专题06 抛物线的简单几何性质（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

06 抛物线的简单几何性质 一、知识归纳： 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 顶点 离心率 e＝ . 2．直线与抛物线的位置关系:将直线l的方程（A、B不同时为0）代入抛物线C的方程，消去y得到一个关于变量x的一元方程，即，消去y后得． （1）当 时，设一元二次方程的判别式为，则若 ，直线l与抛物线C相交；若 ，直线l与抛物线C相切；若 ，直线l与抛物线C相离； （2）当，时，即得到一个一次方程，则直线l与抛物线C相交，且只有一个交点，此时直线l与抛物线C的对称轴 或 ． 自检自纠：1.，，，，轴，轴，， 2.（1），，， （2）平行，重合 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 2．已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 3．抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 4．已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 6．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 8．是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（  ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 10．已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆和抛物线C的准线相切 11．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点．若线段的长是20，中点到轴的距离是8，为坐标原点，则（    ） A．抛物线的焦点是 B．抛物线的离心率为 C．直线的斜率为 D．的面积为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 13．已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ． 14．设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ． B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 2．设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 4．设抛物线的焦点为，直线l交抛物线于两点，，线段的中点到抛物线的准线的距离为4，则（   ） A． B．5 C．4 D．3 5．已知抛物线E：的焦点为F，以F为圆心的圆与E交于A，B两点，与E的准线交于C、D两点，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线：（）的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．设抛物线：（）的焦点为，点在轴正半轴上，线段与抛物线交于点，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 10．设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线﹐切点分别为和，则（　　） A．点坐标为 B．直线的方程为 C． D． 11．已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则 . 13．已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B.设直线MA，MB的斜率分别为 14．过原点且相互垂直的两条直线分别交抛物线于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线AB的最大距离为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06 抛物线的简单几何性质 一、知识归纳： 1．抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 顶点 离心率 e＝ . 2．直线与抛物线的位置关系:将直线l的方程（A、B不同时为0）代入抛物线C的方程，消去y得到一个关于变量x的一元方程，即，消去y后得． （1）当 时，设一元二次方程的判别式为，则若 ，直线l与抛物线C相交；若 ，直线l与抛物线C相切；若 ，直线l与抛物线C相离； （2）当，时，即得到一个一次方程，则直线l与抛物线C相交，且只有一个交点，此时直线l与抛物线C的对称轴 或 ． 自检自纠：1.，，，，轴，轴，， 2.（1），，， （2）平行，重合 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点到准线的距离为， 由抛物线标准方程可得，故选：C. 2．已知抛物线上一点与其焦点的距离为5，则点到轴的距离等于（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【详解】设，焦点为,，由抛物线的定义可知： ，所以， 将其代入抛物线方程中得故，所以点到轴的距离等于4，故选：B 3．抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】把代入抛物线方程中，得，因为该抛物线的对称轴为纵轴， 所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，故选：A 4．已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】由抛物线方程 ，得p=1，准线方程为 ， 点A到焦点F的距离等于到准线的距离，即 ，解得 .故选：A. 5．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得， 则，将代入可得，则.故选：C. 6．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.故选B. 7．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A. 8．是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，∵，知两点关于轴对称，设，， ∴，解得，∴，∴，∴，∴.故选：C 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零，设直线为，，由，得，因为，所以，所以，所以，对于A，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为4，所以A错误，对于B，因为线段的中点为，，则到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为，所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确，对于C，因为，所以C正确，对于D，因为，所以D错误，故选：BC 10．已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆和抛物线C的准线相切 【答案】BC 【详解】依题意可知，所以，解得，A错； 由消去y可得，所以，，B对； ，C对； 以为直径的圆的圆心横坐标为，而半径，故该圆圆心到y轴的距离恰好等于半径，所以该圆与y轴相切，与准线相离，D错. 故选：BC． 11．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点．若线段的长是20，中点到轴的距离是8，为坐标原点，则（    ） A．抛物线的焦点是 B．抛物线的离心率为 C．直线的斜率为 D．的面积为 【答案】ABD 【详解】记抛物线焦点为F，MN中点A，过M，N，A分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，T， 则，又，所以，抛物线方程为，故选项A，B正确；显然直线斜率存在且不为0，设直线方程为与抛物线方程联立，消去得：，设，则, 而，所以，解得：，故选项C不正确；直线方程为，可得原点O到直线距离为，所以的面积为，故选项D正确；故选：ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】联立方程组，整理得，设直线与曲线的交点为，可得，解得，且，由弦长公式， 可得，解得. 故答案为：. 13．已知直线与曲线只有一个公共点，则实数的值为 ． 【答案】0或 【详解】联立与可得， 当时，此时方程为，解得，符合题意， 当，由可得，即， 综上可知：直线与曲线只有一个公共点，或， 故答案为：0或 14．设抛物线C：的焦点为F，准线为，斜率为的直线经过焦点F，交抛物线C于点A、B两点，若，则抛物线C的方程为 ． 【答案】 【详解】抛物线C：的焦点为，则过焦点且斜率为的直线方程为：，联立，消去可得：，,设A、B两点的坐标分别为，则，，代入化简可得：，解得：.则抛物线C的方程为:.故答案为：. B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知抛物线，经过点P的任意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在轴上，所以在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线外部，将代入抛物线中，则，所以在抛物线内部，将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点在抛物线内部，故当点位于点处，此时经过点P的任意一条直线与C均相交，故均有公共点，故选：D 2．设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出示意图如图所示,  则抛物线的性质，可得，又，所以可得的倾斜角为，则可得，从而.故选：C. 3．若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由于点在抛物线上，设，由于，得：，解得或（舍去），所以点的横坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知：点到该抛物线焦点的距离等于其到准线的距离，所以点到该抛物线焦点的距离为：，故选：C. 4．设抛物线的焦点为，直线l交抛物线于两点，，线段的中点到抛物线的准线的距离为4，则（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】抛物线方程可化为，故抛物线的准线为，设线段的中点为，作于，作于，作于，因为线段的中点到抛物线的准线的距离为4，即，在梯形中，，是线段的中点，所以是梯形的中位线，则，所以，故选：B 5．已知抛物线E：的焦点为F，以F为圆心的圆与E交于A，B两点，与E的准线交于C、D两点，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由抛物线方程知：，，不妨设点在第一象限，如图所示，直线与轴交于点，  由，则，圆的半径，所以，由抛物线的定义可得：，所以，又因为点在抛物线上，所以，．故选D. 6．若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有，解得，所以抛物线的方程为.故选D. 7．已知抛物线：（）的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线于、两点，若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线方程可得，由题意可设直线的方程为：，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，可得：，所以中点的纵坐标为，由题意可得：，解得，所以抛物线方程为：， 故选：C. 8．设抛物线：（）的焦点为，点在轴正半轴上，线段与抛物线交于点，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线：（）的焦点为，由，且点在轴正半轴上，所以点的横坐标为，过点作准线的垂线段，垂足为，则，解得，所以抛物线方程为，令，解得，所以，又，所以的纵坐标为.故选：D 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】AC 【详解】由题,由，，所以，..故选：AC． 10．设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线﹐切点分别为和，则（　　） A．点坐标为 B．直线的方程为 C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意，易知；由得，，则焦点，其准线方程为，，故A正确；设切线方程为，由得，令，解得；解方程可得，则，即两切点坐标为，，所以直线的方程为，，故B正确，D错；不妨令，， 则，，，从而，即，C正确；故选：ABC． 11．已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入，可得，所以，，选项A正确；对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得，由选项A知，，，所以.，解得，当时，，所以，当时，，所以，当时，也适合上式，所以，选项B正确；对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影，，所以，同理可得，所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确；对于选项D，由上可知：，，所以，选项D不正确，故选：ABC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则 . 【答案】 【详解】易知点，设点、，因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则，联立可得，解得，，由抛物线的定义可得，可得，因此，.故答案为：. 13．已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B.设直线MA，MB的斜率分别为 【答案】 【详解】由椭圆的方程得，右焦点为，所以抛物线的焦点为，所以，，所以抛物线方程为，准线方程为.设，设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去得，令其，得，则直线MA，MB的斜率为的两个根，有韦达定理得.故答案为： 14．过原点且相互垂直的两条直线分别交抛物线于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线AB的最大距离为 ． 【答案】 【详解】由得，焦点，依题意可设，，则，， 因为，所以，又，所以，，直线，所以，所以，所以，所以直线过定点，所以抛物线的焦点到直线AB的距离的最大值为焦点与定点之间的距离，所以抛物线的焦点到直线AB的最大距离为.故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$