精品解析：福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷

福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测 高三数学试题 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ） A. 54℃ B. 52℃ C. 50℃ D. 48℃ 3. 在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 对任意实数,“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 10. 已知函数，则（ ） A. 与的图象有相同的对称中心 B. 与的图象关于轴对称 C. 与的图象关于轴对称 D. 的解集为 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. 关于中心对称 C. D. 函数有最大值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分 12. 已知复数满足，则______． 13. 已知，则的最小值为______． 14. 已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为上的奇函数． （1）求； （2）若函数，讨论的极值． 16. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角A的大小； （2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 17. 在三棱锥中，底面，，，，分别为的中点，为线段上一点． （1）求证：平面； （2）若平面底面且，求二面角的正弦值． 18. 已知函数，其中是实数． （1）若，求的单调区间； （2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求的最小值． 19. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点． （1）若函数是偶函数，求的最小值； （2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值； （3）设函数，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的“级周期函数”，周期为T．请探究是否存在非零实数，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测 高三数学试题 （考试时间：120分钟，试卷总分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过解不等式求出的元素，进而利用集合的交集运算即可求解. 【详解】不等式的解集等价于不等式组的解集， 即，得， 又，解得， 于是， ， 则. 故选：A 2. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ） A. 54℃ B. 52℃ C. 50℃ D. 48℃ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到，进而求解即可. 【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得： ，即，即. 故选：C. 3. 在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理结合两角和的正切公式求出的值，根据诱导公式得出，即可求得C角的值. 【详解】由题意，， 所以， 由，故， 又，所以. 故选：D 4. 对任意实数,“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】我们需要先求出在上的取值范围，再根据充分必要条件的定义来判断. 【详解】对于函数，根据均值不等式（当且仅当时取等号）， 则. 当即时取等号，但是，所以 判断充分性: 若，因为时，那么，所以充分性成立. 判断必要性: 若，当时，显然，所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊函数值验证求解. 【详解】函数的定义域为， ， 则函数为奇函数，排除选项和； 当时，函数值为，取，排除选项, 故选： . 6. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数确定函数的单调性，然后确定，利用此性质化简不等式为形式，再由单调性求解． 【详解】由已知，当且仅当时等号成立， 所以是上的增函数， 又， 所以不等式化为， 所以，解得或． 故选：D． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用计算即可. 【详解】令， 则， 显然时，时， 所以在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以（时取得等号）， （时取得等号）， 故，即. 故选：B 8. 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同构分离参数，构造函数证明得出即可计算参数范围. 【详解】，即， 令， 显然时，时， 即在上单调递增，在上单调递减，所以， 则， 又，当且仅当时，等号成立． ． 故选：D． 【点睛】思路点睛：对于指对结合的复杂函数，有时利用同构思想处理比较方便，通过常用的函数放缩计算参数范围即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，分析可知的极值点为、，以及为奇函数，可求 得，，根据函数的单调性可得出，逐项分析可得出合适的选项. 【详解】由图可知，三次函数为奇函数，且的极值点为、， 设，则，可得， 由奇函数的定义可得，即， 所以，可得，则， 由题意可得，可得，则， 由图可知，函数的单调递增区间为， 故不等式的解集为，所以， 对于A选项，由题意可知，， 由导数的定义可得，故A正确； 对于B选项，，， 由，，所以，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，由， 可得，解得或， 因此，不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 与的图象有相同的对称中心 B. 与的图象关于轴对称 C. 与的图象关于轴对称 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式先得出，再利用三角函数的图象与性质一一判定选项即可. 【详解】， 即与的图象关于轴对称， 令， 且有相同的对称中心，故A、B正确，C错误； 由不等式， 令，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. 关于中心对称 C. D. 函数有最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】利用赋值法及抽象函数的性质一一判定即可. 【详解】令，则， 又，故A错误； 令，则， 又，， 再令， 的图象关于中心对称，故B正确； 由B得，当时，，故C错误； 由B得，在时取到最大值，故D正确． 【点睛】方法点睛：对于抽象问题利用赋值法是常用方法，结合B的结论确定函数解析式即可判定C、D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分 12. 已知复数满足，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，共轭复数的定义及模长公式计算即可. 【详解】由， 则. 故答案为：1 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】； 【解析】 【分析】凑配出积的定值，再由基本不等式得最小值． 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：． 14. 已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过导数研究的单调性与最值，结合换元法将问题化为的零点问题，根据导数的几何意义计算参数即可. 【详解】设，则，，得， 当单调递增， 当单调递减， 当时，函数取得最大值1， 如图1，画出函数的图象， 由，即，则恒过点， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为， 如图2，则与有2个交点，， 如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以， 综上可知，． 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点问题，通常利用换元法与数形结合的思想. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为上的奇函数． （1）求； （2）若函数，讨论的极值． 【答案】（1） （2）极大值为；无极小值. 【解析】 【分析】（1）由，解得，再代入检验即可； （2）利用导数求解即可. 【小问1详解】 因为函数为上的奇函数， 由， 此时， 则， 所以为奇函数． 所以； 【小问2详解】 由（1）得：定义域为， ， 由，得；由，得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 极大值；无极小值. 16. 在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角A的大小； （2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先由正余弦定理得，接着切化弦得，从而求得即可得解. （2）先由余弦定理得，接着由平方得，由正弦定理边化角结合三角恒等变换公式计算化简得，再结合角B的取值范围即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 17. 在三棱锥中，底面，，，，分别为的中点，为线段上一点． （1）求证：平面； （2）若平面底面且，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：解法一：连接交与点，则， ，， 故， 从而，从而， 底面，底面，∴， 又，平面，故平面 解法二：连接，由分别为，的中点，所以， ， 又因为，，， 所以，故，从而， ∵底面，底面，∴， 又，平面，故平面 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，, ,,,， 则，，, 因为平面底面，且，则平面，则, 易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 则，可得，令可得， 设二面角为，则， 故二面角的正弦值为． 18. 已知函数，其中是实数． （1）若，求的单调区间； （2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求的最小值． 【答案】（1）在单调递增，单调递减； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性计算即可； （2）根据函数单调分类讨论确定导函数的符号，利用二次求导确定导函数的单调性及最值即可； （3）取特殊值先得到，再构造函数，利用导数研究其单 调性与最值证明成立即可. 【小问1详解】 当时，，则， 易知单调递减，且时，， 所以令，解得，令，解得， 所以在单调递增，单调递减； 【小问2详解】 函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数， 在定义域内恒成立， 或，在定义域内恒成立． 令，显然在为负，为正， 所以在单调递减，单调递增， ①若在定义域内恒成立， 只需，即， ②若在定义域内恒成立， 时，，故该情况无解． 综上：； 【小问3详解】 若恒成立，则， 当时，，即， 下证成立，由得，恒成立， 即， 易知在上分别单调递增、单调递减， 又记，要满足题意需零点相同， 即，解得， 即只需证恒成立， ，由（2）得在上单调递减，在上单调递增， 又在上为正，在上为负，在上为负， 在上单调递增，在上单调递减，， 即恒成立， 最小值为． 【点睛】思路点睛：第三问根据不等式恒成立选择特殊值得出，之后验证满足题意，利用消元思想将双变量问题转化为单变量问题，借助因式分解及函数单调性确定a的值，最后利用导数研究函数单调性与最值计算即可. 19. 已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点． （1）若函数是偶函数，求的最小值； （2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值； （3）设函数，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的“级周期函数”，周期为T．请探究是否存在非零实数，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，并证明你的结论． 【答案】（1）． （2） （3）存在，证明： 假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有， 则，恒有成立， 则，恒有成立， 当时，，则， 所以， 要使得恒成立，则有 ①当时，则，即，令，其中， 则， 且函数在上的图象是连续的， 由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点， 此时，恒成立，则，即； ②当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的图象没有公共点， 故方程无实数解． 综上所述，存在满足题意，其中满足 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的周期性及过点坐标先确定，再根据奇偶性计算参数即可； （2）结合（1）的结论转化零点个数为函数交点问题，根据三角函数的图象与对称性计算即可； （3）根据定义得出恒成立，利用三角函数的有界性得出，分类讨论时构造函数，根据零点存在性定理判定其零点唯一，得出，再讨论时，通过指数函数与一次函数的性质与图象排除即可. 【小问1详解】 图象的相邻的两条对称轴间的距离为 的最小正周期为， ， 又的图象过点． ， 因为函数是偶函数， ． 的最小值． 【小问2详解】 由可得， ， 设，由与图象可知在共有8个交点． ， ，同理， ． 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：第三问根据新定义得出求使得恒成立， 根据三角函数有界性得出，分类讨论利用函数与方程的零点及数形结合计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $