精品解析：2024-2025学年人教版九年级上册数学期中模拟卷（测试范围：九年级上册第21章-第24章）01

人教版九年级（上）数学期中模拟卷 （测试范围：九年级上册第21章-第24章） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点 A 逆时针旋转得到，延长交 于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 6. 如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 平面直角坐标系中，与关于原点对称，已知点的坐标为，则其对应点的坐标为____________． 8. 若函数是关于x的二次函数，则a的值为______． 9. 如图，中，直径交弦点E，，连接．若，则________度． 10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___． 11. 如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的长为__________． 12. 如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为_______． 13. 已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为___________（填“相交”、“相切”或“相离”）． 14. 抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为_______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 16. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 17. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．求证：； 18. 已知抛物线的图象经过点和点． （1）求此二次函数解析式； （2）当时，求函数值y的取值范围． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，作如下操作： （1）画出关于原点对称的图形，点的坐标为______． （2）以点A为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到，在图中画出，点坐标为______． 20. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 21. 如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点在抛物线上，点在轴上，交轴于点，且矩形的面积为32． （1）此抛物线的解析式． （2）点是轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 22. 已知，上有点A，B，连接，，，，C为的中点，连接． （1）如图①，求的大小和的长； （2）如图②，延长至点D，使得，过点D作的切线交的延长线于点E，切点为F，连接，求的长． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E． （1）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； （2）在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求长； （3）若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 六、解答题 （每小题10分，共20分） 25. 如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． （1）______cm，______cm（用含x的式子表示）； （2）若时，求x的值； （3）当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形． 26. 下图是二次函数的图象，其顶点坐标为． 求出图象与轴的交点，的坐标； 在二次函数的图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级（上）数学期中模拟卷 （测试范围：九年级上册第21章-第24章） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此及可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B 3. 如图，将绕点 A 逆时针旋转得到，延长交 于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，四边形内角和，涉及到互补的关系，能熟练运用旋转的性质是解题关键． 利用旋转的性质解题即可． 【详解】解：根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象平移的规律． 由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点坐标为， 平移后解析式， 故选：C． 5. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 根据题意可得，然后可得，然后将变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选A． 6. 如图，正五边形的边长为5，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正五边形的内角和定理求出正五边形的一个内角的度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 平面直角坐标系中，与关于原点对称，已知点的坐标为，则其对应点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，理解并掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．根据“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：∵与关于原点对称，点的坐标为， ∴对应点的坐标为． 答案：． 8. 若函数是关于x的二次函数，则a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故答案为；1． 9. 如图，中，直径交弦点E，，连接．若，则________度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，连接，由直径所对的圆周角是直角可求出，由可得出，最后根据三角形定理可求出结论． 详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴ ∵　 ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：70． 10. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等是实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ，， 解得：且， 故答案为：且． 11. 如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用．根据旋转后的中点恰好与点重合，利用旋转的性质得到直角三角形中，，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到为，进而得到，利用等角对等边得到，设，表示出与，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长即可． 【详解】解：旋转后的中点恰好与点重合，即， 在中， ∴，即， ， ， ， ， 在中，设，则有 ，， 根据勾股定理得：， 解得：， ， 故答案为：． 12. 如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接， 设的半径为，则， ，为的直径，， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， 则的半径为5， 故答案为：5． 13. 已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为___________（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【解析】 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，求出半径为6cm，再根据圆心到直线的距离可得答案． 【详解】根据题意可知半径，圆心到直线的距离， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相切． 故答案为：相切． 14. 抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数图像之间的关系解不等式，对于可转化为，不等式的解集从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围，根据图像即可得到答案． 【详解】解：可将转化为， 又抛物线与直线相交于如图所示的，两点， 的解集，从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围， 由抛物线与直线相交于的横坐标为，的横坐标为可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用函数图像求不等式的解集，理解的解集，从图像上来看，就是抛物线图像在直线下方部分所对应的自变量的范围是解决问题的关键． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴． 16. 如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数． 【答案】25度 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】证明：是由旋转得到 ，， ， 17. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接．求证：； 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角、弦长相等，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形内接于，可得，由，可得，证明，即可得证．解题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【详解】证明：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 18. 已知抛物线的图象经过点和点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）把点和点分别代入，求出b、c的值即可求解； （2）根据二次函数的性质，先求出该函数的最小值，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 【小问1详解】 解：把点和点分别代入，得 ，解得：， ∴二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵， 又， ∴抛物线的开口上，当时，y有最大值为， 又∵当时，， 当时，， ∴当时，函数值y的取值范围为． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，作如下操作： （1）画出关于原点对称的图形，点的坐标为______． （2）以点A为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到，在图中画出，点的坐标为______． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析； 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换、关于原点对称的点的坐标． （1）根据点关于原点对称的点的坐标为：，同理可得：，，依次连接，即可求解； （2）将绕点A顺时针旋转得到，同理可得：，连接，即可求解； 熟练掌握轴对称图形的性质及旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：点关于原点对称的点的坐标为：， 同理可得：，，依次连接， 如图所示，即为所求： 故答案为：． 小问2详解】 将绕点A顺时针旋转得到， 同理可得：，连接， 如图所示，即为所求： 点的坐标为：， 故答案为：． 20. 百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】每件童装应降价元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，由题意，得： ， 解得：或， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：每件童装应降价元． 21. 如图，已知抛物线的顶点为，矩形的顶点在抛物线上，点在轴上，交轴于点，且矩形的面积为32． （1）此抛物线的解析式． （2）点是轴上一点，若为等腰三角形，请直接写出点坐标． 【答案】（1） （2）符合条件的点的坐标是：或或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，矩形的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点． （1）由抛物线的顶点为得到抛物线的对称轴为轴，则可判断点为抛物线上的对称点，再根据矩形的面积得到，则可得到点的坐标为，然后设顶点式，再把代入求出的值即可； （2）设，则，，再分别根据①当时，②当时，③当时，三种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 抛物线的对称轴为轴，设抛物线解析式为， 四边形为矩形， 点为抛物线上的对称点，， ∵， ∴， 矩形其面积为32， ， ， ∴，， 把代入得，解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∵，， ，，， ①当时，点在线段的垂直平分线上，此时点与点重合，其坐标是； ②当时，可得， 解得， 此时点的坐标是或； ③当时，， 解得， 此时点的坐标是或， 综上所述，符合条件的点的坐标是：或或或或 22. 已知，上有点A，B，连接，，，，C为的中点，连接． （1）如图①，求的大小和的长； （2）如图②，延长至点D，使得，过点D作的切线交的延长线于点E，切点为F，连接，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理和圆的切线的性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题的关键． （1）利用垂径定理和含角的直角三角形的性质解答即可； （2）连结，根据切线的定义及，求出度数，再根据圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质求得线段，，再利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 上有点A，B，连接，，C为的中点， ，， ， ， ， ， 在中， ． 【小问2详解】 连结，如图， 为的切线， ． ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， 在中 ． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E． （1）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； （2）在中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设该圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列式即可得到答案； （2）连接，由垂径定理得到D为中点，E为中点．则为的中位线．得到．再求出的长，即可得到的长，结论得证； 【小问1详解】 解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得． 解得， 即该圆锥的底面半径为1． 【小问2详解】 存在，的长为定值．如图，连接． ∵，， ∴D为中点，E为中点． ∴为的中位线． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、垂径定理、三角形中位线定理的等知识，数形结合是解题的关键． 24. 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的长； （3）若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 【答案】（1），见详解 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； （3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：与的位置关系为． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴, ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． 【小问2详解】 解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． 小问3详解】 解：①经过点B时，题（2）已求； ②经过点A时，如图所示， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； ③再次经过点B时，如下图： 同理可证：，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 六、解答题 （每小题10分，共20分） 25. 如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，当点P运动到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． （1）______cm，______cm（用含x的式子表示）； （2）若时，求x的值； （3）当x为何值时，将成为以为斜边的直角三角形． 【答案】（1）， （2）或 （3）当为或时，是以为斜边的直角三角形 【解析】 【分析】（1）直接根据P、Q点运动方向和运动速度表示出答案； （2）在中，根据勾股定理即可求出答案； （3）表示出、和，由勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 由题可得：，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 在中，，即， 解得：或； 【小问3详解】 ，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 解得：或， ∴当为或时，是以为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出三角形各边的长度是解题的关键． 26. 下图是二次函数的图象，其顶点坐标为． 求出图象与轴的交点，的坐标； 在二次函数的图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围． 【答案】(1)，两点的坐标分别为，；(2)点坐标为或；(3). 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y＝0求得图象与x轴的交点坐标； （2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标； （3）画出翻转后新的函数图象，由直线y＝x＋b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围． 【详解】因为是二次函数的顶点坐标， 所以， 令， 解之得，． ∴，两点的坐标分别为，； 在二次函数的图象上存在点，使， 设， 则， 又∵， ∴． ∵二次函数的最小值为， ∴． 当时，或． 故点坐标为或； 如图， 当直线经过时，可得，又因为， 故可知在的下方， 当直线经过点时，，则， 由图可知符合题意的的取值范围为时，直线与此图象有两个公共点． 【点睛】本题考查了由函数图象确定坐标，以及给出面积关系求点的坐标和直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$