专题04 双曲线的简单几何性质（知识归纳+分层小练）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

04 双曲线的简单几何性质 一、知识归纳： 1．双曲线的几何性质 标准方程 （，） （，） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 轴长 实轴长＝ ，虚轴长＝ 离心率 渐近线 2．直线与双曲线位置关系:已知直线，双曲线，由可得①， （1）当 时，①仅有一个解，此时直线与双曲线有一个交点； （2）当，若①对应的判别式为，则 当时，①有两个不同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①有两个相同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①无解，此时直线与双曲线 交点； 自检自纠：1.，,，，， 2.,2,1,0 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线，可得，则，且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：D. 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，令，解得，依题有，即，双曲线方程为，从而，从而的焦点坐标为.故选：A. 3．等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】因为该曲线为等轴双曲线，不妨设该双曲线的方程为，因为等轴双曲线经过点，所以，解得，则，所以该双曲线的一个焦点坐标为，易知该双曲线的一条渐近线方程为，则点到直线的距离．故选：A． 4．双曲线和双曲线具有相同的（    ） A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率 【答案】D 【详解】双曲线的焦点坐标为、左右顶点坐标为，渐近线方程为、离心率为； 双曲线的焦点坐标为、上下顶点坐标为，渐近线方程为、离心率为，故其离心率相同.故选：D. 5．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，其焦点坐标为，对于双曲线，可得，其焦点坐标为，故，此时，则其渐近线方程为.故选：D 6．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线，可得，所以，所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误；虚轴长，故C错误；离心率，故D正确.故选：D. 7．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线可知：，且焦点在x轴上，则双曲线的渐近线为，且直线的斜率，若直线与双曲线的一条渐近线平行， 则，解得，即，所以的实轴长为.故选：D. 8．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】椭圆的焦点为，依题意可得，所以，当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为.故选：D 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知双曲线，则的（    ） A．焦点在轴上 B．焦距为3 C．离心率为 D．渐近线为 【答案】AC 【详解】因为双曲线，所以的标准方程为，故焦点在轴上，，故焦距为，离心率为，渐近线为，故A，C正确，B，D错误.故选：AC 10．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 【答案】BC 【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确； 的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误 故选：BC. 11．已知，则双曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线 【答案】CD 【详解】对于选项A、B：设，易知的左、右焦点坐标分别为和，而的标准方程为，故其左、右焦点坐标分别为和，显然和的焦点和焦距均不相同，故A，B错误；对于选项C、D：和的离心率均为，渐近线方程均为，故C，D正确．故选：CD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为 . 【答案】 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：. 13．若双曲线的离心率为3，则 ． 【答案】 【详解】由题意，焦点在轴上，；故答案为： 14．已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上，则该双曲线的方程为 ． 【答案】或 【详解】因为，所以．若焦点在轴上，则设方程为，将点代入得，解得，即双曲线方程为；若焦点在轴上，则设方程为， 将点代入得，解得，即双曲线方程为．故答案为：或 B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，又，∴，，双曲线方程为．故选：C． 2．双曲线C：（a＞0，b＞0），其中，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以.故选：B. 3．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m为（    ） A．1 B． C． D．不确定 【答案】C 【详解】由双曲线的方程知，双曲线的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点也在x轴上，所以， 解得，故.故选：C. 4．已知点到双曲线渐近线的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由双曲线的对称性，不妨取双曲线的渐近线,由已知得,即,,,,故选：A 5．已知双曲线的左焦点为，左顶点为，直线交双曲线于两点（在第一象限），直线与线段交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设右顶点为，连接，由双曲线的对称性可得,由可得，所以，即，所以,所以渐近线方程为．故选：D 6．已知双曲线的左，右顶点分别为，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】设，可得，过P作x轴的垂线，垂足为N，所以,又因为, 所以,又,所以，所以，又， 所以,所以双曲线的离心率为.故选：A． 7．已知双曲线的顶点为椭圆的两个焦点，双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个顶点构成正三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】椭圆的两个焦点为，短轴长为4，则双曲线的实半轴长，因双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个顶点构成正三角形，则此正三角形的高为，于是得双曲线半焦距， 所以双曲线的离心率为.故选：B 8．已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是.若点坐标为，过双曲线左焦点且斜率为的直线与双曲线右支交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设可得双曲线的左、右焦点坐标分别为，则过左焦点的直线为，代入双曲线方程可得，解之得或（舍去），所以点，则轴，又，则，，，所以，所以.故选：C． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知是双曲线的一个焦点，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．到双曲线的一条渐近线的距离为1 C．双曲线与双曲线有相同的渐近线 D．过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有两条 【答案】BD 【详解】由双曲线的方程可得双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以双曲线的离心率，故A错误； 由题意得，双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，由点到直线的距离公式得，到双曲线的渐近线的距离，故B正确； 双曲线的渐近线方程为，故C错误； 点在双曲线的渐近线上，所以过点的直线与双曲线只有一个公共点的直线有两条，一条和渐近线平行，一条与右支相切，故D正确. 故选：BD. 10．已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的虚轴长为2 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】AB 【详解】由题设，而，故，则，所以双曲线方程为，实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为，故A、B对，C、D错.故选：AB 11．已知，是双曲线E：的左、右焦点且，过作倾斜角为的直线与y轴交于点M，与双曲线右支交于点P，且，下列判断正确的是（    ） A． B．E的离心率等于2 C．双曲线渐近线的方程为 D．△PF1F2的内切圆半径是 【答案】ACD 【详解】由于可知是的中点，又是的中点，所以,故，由于，因此，故A正确， 由于，，，故，由双曲线的定义可知，故B错误， 由，因此渐近线方程为，故C正确， 设△PF1F2的内切圆半径为，根据等面积法得，故D正确，故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【详解】因为双曲线为，所以其渐近线方程是，故答案为：. 13．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【详解】由，可得，，解得，因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的渐近线方程为，即.故答案为： 14．在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，若双曲线的右支上存在一点，使得△是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 . 【答案】(或) 【详解】因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，不妨假设在第一象限，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，故答案为：（或）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04 双曲线的简单几何性质 一、知识归纳： 1．双曲线的几何性质 标准方程 （，） （，） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 轴长 实轴长＝ ，虚轴长＝ 离心率 渐近线 2．直线与双曲线位置关系:已知直线，双曲线，由可得①， （1）当 时，①仅有一个解，此时直线与双曲线有一个交点； （2）当，若①对应的判别式为，则 当时，①有两个不同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①有两个相同的实数解，此时直线与双曲线有 个交点； 当时，①无解，此时直线与双曲线 交点； 自检自纠：1.，,，，， 2.,2,1,0 二、分层小练： A.基础训练 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 4．双曲线和双曲线具有相同的（    ） A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率 5．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 6．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知双曲线，则的（    ） A．焦点在轴上 B．焦距为3 C．离心率为 D．渐近线为 10．已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 11．已知，则双曲线与有相同的（    ） A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为 . 13．若双曲线的离心率为3，则 ． 14．已知双曲线的离心率为，且点在双曲线上，则该双曲线的方程为 ． B.提升强化 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．双曲线C：（a＞0，b＞0），其中，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m为（    ） A．1 B． C． D．不确定 4．已知点到双曲线渐近线的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左焦点为，左顶点为，直线交双曲线于两点（在第一象限），直线与线段交于点，若，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的左，右顶点分别为，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 7．已知双曲线的顶点为椭圆的两个焦点，双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个顶点构成正三角形，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 8．已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是.若点坐标为，过双曲线左焦点且斜率为的直线与双曲线右支交于点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知是双曲线的一个焦点，则下列选项正确的有（    ） A．双曲线的离心率为 B．到双曲线的一条渐近线的距离为1 C．双曲线与双曲线有相同的渐近线 D．过点的直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有两条 10．已知双曲线：的焦点在轴上，且实轴长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的实轴长为6 B．双曲线的虚轴长为2 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 11．已知，是双曲线E：的左、右焦点且，过作倾斜角为的直线与y轴交于点M，与双曲线右支交于点P，且，下列判断正确的是（    ） A． B．E的离心率等于2 C．双曲线渐近线的方程为 D．△PF1F2的内切圆半径是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．双曲线的渐近线方程是 . 13．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，则双曲线的渐近线方程为 . 14．在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，若双曲线的右支上存在一点，使得△是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$