精品解析：江苏省徐州市科技中学2024-2025学年上学期八年级数学——期中考试过关卷

2024-2025学年度徐州市科技中学八年级数学—期中考试过关卷1 一、单选题 1. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 2. 脸谱是中国传统文化之一，下列脸谱图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 4. 等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 以上结论都不对 5. 在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 3，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，10 6. 如图，是用直尺和圆规作等于已知的示意图，则图中两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A. 10 B. C. D. 5 8. 如图，在中，垂直平分，垂直平分，与分别交于点，，相交于点，连接，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 如图，与相交于点，，要使与全等，还需要添加一个条件，你认为添加的条件可以是______．（只添加一个条件即可） 10. 如图是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色，请你从其余的13个白色小方格中选出一个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为______． 11. 如图，四边形≌四边形，则的大小是_______． 12. 一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是______尺． 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是_______． 14. 如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________． 15. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等． 16. 如图，在中，的面积为12，，平分，，分别为，上的动点，则的最小值是 __． 三、解答题 17. 已知：，，，求证：． 18. 我市某中学有一块四边形的空地（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 19. 如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 20. 如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若的周长为cm，cm，求的周长． 21. 如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使． 22. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 23. 【探究思考】（1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图1，是等边三角形，是的外角的平分线，点D为射线上一点，且，与相交于点E．我们可以过点D作的平行线，交于点G，构造得到________（填两个全等三角形），来证明．请根据以上提示在图1中作出相应的图形． 【问题解决】（2）如图2，在中，，在边上取一点D，以D为顶点，为一条边在的右侧作，点F在延长线上，． 求证：①； ②如图3，当点D在的延长线上时，是否依然成立？请说明理由 24. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中， ，； 中， ，）， 并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时， 过点作， 垂足为点 ， 过点作， 垂足为点， 易证， 若， ， 则 ； 【类比】（2）如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段上，且顶点 在线段上时，过点作， 垂足为点 ， 猜想线段， ， 的之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段上且顶点 在线段 上时，若，，连接， 则的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度徐州市科技中学八年级数学—期中考试过关卷1 一、单选题 1. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 2. 脸谱是中国传统文化之一，下列脸谱图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：，， ， ，， ， 故选：A． 4. 等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 以上结论都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，根据题意，分类讨论：当腰长为时，根据三角形三边关系可知不能构成等腰三角形，不符合题意；当腰长为时，能构成等腰三角形，符合题意；由此即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两边分别长和， 当腰长为时， ∵， ∴不能构成等腰三角形，不符合题意，舍去； 当腰长为时，即边长为， ∴周长为， 故选：B ． 5. 在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（ ） A. 3，4，5 B. 3，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可．本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长为、、，满足，则该三角形是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴3，4，5能作为直角三角形的三边长； B、∵，∴3，3，5不可以作为直角三角形的三边； C、∵，∴5，12，13可以作为直角三角形的三边； D、∵，∴6，8，10能作为直角三角形的三边长； 故选：B． 6. 如图，是用直尺和圆规作等于已知的示意图，则图中两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定，连接，，由作法可得：，，，再利用即可证明，即可得解． 【详解】解：如图：连接，， 由作法可得：，，， 在和中， ， ∴， 故选：A． 7. 如图，中，，于点D，，，则的长为（　　） A. 10 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等面积法的应用，熟练的证明是解本题的关键．利用勾股定理先求解，再利用可得答案． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∵于点， ∵， ∴， 故选B． 8. 如图，在中，垂直平分，垂直平分，与分别交于点，，相交于点，连接，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，根据垂直平分线的性质及三角形内角和定理求出的度数是解题的关键． 先求出，可得，再进一步求解的度数即可． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ∴，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：A 第II卷（非选择题） 二、填空题 9. 如图，与相交于点，，要使与全等，还需要添加一个条件，你认为添加的条件可以是______．（只添加一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件求解即可． 【详解】解：∵，， ∴只需要添加：，即可根据证明， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图是的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色，请你从其余的13个白色小方格中选出一个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为______． 【答案】③或④或⑦或⑬ 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图案的设计，掌握轴对称的定义是解题的关键．若两个图形关于某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，根据定义逐一分析可得答案． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，可以选③或④或⑦或⑬． 故答案为：③或④或⑦或⑬． 11. 如图，四边形≌四边形，则的大小是_______． 【答案】##95度 【解析】 【分析】此题主要考查了全等图形，四边形内角和定理．利用全等图形的定义可得，然后再利用四边形内角和为可得答案． 【详解】解：四边形四边形， ， ， 故答案为：． 12. 一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是______尺． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解. 【详解】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理得, 解得， 故折断处离地面的高度是尺. 故答案为： 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，，则的长是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 14. 如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案． 详解：过C作CF⊥AO． ∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF． ∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3． 故答案为3． 点睛：本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 15. 如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为_______，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 16. 如图，在中，的面积为12，，平分，，分别为，上的动点，则的最小值是 __． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，垂线段最短，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再利用三角形的面积求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值， ∵平分， ∴， ∴是点C到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵的面积为12，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：4． 三、解答题 17. 已知：，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，由线段和差可以得出，通过平行线的性质求出，最后通过根据证明，最后由全等三角形的性质即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 18. 我市某中学有一块四边形的空地（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，将四边形化为三角形后，正确用勾股定理及其逆定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理，再用勾股定理的逆定理得出，再根据进行求解即可； （2）利用（1）中所求计算出所需费用即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ 【小问2详解】 解：元， ∴总共需投入元． 19. 如图，于点，于点，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用， （1）由题所给条件可得，即得； （2）证明，结合（1）可得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若的周长为cm，cm，求的周长． 【答案】（1） （2）cm 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可． （1）根据题意可得，；结合得，推出，即可求解； （2）由题意得，推出cm；根据可得的周长，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）∵是的垂直平分线，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为cm，cm， ∴， ∴cm， ∵， ∴的周长（cm）． 21. 如图所示是每一个小方格都是边长为1的正方形网格． （1）在上找一点P，使点P到和的距离相等； （2）在射线上找一点Q，使． 【答案】（1） 如图 （2） 如图 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，作角平分线，作线段垂直平分线，利用网格的特点结合问题灵活处理是解题的关键． （1）找到格点G，使，连接，它与的交点P满足条件； （2）作出的垂直平分线，与射线相交，交点Q即满足条件． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 22. 在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度； （2）在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】（1）9.5m （2）能成功． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1所示，过点作于点， 则，，， 在中， ， ． 【小问2详解】 解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接， 则， ． 在中， ． ，余线仅剩9m， ∴， ∴能上升12m，即能成功． 23. 【探究思考】（1）通过添加辅助线构造“全等三角形”证明线段相等或角相等，是我们常用的方法．已知，如图1，是等边三角形，是的外角的平分线，点D为射线上一点，且，与相交于点E．我们可以过点D作的平行线，交于点G，构造得到________（填两个全等三角形），来证明．请根据以上提示在图1中作出相应的图形． 【问题解决】（2）如图2，在中，，在边上取一点D，以D为顶点，为一条边在的右侧作，点F在延长线上，． 求证：①； ②如图3，当点D在的延长线上时，是否依然成立？请说明理由 【答案】 （1） （2）①如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ， ． ②依然成立，如图所示，过点D作的平行线，交于点， ， ， ， ， ∴ ， ， ， 又 ， ， ， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解决问题的关键． （1）按照要求作图，根据等边三角形的性质，并用证明即可． （2）①过点D作的平行线，交于点，同（1）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证即可得出结论． ②过点D作的平行线，交于点，同（2）问，根据等腰三角形的性质，平行线的性质得出与中，有，用证即可得出结论． 【详解】（1）如图所示，过点D作的平行线，交于点G， ，证明即可． 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 是的外角的平分线， 又， ，， ， 在与中， ， ， ． （2）略 24. 【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中， ，； 中， ，）， 并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时， 过点作， 垂足为点 ， 过点作， 垂足为点， 易证， 若， ， 则 ； 【类比】（2）如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段上，且顶点 在线段上时，过点作， 垂足为点 ， 猜想线段， ， 的之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点 在线段上且顶点 在线段 上时，若，，连接， 则的面积为 ． 【答案】（）； （）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （）； 【解析】 【分析】（）由得，进而得出结果； （）由“”可证，从而得出，，进一步得出结论； （）同（）得，利用面积公式进而求得的面积； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （）略 （）如图，过点作，交延长线于点于， 同（）得：， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $