专题05 抛物线及其标准方程（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

05 抛物线及其标准方程 一、知识归纳： 1．抛物线的概念: 平面上到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）距离 的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 ． 2．抛物线的标准方程: 标准方程 图形             焦点坐标 准线方程 对称轴 轴 轴 轴 轴 3．抛物线的通径: （1）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于，线段叫作抛物线的 . （2）若抛物线的方程为，则通径的长为 . 4．焦半径公式:已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则 . 自检自纠：1.相等,焦点,准线 2．,,,,,, 3.通径, 4． 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．8 B．4 C． D． 4．顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．2 6．已知抛物线的焦点为，是上一点，若点的纵坐标为2，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）. A． B． C．或 D．4或 8．点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（    ） A． B． C． D． 10．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知点到抛物线准线的距离为4，则的值可能为（    ） A．8 B． C．24 D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为 ． 13．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是 . 14．已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C的标准方程 ． B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 4．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是（    ） A．y2＝－ x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 5．抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 6．已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若，，则p＝（    ） A．2 B．4 C．2或 D．2或 7．已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到y轴的距离为d，且，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知，P分别是抛物线上的一个定点和动点，是另一个定点，点P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（ ） A． B． C． D． 10．已知圆锥曲线的一个焦点为，则的方程可以为（　　） A． B． C． D． 11．若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．顶点在坐标原点，准线为的抛物线的标准方程为 ． 13．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A.若，则的长为 . 14．已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05 抛物线及其标准方程 一、知识归纳： 1．抛物线的概念: 平面上到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）距离 的点的轨迹叫做抛物线． 点F叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 ． 2．抛物线的标准方程: 标准方程 图形             焦点坐标 准线方程 对称轴 轴 轴 轴 轴 3．抛物线的通径: （1）过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于，线段叫作抛物线的 . （2）若抛物线的方程为，则通径的长为 . 4．焦半径公式:已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，则 . 自检自纠：1.相等,焦点,准线 2．,,,,,, 3.通径, 4． 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，即，故准线方程为，故选：C 2．抛物线的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则，且焦点在轴正半轴上，故焦点坐标是.故选：B. 3．抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】抛物线方程为，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离是. 故选：A 4．顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知抛物线开口向上，故抛物线的标准方程是：故选：B. 5．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故选：A. 6．已知抛物线的焦点为，是上一点，若点的纵坐标为2，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】设，由题意得：，解得.故选：B． 7．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（    ）. A． B． C．或 D．4或 【答案】C 【详解】抛物线开口向左，依题意，抛物线上的点与点间的距离为3， 所以，抛物线方程为，令，得，解得，故选：C 8．点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点到点的距离比它到直线的距离少1，所以将直线右移1个单位，得到直线，即，可得点到直线的距离等于它到点的距离，根据抛物线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，得，所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.故选：B. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意知，，故A，D正确，B错误，又，化简得，其图象与形状相同，所以C正确．故选：ACD． 10．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】直线与坐标轴的交点为，，故以和为焦点的抛物线标准方程分别为和.故选：BD. 11．已知点到抛物线准线的距离为4，则的值可能为（    ） A．8 B． C．24 D． 【答案】AD 【详解】因抛物线的准线为，则点到直线的距离为：，解得，或.故选：AD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由抛物线的焦点在x轴上，设其方程为，因为通径长为6，所以，所以，所以所求抛物线方程为．故答案为：． 13．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，过点作，垂足为，则，所以的周长为， 当且仅当三点共线时等号成立.故答案为：. 14．已知抛物线C经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C的标准方程 ． 【答案】（或或任写一个即可）. 【详解】设抛物线的标准方程为，由题意知，焦点到准线的距离，所以，可取，则抛物线的标准方程为.故答案为：（或或任写一个即可）. B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】由抛物线，则，即准线，焦点，所以焦点到准线的距离是. 故选：B 2．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以其准线方程是.故选: A 3．已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线准线方程为：，由抛物线定义知：点到的焦点的距离为.故选：D. 4．过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是（    ） A．y2＝－ x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 【答案】A 【详解】设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，因为P(－2,3)在抛物线上，所以或, 解得k＝－或m＝，所以y2＝－x或x2＝y.故选：A 5．抛物线的焦点到准线的距离为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】抛物线化为标准式，则，即，抛物线的焦点到准线的距离为，，即，解得.故选：C. 6．已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若，，则p＝（    ） A．2 B．4 C．2或 D．2或 【答案】D 【详解】依题意，设，则，，解得或， 故选：D 7．已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到y轴的距离为d，且，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】动点到y轴的距离为d，且，动点到定点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是抛物线，并且其焦点为：，准线为：， 所以其抛物线的方程为.故选：B. 8．已知，P分别是抛物线上的一个定点和动点，是另一个定点，点P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】，则，解得，则抛物线方程为，则抛物线C的焦点为，直线l是抛物线的准线，如图，连接BF，PF，所以，则，当且仅当B，P，F三点共线时取等号，所以的最小值为.故选：C． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（ ） A． B． C． D． 【详解】对于A，表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确； 对于B，表示焦点在y轴上的双曲线，故B不正确； 对于C，表示焦点在x轴上的抛物线，故C正确； 对于D，表示焦点在y轴上的抛物线，故D不正确； 故选：AC． 10．已知圆锥曲线的一个焦点为，则的方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，的焦点坐标为，故A错误； 对于B，即，焦点坐标为，故B正确； 对于C，即，表示焦点在轴上的双曲线，且 焦点坐标为，故C正确； 对于D，表示曲线的形状不确定，当时，表示圆心在原点，半径为的圆 故D错误. 故选：BC 11．若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设焦点为F，则，解得或.故选：BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．顶点在坐标原点，准线为的抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由已知可得抛物线的标准方程为：,由，得，所以所求抛物线的方程为． 故答案为：. 13．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A.若，则的长为 . 【答案】 【详解】不妨设点在第二象限，由抛物线定义可得，又，所以是等边三角形．所以，则，则，，则.故答案为： 14．已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程 . 【答案】或或或（写出一个即可） 【详解】设所求焦点在轴上的抛物线的方程为，，由抛物线定义得.又∵或，故所求抛物线方程为或.故答案为：或或或．（写出一个即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$