠在一起，E、M之间无摩擦力，E的重力为G，M下表面粗糙，E、M均静止在水平地面上，现过E的轴心施以水平作用力F，可缓慢地将E拉离地面一直滑到M的顶端，整个过程中，M始终处于静止状态，从E离开地面一直滑到M顶端的过程，下列说法正确的是（    ） A．地面所受M的压力逐渐增大 B．地面对M的摩擦力逐渐减小 C．拉力F的大小从2G逐渐减小为0 D．E、M间的压力从2G逐渐减小到G 考向3：辅助圆法 【典例12】如图所示，将两块光滑平板OA、OB固定连接，构成顶角为60°的楔形槽，楔形槽内放置一质量为m的光滑小球，初始时整个装置保持静止，OB板竖直。现使楔形槽绕O点顺时针缓慢转动至OA板竖直的过程中，（重力加速度为g）以下说法正确的是（　　） A．OA板对小球的作用力先减小后增大 B．OB板对小球的作用力先增大后减小 C．OA板对小球作用力的最大值为2mg D．OB板对小球的作用力大小为mg时，OA板对小球的作用力大小也为mg 【典例13】（多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于竖直固定环上的A、B两点，O点下面悬挂一物体，绳水平，拉力大小为，绳与夹角，拉力大小为．将两绳同时缓慢沿顺时针转过并保持两绳之间的夹角始终不变，且物体始终保持静止状态．则在旋转过程中，下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大 B．先增大后减小 C．逐渐减小 D．先减小后增大 【典例14】（多选）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为2m的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．B、C间的摩擦力一直减小 B．绳上拉力先增大再减小 C．地面对物体C的支持力先减小再增大 D．物体C对地面的摩擦力的最大值为 考向4：相似三角形法 【典例15】如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮，小定滑轮到轨道最高点B的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为L，另一端绕过小定滑轮后用力拉住.重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中FN大小不变 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中FT先变小后变大 C．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 D．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 【典例16】如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器最底端O′处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球A相连，小球A静止于P点，OP与水平方向的夹角为θ = 30°；若换为与质量为2m的小球B相连，则小球B静止于M点（图中未画出），下列说法正确的是（　　） A．容器对小球B的作用力大于2mg B．弹簧对小球A的作用力大于对小球B的作用力 C．弹簧原长为 D．O′M的长度为 【典例17】（多选）如图所示，轻质的OP杆能以O为轴在竖直平面内自由转动，P端悬挂一重物，某人用一根轻绳绕过定滑轮系在P端。当OP杆由水平位置开始缓慢逆时针转动时，下列说法正确的是（    ） A．OP杆的弹力方向不在OP所在的直线上 B．OP杆的弹力大小不变 C．轻绳的张力一直变小 D．轻绳的张力先变小后变大 考点3：共点力平衡中的临界极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述． 2．极值问题 物体平衡的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析． 3．解决极值问题和临界问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论． (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明． (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值． 【典例18】如图所示，两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上，紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦，则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　） A． B． C． D． 【典例19】如图所示，在倾角为的斜面上叠放着滑块A和木板B、C，用与斜面平行的力F斜向上拉木板B，三个物体都处于静止状态。A、B间的摩擦力大小为，B、C间的摩擦力大小为，C与斜面间的摩擦力大小为。下列说法正确的是（  ） A．可能等于0 B．不可能等于0 C．可能等于0 D．和可能同时等于0 【典例20】一质量为的物块恰好能沿倾角为的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力，与水平方向的夹角为，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左 B．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零 C．若，物块将不能沿斜面匀速下滑 D．若推着物块沿斜面匀速上滑，则的最小值大于 【典例21】如图所示，质量M=4kg物块甲置于倾角为37°的斜面，物块甲与斜面间动摩擦因数μ=0.5，物块与斜面间最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。质量为m=3kg的物块乙通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，水平轻绳OA与物块甲连接于A点，轻绳OB与水平方向夹角也为37°。对物块甲施加沿斜面向上的力F（图中未画出）使甲、乙两物体均静止。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。求： (1)轻绳OA的弹力TOA大小和轻绳OB的弹力TOB大小； (2)斜面对甲的弹力N大小； (3)力F大小的取值范围。 【典例22】如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平面上，一横截面半径为R的半圆柱体丙放在水平面上，可视为质点的光滑小球乙质量，用轻绳拴接置于半圆柱体上；物块甲用轻绳拴接放在斜面体上且轻绳与斜面平行，拴接小球乙与拴接物块甲的轻绳与竖直的轻绳系于O点，且O点位于半圆柱体圆心的正上方。已知O点到水平面的高度为2R，拴接小球乙的轻绳长度为，物块甲与斜面间的动摩擦因数，整个装置始终处于静止状态。取重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：（结果可用分式、根式表示） (1)拴接小球乙的轻绳拉力的大小； (2)半圆柱体丙受到水平地面摩擦力的大小； (3)物块甲质量的取值范围。 一、单选题 1．如图甲所示为一款环保袋，既可反复使用，又美观大方。手提环保袋静止时，简化示意图如图乙所示，设环保袋的重力大小为G，不考虑绳带的质量，下列说法正确的是（　　） A．绳带中的张力大于 B．若缩短绳带长度，则绳带中的张力将减小 C．绳带对环保袋的作用力与环保袋的重力是一对相互作用力 D．绳带对环保袋的拉力与环保袋对绳带的拉力是一对平衡力 2．如图所示，小球A、B大小相同，质量分别为2m和3m，竖直悬挂在丝线下方。现整个装置受到水平向右的风力影响，则两球达到平衡后的位置可能是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示,在竖直平面内用三根细线a、b、c将质量均为m的两个小球1和2连接，a的另一端跨过定滑轮与小球3相连并悬挂。三小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为60°，细线c水平。不计滑轮与细线间摩擦。小球3的质量为（　　） A．m B．2m C．3m D．4m 4．如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，轻杆的另一端C用弹性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的A点。某人用竖直向下、大小为F的拉力作用于C点，静止时AOC构成等边三角形。下列说法正确的是（　　） A．此时弹性轻绳的拉力大小可以小于F B．此时弹性轻绳的拉力大小为2F C．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力增大 D．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻杆OC对C点的作用力减小 5．如图所示，轻绳穿过悬挂着物体的光滑轻环，一端固定在竖直墙壁上，另一端固定在智能机械臂的末端，缓慢移动机械臂来调节物体的空间位置。已知轻绳可承受的最大拉力为，轻绳的总长度为L，物体的质量为m，重力加速度为g。为保证绳子不被拉断，机械臂末端与墙面的最大垂直距离为（　　） A． B． C． D． 6．北方冬天的雪景十分壮观，如图甲所示，质量为的小孩坐在质量为的雪橇上，大人拉着轻质细绳A使雪橇在水平雪地上向前做匀速运动，简图如图乙所示。已知拴接在雪橇两侧的细绳所在的平面与水平面的夹角，细绳A与两侧细绳在同一平面内，两侧细绳等长且细绳间的夹角不变，雪橇与雪地的动摩擦因数，下列说法正确的是（    ） A．逐渐减小，地面对雪橇的作用力方向始终不变 B．逐渐减小，地面对雪橇的作用力先变小后变大 C．逐渐减小，细绳A的拉力一直变大 D．当时，两侧细绳的拉力最小 7．如图所示，半圆柱体P静止在水平地面上，光滑小圆柱体Q静止于P上且竖直挡板MN恰好与P、Q相切，若挡板水平向右缓慢移动一小段距离且P仍静止时，则（　　） A．P受到地面的摩擦力变大 B．P受到地面的支持力变大 C．Q受到的P的弹力变小 D．Q受到的挡板MN的弹力不变 8．图甲是迷宫尺子，质量为M的尺子外壳内有一颗质量为m的小钢珠，通过倾斜尺子，可以让小钢珠走出迷宫。小齐保持尺面竖直，小钢珠位于如图乙所示相互垂直的A、B挡板之间，缓慢逆时针转动尺子，直至Ｂ水平。将A与水平面的夹角记为，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．A对小钢珠的作用力先增大后减小 B．B对小钢珠的支持力大小为 C．小齐对尺子的作用力大小始终为 D．小钢珠对尺子的作用力和小齐对尺子的作用力是平衡力 9．如图所示为通过轻杆相连的A、B两小球， 用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点。已知AB的质量分别为、，轻杆长度为，细线OA长为L。现对B施加一个水平外力F使系统保持静止状态， A球在悬点正下方，细线OB与轻杆恰好垂直。现保持两小球位置不变，使F缓慢从水平沿逆时针转过90°的过程中， 下面说法正确的是（取重力加速度大小g=10m/s2）（　　） A．细线OA的拉力一定大于 B．轻杆对B球的作用力一定大于 C．细线OB的拉力不断减小 D．外力一定不小于且先减小后增大 10．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中（　　） A．F逐渐增大，逐渐增大 B．F逐渐增大，先减小后增大 C．F先减小后增大，逐渐增大 D．F先减小后增大，先减小后增大 11．沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，为其圆心，，质量为的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“V”形槽中。初始时，三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为。在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．槽面对木棒的弹力的最大值为 B．槽面对木棒的弹力先增大后减小 C．槽面对木棒的弹力一直增大 D．槽面与槽面对木棒弹力的合力先减小后增大 12．如图所示，一质量为m的光滑小球放置在倾角为θ的固定斜面上，用垂直于斜面的挡板挡住，挡板绕O点顺时针缓慢地转向竖直位置的过程中，下列判断正确的是（　　） A．小球对挡板的压力先减小后增大 B．小球对挡板的压力逐渐增大 C．小球对斜面的压力先减小后增大 D．小球对斜面的压力一直减小 二、多选题 13．如图所示，物体B置于倾角为、放置于粗糙地面上的粗糙斜面体上，物体A和物体B用细绳跨过定滑轮相连，均处于静止状态。现将一水平向左的外力F作用在A上，将物体A缓慢向左拉开一定的距离，该过程中斜面和物体B始终保持静止，以下说法正确的是（　　） A．绳子拉力逐渐减小 B．物体B所受摩擦力的方向可能先沿斜面向上，再沿斜面向下 C．外力F逐渐增大 D．斜面体受到地面的摩擦力逐渐减小 14．如图所示，一个半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有两个小球。当它们处于平衡状态时，碗内质量为m的小球和O点的连线与竖直方向的夹角为30°，另一小球静止于空中，两小球均视为质点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．碗内小球受到的支持力大小为mg B．小球对碗的压力大小为 C．细线中的张力大小为mg D．碗外小球的质量为 三、解答题 15．如图所示，一根轻绳的两端分别固定于水平天花板上的A、D两点，B、C两点将轻绳三等分，在C点用另一根轻绳系上一个质量为M的重物，同时在B点施加一个沿纸面内的恒力F，并保持轻绳BC段水平且AB段伸直，此时∠A=∠D，AD=2BC，系统保持静止。重力加速度为g。求： (1)BC段轻绳上的拉力大小； (2)若恒力F可沿纸面内的任意方向调整，求力F的最小值及对应的方向。 16．在粗糙水平地面上放置一个边长为a、质量为M的正方体ABCD，正方体与地面间的动摩擦因数为，在正方体右侧有一竖直光滑墙壁，如图所示，在墙壁和正方体之间放置一半径为R、质量为m的球，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为，正方体和球均保持静止，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力． (1)求竖直墙壁对球的弹力大小； (2)若保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，则球的质量最大值为多少． 17．如图所示，质量分别为和的两个小球A、B都套在一个竖直大圆环上，大圆环固定在地面上。长为L的细绳的两端分别拴在小球A、B上，然后将细绳绕过小滑轮，位于大圆环环心O的正上方。所有摩擦都不计，当它们都静止时，求： (1)大圆环对A、B的作用力之比； (2)段绳长。 18．如图所示，一倾角为53°质量为的斜面体A置于水平面上，在斜面体和竖直墙面之间放置一质量为的光滑小球B，斜面体A受到水平向右的推力F，使A、B系统始终处于静止状态。已知斜面体与水平面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度g取。求： (1)小球B对斜面体A压力大小和受到墙面弹力的大小； (2)水平向右的推力F的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 共点力的平衡 ——划重点之复习强化精细讲义系列 考点1 共点力的静态平衡问题 考点2 共点力的动态平衡问题 考点3 共点力平衡中的临界极值问题 考点1：共点力的静态平衡问题 一．平衡分析 1.平衡状态 物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态. 2.两种平衡情形 平衡状态 ①物体在共点力作用下处于静止状态.（v =0，a =0） ②物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态.（v =常数，a =0） 对静止状态的理解 “静止”要满足两个条件：v = 0，a = 0，缺一不可，"保持"某状态与"瞬时"某状态有区别.例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛的物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止 3.共点力作用下的平衡条件 在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。 表达式∶ （Fx合和Fy合分别是将力进行正交分解后，物体在x轴和y轴上所受的合力） 4.共点力平衡的重要推论 二力平衡 如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，则这两个力必定大小相等，方向相反，作用在一条直线上 三力平衡 如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反 多力平衡 如果物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中一个力与其余的力的合力必定等大反向，或其中几个力的合力与其余的力的合力必定等大反向 5.求解共点力平衡问题的一般步骤 （1）根据问题的要求，以计算方便为原则恰当地选取研究对象，使题目中给定的已知条件和待求的未知量通过这个研究对象的平衡条件联系起来。 （2）对研究对象进行受力分析，画出受力分析图. （3）通过平衡条件，找出各个力之间的关系，由平衡条件列方程，即Fx合=0，Fy合=0。 （4）联立方程求解，必要时对结果进行讨论. 二．解决静态平衡问题的常用方法 静态平衡问题，分析时首先应认真画出各状态物体的受力图，然后根据受力图用正交分解等方法进行运算。 1.解决共点力平衡问题常用的4种方法 合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反 效果分解法 物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件 正交分解法 物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件 力的三角形法 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力 拉密定理法 如图所示，在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任一个力与其他两个力夹角正弦值的比值相等，即 【典例1】如图所示，某环形吊灯半径为R，质量为m，且分布均匀，通过五根相同长度的细线（质量可忽略不计）悬挂在天花板上半径为的固定圆盘上，已知，重力加速度大小为，五根细线均匀分布，且长度可调节（长度总相等）。下列说法正确的是（　　） A．每根细线对吊灯的拉力大小都大于 B．每根细线对吊灯的拉力大小都等于 C．将五根细线同时缩短相同长度，每根细线的张力大小都不变 D．将五根细线同时伸长相同长度，每根细线的张力都增大 【答案】A 【详解】AB．设细线与竖直的夹角为，以吊灯为对象，竖直方向根据受力平衡可得 解得每根细线对吊灯的拉力大小为 故A正确，B错误； CD．将四根细线同时缩短相同长度，则变大，变小，根据 可知细线的张力大小变大，反之，若将五根细线同时伸长相同长度，则变小，变大，细线上的张力大小变小，故CD错误。 故选A。 【典例2】如图所示，三根完全相同的圆木柱A、B、C，质量均为m，两两相切地堆放在粗糙水平地面上，三根圆木柱均保持静止状态，下列关于圆木柱A、B、C的受力情况分析正确的是（　　） A．圆木柱A共受5个力作用 B．圆木柱B受C的弹力大小为 C．圆木柱A、B受地面支持力大小都为 D．圆木柱A、B均不受地面摩擦力作用 【答案】C 【详解】AD．以A为研究对象，受重力、地面的支持力、C对A的压力以及地面对A向右的摩擦力，共4个力的作用，AD错误； B．以C为研究对象，受重力mg，圆木柱A、B对C的支持力FA和FB，如图所示 由对称性可知 由力的平衡条件可知 解得 由牛顿第三定律可知，圆木柱B受C的弹力大小为，B错误； C．以A、B、C为整体，受重力3mg，地面对两圆木柱A、B的支持力均为FN，由力的平衡条件得 解得 C正确。 故选C。 【典例3】如图所示， 质量为1kg的小球用一轻绳悬挂， 在恒力 F 作用下处于静止状态， 此时悬线与竖直方向的夹角为60°。若把小球换成一质量为2kg的另一小球，仍在该恒力F的作用下处于静止状态， 悬线与竖直方向的夹角变为30°。重力加速度为g=10m/s2，则恒力F的大小为（    ） A．10N B．20N C． D． 【答案】A 【详解】分别对两个位置受力分析，并建立如图所示的三角形 设恒力F与竖直方向的夹角为，根据正弦定理可得： 联立解得 故选A。 【典例4】如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AD固定在竖直面内，圆弧的最低点D的切线力向水平，圆弧上的B、C两点将圆弧AD三等分。将一个小球放在B点，用一个最小的力使小球静止在B点，再将小球移至C点，仍用最小的力使小球静止在C点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设小球静止在圆弧面上时受到圆弧的弹力与竖直方向的夹角为，易知拉力的方向与圆弧的弹力方向垂直时，拉力最小，则最小拉力 因此 故选B。 【典例5】如图所示，重为25N的物块甲通过三段绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB平行于倾角为的斜面，且B端与放置在斜面上的重为100N的物块乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角也为，物块甲、乙都处于静止状态，轻绳OB始终与斜面平行，（，）求： (1)轻绳OA、OB受到的拉力大小、； (2)物块乙所受的摩擦力； (3)若斜面光滑，用一水平向左的推力F作用在乙物块上，使其仍保持静止状态，水平推力F的大小。 【答案】(1)20N，15N (2)75N，方向沿斜面向上 (3)93.75N 【详解】（1）对O点受力分析，受到三段轻绳的拉力，合力为零，如图所示 设物块甲重力为，根据三角形法则知 代入得 代入得 （2）物块乙处于静止状态，受力平衡，对乙受力分析，受到重力、斜面的支持力、OB绳的拉力以及静摩擦力，根据平衡条件可知，设乙物块重力为，沿着斜面方向有 代入得 方向沿斜面向上。 （3）若斜面光滑，对乙受力分析，受到重力、斜面的支持力、OB绳的拉力以及水平向左的推力F，根据平衡条件可知，沿着斜面方向有 代入得 考点2：共点力的动态平衡问题 1.动态平衡：通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡． 2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”． 3.常用方法：解析法、图解法、辅助圆法和相似三角形法． 常用方法 使用条件 使用方法 解析法 一般是能够通过矢量三角形求解得到每个力的解析式。 画出受力分析图，设一个角度，利用三力平衡得到拉力的解析式，然后作辅助线延长绳子一端交于题中的界面，找到所设角度的三角函数关系. 对于一根绳挂着光滑滑轮类问题，当受力动态变化时，抓住绳长不变这一点，研究三角函数的变化，可清晰得到力的变化关系 图解法 物体所受的三个力中，有一个力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其他力），另一个力的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题 先正确分析物体所受的三个力，将三个力首尾相连构成闭合三角形.然后将方向不变的力的矢量延长，物体所受的三个力中有两个力变化而又形成闭合三角形，只不过三角形的形状发生改变，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就会一目了然。 辅助圆法 物体所受的三个力中，开始时两个力的夹角为90°，且其中一个力大小、方向不变， ①另两个力大小、方向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变; ②动态平衡时一个力大小不变、方向改变，另一个力大小、方向都改变，这两种类型的问题 先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力的矢量首尾相连构成闭合三角形， 第①种情况以不变的力为弦作圆，在辅助圆中可画出两力夹角不变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况. 第②种情况以大小不变、方向变化的力为直径作一个辅助圆，在辅助圆中可画出一个大小不变、方向改变的力的矢量三角形，从而轻易判断各力的变化情况。 相似三角形 物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其他两个力的方向均发生变化，目三个力中没有哪两个力保持垂直关系，但矢量三角形与几何三角形相似的问题 先正确分析物体的受力，画出受力分析图，将三个力首尾相连构成闭合三角形，再寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的变化问题进行讨论。 考向1：解析法 【典例6】如图所示，整个系统处于静止状态，动滑轮与定滑轮之间的轻绳与水平方向的夹角为。如果将绳一端的固定点P缓慢向上移动到Q点，滑轮质量和一切摩擦均不计，整个系统重新平衡后（　　） A．物块B的高度不变，不变 B．物块B的高度不变，变大 C．物块B的高度增大，变大 D．物块B的高度增大，不变 【答案】A 【详解】设绳子拉力大小为，以B为对象，有 以动滑轮为对象，根据受力平衡可得 设左侧墙壁与定滑轮之间的绳子长度为，水平距离为，根据几何关系可得 将绳一端的固定点P缓慢向上移动到Q点，绳子拉力大小保持不变，则不变，由于水平距离不变，则左侧墙壁与定滑轮之间的绳子长度不变，故物块B的高度不变。 故选A。 【典例7】抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者一只手控制A不动，另一只手控制B分别沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　） A．沿虚线a向左移动，细线的拉力减小 B．沿虚线b向上移动，细线的拉力增大 C．沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变 D．沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力增大 【答案】A 【详解】A．空竹受力如图所示 根据平衡条件可得 设绳长为，由几何关系可得 沿虚线a向左移动，减小，增大，细线的拉力减小，故A正确； B．沿虚线b向上移动，不变，不变，细线的拉力不变，故B错误； C．沿虚线c斜向上移动，增大，减小，细线的拉力增大，故C错误； D．沿虚线d向右移动，增大，减小，细线对空竹的合力不变，故D错误。 故选A。 【典例8】如图，一轻绳OA一端固定在天花板上，另一端固定一轻滑轮，轻绳OA与竖直方向的夹角为、一轻绳绕过轻滑轮，一端固定一质量为m的物体，一人拉着绳的另一端在水平地面上向右运动将物体缓慢吊起来，绕过滑轮的两绳夹角为，绳与滑轮之间的摩擦不计。在此过程中下列说法正确的是（　　） A．拉物体的轻绳上的弹力逐渐增大 B．夹角与夹角的比值逐渐增大 C．固定滑轮的轻绳上的弹力逐渐减小 D．人与地面之间的摩擦力逐渐减小 【答案】C 【详解】A．以物体为研究对象，根据共点力平衡条件可得拉物体的轻绳上的弹力为 显然拉物体的轻绳上的弹力不变，故A错误； B．由于轻绳OA恰好在两绳夹角的角平分线上，吊物体的轻绳在竖直方向上，根据几何关系可知 则夹角α与夹角θ的比值不变，故B错误； C．轻绳绕过轻滑轮，轻滑轮相当于一活结，该轻绳上的弹力大小都为，以滑轮为研究对象，根据共点力平衡条件可得轻绳OA上的弹力为 拉着绳在水平地面上向右运动过程中两绳夹角逐渐增大，为锐角，逐渐减小，则弹力逐渐减小，故C正确； D．以人为研究对象，根据共点力平衡条件可得地面对人的摩擦力为 人在水平地面上向右运动过程中，两绳夹角逐渐增大，增大，则摩擦力逐渐增大，故D错误。 故选C。 考向2：图解法 【典例9】如图所示，内壁光滑的半圆形轨道竖直放置，A为最低点，B为右侧最高点。现用力F将小球从A点沿轨道缓慢拉至B点，且保持力F的方向与竖直方向的夹角始终为。关于该过程下列说法正确的是（　　） A．力F先增大后减小 B．力F一直增大 C．轨道对小球的支持力先增大后减小 D．轨道对小球的支持力一直增大 【答案】B 【详解】对小球进行受力分析如图所示 轨道对小球的支持力由竖直向上变为水平向左，整个过程中由动态平衡的图解法可知，支持力先变小后变大，力F一直增大。 故选B。 【典例10】如图所示，轻杆的一端固定在一光滑球体上，杆的另一端O为自由转动轴，固定在竖直墙壁上，球体搁置在各面均光滑的斜面体上。若杆与墙面间的夹角为β，斜面的倾角为α，开始时β < α，α + β < 90°，为使斜面体能在光滑水平面上向右缓慢移动，在球体离开斜面之前，作用于斜面体上的水平推力为F，轻杆对球体的作用力为T，地面对斜面体的支持力为FN，下列说法正确的是（　　） A．F逐渐增大 B．F逐渐减小 C．T先增大后减小 D．FN大小不变 【答案】A 【详解】C．利用矢量三角形法对球体进行分析，如图甲所示，可知T先减小后增大，斜面体对球体的支持力FN′逐渐增大，故C错误； AB．对斜面体受力分析，如图乙所示，可知 根据牛顿第三定律有 所以F逐渐增大，故A正确，B错误； D．水平面对斜面体的支持力 故FN逐渐增大，故D错误。 故选A。 【典例11】（多选）如图所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E和半圆柱体M靠在一起，E、M之间无摩擦力，E的重力为G，M下表面粗糙，E、M均静止在水平地面上，现过E的轴心施以水平作用力F，可缓慢地将E拉离地面一直滑到M的顶端，整个过程中，M始终处于静止状态，从E离开地面一直滑到M顶端的过程，下列说法正确的是（    ） A．地面所受M的压力逐渐增大 B．地面对M的摩擦力逐渐减小 C．拉力F的大小从2G逐渐减小为0 D．E、M间的压力从2G逐渐减小到G 【答案】BD 【详解】A．取整体为研究对象，地面所受M的压力不变，总等于二者的总重力，A错误； CD．圆柱体E受重力G、拉力F、半圆柱体的支持力N作用处于平衡状态，这三个力构成封闭三角形，如图所示 开始时N与竖直方向成60°角，对应图中的最大三角形，此时拉力F和半圆柱体的支持力N都最大，其大小分别为 随着E向上移动，三角形逐渐减小，拉力F、半圆柱体的支持力N都逐渐减小，当E移动到M顶端时，F减小到零，N减小到G，故开始时拉力F最大，且为，以后逐渐减小为0，E、M间的压力开始时最大，且为2G，以后逐渐减小到G，C错误，D正确； B．取整体为研究对象，地面对M的摩擦力等于拉力F，所以摩擦力随拉力F的减小而减小，B正确。 故选BD。 考向3：辅助圆法 【典例12】如图所示，将两块光滑平板OA、OB固定连接，构成顶角为60°的楔形槽，楔形槽内放置一质量为m的光滑小球，初始时整个装置保持静止，OB板竖直。现使楔形槽绕O点顺时针缓慢转动至OA板竖直的过程中，（重力加速度为g）以下说法正确的是（　　） A．OA板对小球的作用力先减小后增大 B．OB板对小球的作用力先增大后减小 C．OA板对小球作用力的最大值为2mg D．OB板对小球的作用力大小为mg时，OA板对小球的作用力大小也为mg 【答案】D 【详解】A B．对初始状态的小球进行受力分析，如图所示： 因小球受力平衡，故将这三个力进行适当平移可构成一个首尾相接的矢量三角形，另外小球所受重力不变，与夹角不变，根据数学知识可知，在动态变化过程中，的非箭头端（或的箭头端）始终落在这个矢量三角形的外接圆上，如图所示： 由图可知，在动态变化过程中，逐渐变小，逐渐变大，故A错误，B错误； C．由以上分析可知，初始状态最大，最大值为 故C错误； D．若OB板对小球的作用力大小为，则根据数学知识可知，此时这个矢量三角形为等边三角形，故OA板对小球的作用力大小也为，故D正确。 故选D。 【典例13】（多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于竖直固定环上的A、B两点，O点下面悬挂一物体，绳水平，拉力大小为，绳与夹角，拉力大小为．将两绳同时缓慢沿顺时针转过并保持两绳之间的夹角始终不变，且物体始终保持静止状态．则在旋转过程中，下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大 B．先增大后减小 C．逐渐减小 D．先减小后增大 【答案】BC 【详解】A．如图所示 作出，矢量三角形，由正弦定理可知 在旋转过程中，两段绳子的夹角不变，则始终为，而会从逐渐减小，会从逐渐增大，且最后大于，从而根据正弦值的变化可知，先增大后减小，一直减小，故B正确，C正确。 故选BC。 【典例14】（多选）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为2m的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．B、C间的摩擦力一直减小 B．绳上拉力先增大再减小 C．地面对物体C的支持力先减小再增大 D．物体C对地面的摩擦力的最大值为 【答案】BC 【详解】AB．对题图右侧结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示 通过分析可得先增大再减小，F一直减小。初始状态，对A分析可得绳子拉力，对B分析，可发现 即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力从mg先增大再减小到mg，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大再减小，故A错误，B正确； C．将B、C看成整体，竖直方向有 由于先增大再减小，故先减小再增大，故物体C对地面的压力先减小再增大，故C正确； D．水平方向上有 当最大时，即此时F水平，对A分析可计算得 所以 故D错误。 故选BC。 考向4：相似三角形法 【典例15】如图所示，圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上，在O点正上方有一光滑的小定滑轮，小定滑轮到轨道最高点B的距离为h，轻绳的一端系一质量为m的小球（小球和小定滑轮均可视为质点），靠放在光滑圆形轨道上的A点，A点到小定滑轮的距离为L，另一端绕过小定滑轮后用力拉住.重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中FN大小不变 B．缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B，该过程中FT先变小后变大 C．小球静止在A点时，圆形轨道对小球的支持力大小 D．小球静止在A点时，绳对小球的拉力大小 【答案】A 【详解】小球受力如图所示 由平衡条件可知，由图可知力的矢量三角形与几何三角形△AOO'相似，则有 解得 其中mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，FN不变，FT变小。 故选A。 【典例16】如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑、半径为R的半球形容器最底端O′处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球A相连，小球A静止于P点，OP与水平方向的夹角为θ = 30°；若换为与质量为2m的小球B相连，则小球B静止于M点（图中未画出），下列说法正确的是（　　） A．容器对小球B的作用力大于2mg B．弹簧对小球A的作用力大于对小球B的作用力 C．弹簧原长为 D．O′M的长度为 【答案】D 【详解】小球受三个共点力而平衡，这三个力构成一个矢量三角形，如图所示 矢量三角形刚好和几何三角形相似，则当弹簧另一端与质量为m的小球A相连时 设L2为O′M的长度，当弹簧另一端与质量为2m的小球B相连时 设弹簧的原长为L0，则 联立可得 故选D。 【典例17】（多选）如图所示，轻质的OP杆能以O为轴在竖直平面内自由转动，P端悬挂一重物，某人用一根轻绳绕过定滑轮系在P端。当OP杆由水平位置开始缓慢逆时针转动时，下列说法正确的是（    ） A．OP杆的弹力方向不在OP所在的直线上 B．OP杆的弹力大小不变 C．轻绳的张力一直变小 D．轻绳的张力先变小后变大 【答案】BC 【详解】对点P受力分析，设OP杆的弹力为N，轻绳的张力为T，如图 根据平衡条件，合力为零，△AOP与图中矢量（力）三角形相似，故有 解得 ， 由图看出，OP、AO不变，则OP杆的弹力N不变，AP变小，则轻绳的张力T变小。 故选BC。 考点3：共点力平衡中的临界极值问题 1．临界问题 当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述． 2．极值问题 物体平衡的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析． 3．解决极值问题和临界问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论． (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)，但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明． (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值． 【典例18】如图所示，两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上，紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它们之间的摩擦，则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱体的质量为m，则半圆柱体的质量为，设圆柱体与半圆柱体之间的弹力大小为F，对圆柱体进行受力分析，根据平衡条件有 解得 令地面对一个半圆柱体的支持力为N，结合对称性，对圆柱体与半圆柱体整体进行分析有 解得 三者始终处于静止状态，则有 解得 即半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为。 故选B。 【典例19】如图所示，在倾角为的斜面上叠放着滑块A和木板B、C，用与斜面平行的力F斜向上拉木板B，三个物体都处于静止状态。A、B间的摩擦力大小为，B、C间的摩擦力大小为，C与斜面间的摩擦力大小为。下列说法正确的是（  ） A．可能等于0 B．不可能等于0 C．可能等于0 D．和可能同时等于0 【答案】C 【详解】A．若等于0，则A不能保持平衡状态，所以不可能等于0，故A错误； B．把A、B作为一个整体，当 时 =0 故B错误； C．把A、B、C作为一个整体，当 时 =0 故C正确； D．若和同时等于0，有 得 不可能，故D错误。 故选C。 【典例20】一质量为的物块恰好能沿倾角为的足够长斜面匀速下滑。物块在沿斜面匀速下滑的过程中，在竖直平面内给物块一外力，与水平方向的夹角为，斜面始终处于静止状态，如图所示。已知重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力水平向左 B．若，物块沿斜面下滑过程中，地面对斜面的摩擦力为零 C．若，物块将不能沿斜面匀速下滑 D．若推着物块沿斜面匀速上滑，则的最小值大于 【答案】B 【详解】ABC．未加F时，物块匀速下滑，其受力分析，如图所示 由平衡条件得 ， 又根据 可得 解得 设斜面的质量为M，对斜面受力分析，如图所示 根据牛顿第三定律有 ， 斜面始终处于静止状态，将、分解，且在水平方向有 ， 可得 故地面对斜面的摩擦力为零； 若，对物块施加一个水平方向的力F，对m受力分析，如图所示 将F分解，可得 又根据 可得 对斜面同上进行受力分析，根据牛顿第三定律有 ， 斜面始终处于静止状态，将、分解，且在水平方向有 ， 可得 故地面对斜面的摩擦力为零；若，对物体施加一个垂直于斜面方向的力F，物块下滑过程中，对m受力分析，如图所示 则有 又根据 可得 对斜面同上进行受力分析，根据牛顿第三定律有 ， 斜面始终处于静止状态，将、分解，且在水平方向有 ， 可得 故地面对斜面的摩擦力为零，故A错误，B正确； C．若，对物块施加竖直向下的力F，对m受力分析，如图所示 则有 又根据 可得 又 则有 所以物体仍可以沿斜面匀速下滑，故C错误； D．若推着物块沿斜面匀速上滑，设F与斜面夹角，根据平衡条件得 解得 所以 故D错误。 故选B。 【典例21】如图所示，质量M=4kg物块甲置于倾角为37°的斜面，物块甲与斜面间动摩擦因数μ=0.5，物块与斜面间最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。质量为m=3kg的物块乙通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，水平轻绳OA与物块甲连接于A点，轻绳OB与水平方向夹角也为37°。对物块甲施加沿斜面向上的力F（图中未画出）使甲、乙两物体均静止。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2。求： (1)轻绳OA的弹力TOA大小和轻绳OB的弹力TOB大小； (2)斜面对甲的弹力N大小； (3)力F大小的取值范围。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对结点，由平衡条件得 ， 解得 ， （2）对物块甲进行受力分析，在垂直斜面方向，由受力平衡可得 （3）甲受到的最大静摩擦力为 当拉力F较小，且沿斜面向上的摩擦力达到最大静摩擦力时，由平衡条件可得 解得 当拉力F较大，且沿斜面向下的摩擦力达到最大静摩擦力时，由平衡条件可得 解得 故力F大小的取值范围为 【典例22】如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平面上，一横截面半径为R的半圆柱体丙放在水平面上，可视为质点的光滑小球乙质量，用轻绳拴接置于半圆柱体上；物块甲用轻绳拴接放在斜面体上且轻绳与斜面平行，拴接小球乙与拴接物块甲的轻绳与竖直的轻绳系于O点，且O点位于半圆柱体圆心的正上方。已知O点到水平面的高度为2R，拴接小球乙的轻绳长度为，物块甲与斜面间的动摩擦因数，整个装置始终处于静止状态。取重力加速度，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：（结果可用分式、根式表示） (1)拴接小球乙的轻绳拉力的大小； (2)半圆柱体丙受到水平地面摩擦力的大小； (3)物块甲质量的取值范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对小球乙受力分析如图1所示，由相似三角形得 解得拴接小球乙的轻绳拉力大小为 （2）设拴接小球乙的轻绳与竖直方向的夹角为，由几何关系可知 所以拴接乙球的轻绳与半圆柱体相切，可得 解得 以小球乙和半圆柱体丙整体为研究对象，可知半圆柱体所受的摩擦力方向水平向左、大小等于拉力T沿水平向右方向的分力，即 解得 （3）以结点O为研究对象，对其受力分析如图2所示，由平衡关系得 代入数据解得 以甲为研究对象，设物块甲的质量为，当静摩擦力沿斜面向上达到最大值时有 与是一对相互作用力，由牛顿第三定律可知，解得 当静摩擦力沿斜面向下达到最大值时有 解得 物块甲质量的取值范围为 一、单选题 1．如图甲所示为一款环保袋，既可反复使用，又美观大方。手提环保袋静止时，简化示意图如图乙所示，设环保袋的重力大小为G，不考虑绳带的质量，下列说法正确的是（　　） A．绳带中的张力大于 B．若缩短绳带长度，则绳带中的张力将减小 C．绳带对环保袋的作用力与环保袋的重力是一对相互作用力 D．绳带对环保袋的拉力与环保袋对绳带的拉力是一对平衡力 【答案】A 【详解】A．对环保袋的受力分析如下图所示，由平衡条件得 可得绳带中的张力为 故A正确； B．绳带长度缩短时，α增大，减小，由 可知绳带中的张力增大，故B错误； C．绳带对环保袋的拉力与环保袋的重力是一对平衡力，故C错误； D．绳带对环保袋的拉力与环保袋对绳带的拉力是一对相互作用力，故D错误。 故选A。 2．如图所示，小球A、B大小相同，质量分别为2m和3m，竖直悬挂在丝线下方。现整个装置受到水平向右的风力影响，则两球达到平衡后的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两球看成一个整体，根据受力平衡可得，上边绳与竖直方向夹角满足 以B球为对象，根据受力平衡可得，下边绳与竖直方向夹角满足 则有 即 故选B。 3．如图所示,在竖直平面内用三根细线a、b、c将质量均为m的两个小球1和2连接，a的另一端跨过定滑轮与小球3相连并悬挂。三小球处于静止状态，细线a与竖直方向的夹角为60°，细线c水平。不计滑轮与细线间摩擦。小球3的质量为（　　） A．m B．2m C．3m D．4m 【答案】D 【详解】以小球3为对象，根据受力平衡可得 以两个小球1和2为整体，根据受力平衡可得 联立解得小球3的质量为 故选D。 4．如图所示，一轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，轻杆的另一端C用弹性轻绳连接，轻绳的另一端固定在竖直墙上的A点。某人用竖直向下、大小为F的拉力作用于C点，静止时AOC构成等边三角形。下列说法正确的是（　　） A．此时弹性轻绳的拉力大小可以小于F B．此时弹性轻绳的拉力大小为2F C．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻绳AC的拉力增大 D．若缓慢增大竖直向下的拉力，则在OC到达水平位置之前，轻杆OC对C点的作用力减小 【答案】C 【详解】AB．轻杆通过铰链固定在竖直墙上的O点，可知轻杆对C端的支持力方向沿杆的方向，由于轻绳拉力、轻杆的弹力与竖直向下拉力F互成120°角，根据共点力平衡条件可知，此时弹性轻绳的拉力大小为 故AB错误； CD．对C端受力分析如图所示 由相似三角形可知 若缓慢增大竖直向下的拉力F，则在OC到达水平位置之前，由于AO、OC长度不变，可知轻杆OC对C点的作用力N变大；由于AC长度变大，则弹性轻绳的伸长量变大，轻绳AC的拉力T增大，故C正确，D错误。 故选C。 5．如图所示，轻绳穿过悬挂着物体的光滑轻环，一端固定在竖直墙壁上，另一端固定在智能机械臂的末端，缓慢移动机械臂来调节物体的空间位置。已知轻绳可承受的最大拉力为，轻绳的总长度为L，物体的质量为m，重力加速度为g。为保证绳子不被拉断，机械臂末端与墙面的最大垂直距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对圆环O点受力分析，如图所示，设作用在轻绳上的拉力为F，与竖直方向的夹角为θ 则有 当时，解得 设此时机械臂末端到轻环之间轻绳的长度为x，根据几何知识可得，机械臂末端与墙面的最大垂直距离 故选A。 6．北方冬天的雪景十分壮观，如图甲所示，质量为的小孩坐在质量为的雪橇上，大人拉着轻质细绳A使雪橇在水平雪地上向前做匀速运动，简图如图乙所示。已知拴接在雪橇两侧的细绳所在的平面与水平面的夹角，细绳A与两侧细绳在同一平面内，两侧细绳等长且细绳间的夹角不变，雪橇与雪地的动摩擦因数，下列说法正确的是（    ） A．逐渐减小，地面对雪橇的作用力方向始终不变 B．逐渐减小，地面对雪橇的作用力先变小后变大 C．逐渐减小，细绳A的拉力一直变大 D．当时，两侧细绳的拉力最小 【答案】A 【详解】A．地面对雪橇的作用力为对雪橇的支持力和滑动摩擦力的合力，设地面对雪橇的作用力与竖直方向的夹角为，则有 可得 则逐渐减小，地面对雪橇的作用力方向始终不变，故A正确； BCD．以雪橇和雪橇两侧的细绳为整体，受重力、地面对雪橇的作用力和细绳A的拉力，如图所示 逐渐减小，地面对雪橇的作用力和细绳A的拉力的合力保持不变，由图可知，地面对雪橇的作用力逐渐变大；细绳A的拉力先变小后变大；当细绳A的拉力与地面对雪橇的作用力垂直时，即时，细绳A的拉力最小，则两侧细绳的拉力最小，故BCD错误。 故选A。 7．如图所示，半圆柱体P静止在水平地面上，光滑小圆柱体Q静止于P上且竖直挡板MN恰好与P、Q相切，若挡板水平向右缓慢移动一小段距离且P仍静止时，则（　　） A．P受到地面的摩擦力变大 B．P受到地面的支持力变大 C．Q受到的P的弹力变小 D．Q受到的挡板MN的弹力不变 【答案】A 【详解】CD．对圆柱体Q受力分析，受到重力mg、挡板MN的支持力FN1和P对Q的支持力FN2，如图 根据共点力平衡条件，有 ， 挡板水平向右缓慢移动一小段距离，θ变小，、都变小，故FN1和FN2都变大，故CD错误； AB．以PQ整体为研究对象，对PQ整体受力分析，受到总重力、挡板MN的支持力N1，地面的支持力N3，地面的静摩擦力f，如图 根据共点力平衡条件，有 ， 又与FN1为相互作用力，则变大，故摩擦力f也变大，支持力不变，故A正确，B错误。 故选A。 8．图甲是迷宫尺子，质量为M的尺子外壳内有一颗质量为m的小钢珠，通过倾斜尺子，可以让小钢珠走出迷宫。小齐保持尺面竖直，小钢珠位于如图乙所示相互垂直的A、B挡板之间，缓慢逆时针转动尺子，直至Ｂ水平。将A与水平面的夹角记为，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．A对小钢珠的作用力先增大后减小 B．B对小钢珠的支持力大小为 C．小齐对尺子的作用力大小始终为 D．小钢珠对尺子的作用力和小齐对尺子的作用力是平衡力 【答案】B 【详解】AB．对小钢珠受力分析如图所示，由共点力的平衡条件可得 缓慢逆时针转动尺子，直至Ｂ水平，可知角逐渐增大到90°，则挡板A对小钢珠的支持力逐渐减小到零，由牛顿第三定律可知，A对小钢珠的作用力一直减小到零，A错误，B正确； C．在受力平衡时，可知小齐对尺子的作用力大小始终为，C错误； D．小钢珠对尺子的作用力大小是，小齐对尺子的作用力大小是，两个力不是平衡力，D错误。 故选B。 9．如图所示为通过轻杆相连的A、B两小球， 用两根细线将其悬挂在水平天花板上的O点。已知AB的质量分别为、，轻杆长度为，细线OA长为L。现对B施加一个水平外力F使系统保持静止状态， A球在悬点正下方，细线OB与轻杆恰好垂直。现保持两小球位置不变，使F缓慢从水平沿逆时针转过90°的过程中， 下面说法正确的是（取重力加速度大小g=10m/s2）（　　） A．细线OA的拉力一定大于 B．轻杆对B球的作用力一定大于 C．细线OB的拉力不断减小 D．外力一定不小于且先减小后增大 【答案】C 【详解】AB．由于系统处于静止状态，球在悬点正下方，故球只受重力和细绳拉力作用，且二力平衡，故细线的拉力大小等于 轻杆对、B球均没有作用力，故AB错误； C．小球B受竖直向下的重力、沿悬线斜向上的拉力和的作用而处于静止状态，三力的合力为零，表示三力的线段构成封闭三角形如图所示 由于重力的大小及方向不变，悬线拉力的方向不变，缓慢从水平沿逆时针转过的过程中，细线的拉力不断减小，外力先减小后增大，故C正确； D．细线与轻杆恰好垂直，且轻杆长度为，细线OA长为L，故与竖直方向夹角为 由几何关系可知，当的方向与垂直时最小，由几何关系知此时 故D错误。 故选C。 10．如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中（　　） A．F逐渐增大，逐渐增大 B．F逐渐增大，先减小后增大 C．F先减小后增大，逐渐增大 D．F先减小后增大，先减小后增大 【答案】B 【详解】对物体受力分析，并构封闭的矢量三角形，如图所示 由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F增大，减小，经过竖直方向后，夹角又逐渐变大，拉力F继续增大， 也增大，故B正确。 故选B。 11．沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，为其圆心，，质量为的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“V”形槽中。初始时，三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为。在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．槽面对木棒的弹力的最大值为 B．槽面对木棒的弹力先增大后减小 C．槽面对木棒的弹力一直增大 D．槽面与槽面对木棒弹力的合力先减小后增大 【答案】A 【详解】A．在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，对均匀圆柱形木棒受力分析，由力的平衡条件可知，重力、槽面对木棒的弹力和槽面对木棒的弹力构成封闭的三角形，即三力的合力是零，如图所示，在转动中两弹力、的夹角不变，可知当由题图示位置逆时针缓慢转过30°时，槽面对木棒的弹力有最大值，最大值为 A正确； B．由解析图可知，槽面对木棒的弹力一直增大，B错误； C．槽面对木棒的弹力先增大后减小，C错误； D．由力平衡条件可知，槽面与槽面对木棒弹力的合力大小始终等于木棒的重力，合力大小不变，D错误。 故选A。 12．如图所示，一质量为m的光滑小球放置在倾角为θ的固定斜面上，用垂直于斜面的挡板挡住，挡板绕O点顺时针缓慢地转向竖直位置的过程中，下列判断正确的是（　　） A．小球对挡板的压力先减小后增大 B．小球对挡板的压力逐渐增大 C．小球对斜面的压力先减小后增大 D．小球对斜面的压力一直减小 【答案】B 【详解】对光滑小球受力分析，受重力mg，斜面的支持力，挡板的支持力，挡板绕O点顺时针缓慢地转向竖直位置的过程中斜面的支持力方向不变，大小一直增大；挡板的支持力一直增大，由牛顿第三定律可知，小球对斜面的压力一直增大，小球对挡板的压力一直增大。 故选B。 二、多选题 13．如图所示，物体B置于倾角为、放置于粗糙地面上的粗糙斜面体上，物体A和物体B用细绳跨过定滑轮相连，均处于静止状态。现将一水平向左的外力F作用在A上，将物体A缓慢向左拉开一定的距离，该过程中斜面和物体B始终保持静止，以下说法正确的是（　　） A．绳子拉力逐渐减小 B．物体B所受摩擦力的方向可能先沿斜面向上，再沿斜面向下 C．外力F逐渐增大 D．斜面体受到地面的摩擦力逐渐减小 【答案】BC 【详解】AC．由于外力F拉着物体A缓慢向左移动，物体A处于动态平衡状态，其受力如图所示 根据受力平衡可得 ， 由于逐渐增大，所以外力F逐渐增大，绳子拉力逐渐增大，故A错误，C正确； B．初始时两物体处于静止状态，物体B受到重力、支持力和绳子的拉力，由于两物体质量关系未知，B也可能受到静摩擦力，其方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，假如B此时受到的摩擦力f沿斜面向上，施加了外力F后，绳子拉力T逐渐增大，则B受到的摩擦力逐渐减小，直到减到零，如果绳子拉力T继续增大，则摩擦力的方向将变为沿斜面向下，故B正确； D．以B和斜面为整体，水平方向根据受力平衡可得 由于斜面倾角不变，绳子拉力逐渐增大，所以斜面体受到地面的摩擦力逐渐增大，故D错误。 故选BC。 14．如图所示，一个半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有两个小球。当它们处于平衡状态时，碗内质量为m的小球和O点的连线与竖直方向的夹角为30°，另一小球静止于空中，两小球均视为质点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．碗内小球受到的支持力大小为mg B．小球对碗的压力大小为 C．细线中的张力大小为mg D．碗外小球的质量为 【答案】BD 【详解】ABC．对碗内小球受力分析，设绳上的拉力为F，碗对小球的支持力为FN，根据平衡条件可得 解得 根据牛顿第三定律可得，碗内小球受到的支持力大小等于小球对碗的压力大小为，故AC错误，B正确； D．外面的小球保持静止状态，根据平衡条件可得 解得 故D正确。 故选BD。 三、解答题 15．如图所示，一根轻绳的两端分别固定于水平天花板上的A、D两点，B、C两点将轻绳三等分，在C点用另一根轻绳系上一个质量为M的重物，同时在B点施加一个沿纸面内的恒力F，并保持轻绳BC段水平且AB段伸直，此时∠A=∠D，AD=2BC，系统保持静止。重力加速度为g。求： (1)BC段轻绳上的拉力大小； (2)若恒力F可沿纸面内的任意方向调整，求力F的最小值及对应的方向。 【答案】(1) (2)，方向与AB绳垂直且斜向左下方 【详解】（1）根据几何关系可知CD与水平方向的夹角满足 在C点，根据几何关系有 解得 （2）段的绳子拉力水平向左，大小恒定，段绳子拉力方向不边，斜向左上方，当恒力F与AB绳垂直且斜向左下方时，恒力F最小，有 16．在粗糙水平地面上放置一个边长为a、质量为M的正方体ABCD，正方体与地面间的动摩擦因数为，在正方体右侧有一竖直光滑墙壁，如图所示，在墙壁和正方体之间放置一半径为R、质量为m的球，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为，正方体和球均保持静止，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力． (1)求竖直墙壁对球的弹力大小； (2)若保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，则球的质量最大值为多少． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图乙可知竖直墙壁对球弹力 （2）如图甲所示，对正方体受力分析可得 如图乙所示，对球体受力分析得 对正方体和球体构成的整体受力分析得 三式联立可得 解得 故球质量最大为 若，则无论球质量为多少，正方体均不会移动。 17．如图所示，质量分别为和的两个小球A、B都套在一个竖直大圆环上，大圆环固定在地面上。长为L的细绳的两端分别拴在小球A、B上，然后将细绳绕过小滑轮，位于大圆环环心O的正上方。所有摩擦都不计，当它们都静止时，求： (1)大圆环对A、B的作用力之比； (2)段绳长。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设大圆环半径为R，距离为h，A、B都处于静止状态，对小球A、B进行受力分析，A、B分别所受的三个力，平移后均构成一个闭合三角形，如图所示。 由相似三角形对应边成比例可得 则 （2）由相似三角形对应边成比例可得 解得 18．如图所示，一倾角为53°质量为的斜面体A置于水平面上，在斜面体和竖直墙面之间放置一质量为的光滑小球B，斜面体A受到水平向右的推力F，使A、B系统始终处于静止状态。已知斜面体与水平面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度g取。求： (1)小球B对斜面体A压力大小和受到墙面弹力的大小； (2)水平向右的推力F的最小值。 【答案】(1)150N，120N (2)90N 【详解】（1）对B球受力分析，受重力mg，A的弹力N1，墙面的弹力N2，受力如图所示 根据平衡条件有 ， 解得 =150N，=120N 根据力的作用是相互的，所以小球B对斜面体A的压力为150N。 （2）水平向右的外力最小（设为Fmin）时，斜面体可能有向左运动趋势，由于 则有 解得 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