实数专题特训-2025年中考数学一轮复习

实数专题特训-2025年中考数学一轮复习 一、单选题 1．下列是关于无理数的叙述，不准确的选项是（   ） A．不带根号的数一定是有理数 B．一个无理数的平方可能是无理数 C．开方开不尽的数是无理数 D．无理数是除整数部分外小数部分是无限不循环小数的实数 2．在，0，，，（每两个2之间依次多一个0）这七个数中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．“3的算术平方根”可用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 4．已知一个正数的两个平方根分别是和．则这个正数为（   ） A．4 B．36 C． D． 5．若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 6．已知m，n为两个连续的整数，且，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（   ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9． ； ． 10．在，，，，中，无理数有 个． 11．如果的整数部分是a，小数部分是b，那么的值是 ． 12．如图，正方形的面积（阴影部分）为 ，正方形的边长约为 （结果精确到个位）． 13．若为实数，且满足，则的值是 ． 14．如图所示，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1，的对应点分别为点A，B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x，则的算术平方根为 ． 15．小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 16．对于实数，，定义运算“”：；，关于的方程恰好有两个不相等的实数根，则的值是 ． 三、解答题 17．把下列各数分别填在相应的集合中： ，1.2378…，，0，，3.14． 18．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，永葆常新，数学家称之为一种特殊的数．设面积为的圆的半径为a． (1)a是有理数吗？说说你的理由； (2)估计a的值（结果精确到0.1），并利用计算器验证你估计的结果； (3)如果结果精确到0.01呢？ 19．如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 20．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分，求的平方根． 21．对于实数a，b，定义运算“◆”：例如，．若x，y满足方程组求的值． 22．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道，，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示．”张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： (1)的小数部分是的整数部分是b，求的值； (2)已知，其中x是一个整数，，求的值． 23．我们规定：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如： (1)已知，求x的值． (2)已知关于x的方程的一个根为2，求方程的另一个根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B C C D B 1．A 【分析】此题主要考查了二次根式的运算和无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像这样有特殊结构的数和无限不循环小数． 根据无理数和有理数的概念判定选项即可． 【详解】解：不带根号的数不一定是有理数，如是无理数，故A符合题意； 一个无理数的平方可能是无理数，例如是无理数，也是无理数，B不符合题意； 开方开不尽的数是无理数，故C不符合题意； 无理数是除整数部分外小数部分是无限不循环小数的实数，故D不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：， 在，0，，，（每两个2之间依次多一个0）这七个数中，无理数有，，（每两个2之间依次多一个0），共3个， 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查算术平方根，根据算术平方根的定义以及表示解答此题即可． 【详解】解：“3的算术平方根”可用数学式子表示为， 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，则，再根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数为， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【详解】解：， ，， 解得，， 故， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了无理数的估算和代数式求值问题，熟练掌握和运用无理数估算的方法是解决本题的关键． 根据无理数的估算，即可求得，据此即可解答． 【详解】解：∵，而， ， 又∵是两个连续整数，且满足， ， ， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查同类二次根式定义，以及求一个数的平方根，根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，列出方程求出，，再根据平方根概念求解，即可解题． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， a的平方根是， 故选：D． 8．B 【分析】根据合并同类项的计算法则可判断A；根据同底数幂乘除法计算法则可判断B、C；根据完全平方公式和实数的运算法则可判断D． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，完全平方公式，实数的运算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 9． 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，根据进行求解即可． 【详解】解：，， 故答案为：；． 10． 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：在，，，，中， ，，是有理数，，是无理数，共个， 故答案为：． 11． 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，分母有理化，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．先对估算出大小，从而求出其整数部分a和小数部分是b，再进一步表示出分母有理化即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴； ∴． 故答案为：． 12． 41 6 【分析】先利用勾股定理得到正方形的边长的平方为，再利用正方形面积计算公式得到边长为，再估算出，据此可得答案． 【详解】解；由勾股定理得正方形的边长的平方为， ∴正方形的面积为41，边长为， ∵， ∴， ∴正方形的边长约为6（精确到个位）， 故答案为：41；6． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，求一个数的算术平方根，求一个数的近似数，无理数的估算，利用勾股定理求出正方形的边长的平方是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，根据非负数的性质求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 14．1 【分析】根据点B到点A的距离为可得点C表示的数为，代入计算，即可求解． 本题考查了数轴与实数的对应关系，数轴上两点之间距离的计算，算术平方根的计算，正确地理解题意是解题的关键． 【详解】解：设点C所表示的数为x， 根据题意得， ， 的算术平方根为1， 故答案为：1 15．73 【分析】此题考查了数字类规律，找出一系列等式的规律为的正整数），令求出与的值，即可求得的值． 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 16．0或 【分析】本题考查定义新运算，二次函数的图象和性质，令，分和两种情况讨论，得到，将程恰好有两个不相等的实数根，转化为与直线恰有两个交点，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ； 当，即时， ， ， ， 令， 则：， 画出函数图象如图： ∵关于的方程恰好有两个不相等的实数根， ∴与直线有两个交点 由图象可知，当时，满足题意， 当的顶点坐标在直线上时，满足题意， ∵， ∴顶点坐标为， ∴当时，满足题意， 综上：当或时，关于的方程恰好有两个不相等的实数根， 故答案为：0或． 17．见解析 【分析】本题考查实数的分类，根据整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数求解即可． 【详解】解：将所给各数分别填在相应的集合中，如图： 18．(1)a不是有理数．理由见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解． 本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． 【详解】（1）解：a不是有理数．理由如下： ． ∵没有任何一个有理数的平方等于5， 不是有理数； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴ ． 19． 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 20． 【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得与，进而可得的值，接着估计的大小，可得的值；进而可得，根据平方根的求法可得答案． 【详解】解：根据题意，可得，， ∴， 又∵，是的整数部分， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为． 【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的定义及无理数的估算能力，二次根式的化简，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21． 【分析】本题考查实数的新定义运算，解二元一次方程组．先解二元一次方程组得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：解方程组得 ， ． 22．(1)4 (2)28 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得的值的大小是解题的关键． （1）估算出和的范围，然后可求得、的值，然后再求代数式的值即可； （2）先求得的值，然后再表示出的值，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ． （2）解：， ． 是一个整数，， ， ， ∴原式． 23．(1)， (2) 【分析】本题考查新定义运算，一元二次方程的解，解一元二次方程． （1）根据定义化简，再解方程即可； （2）先根据定义化简，再将代入，求出m的值，还原方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 整理得：， 解得：，； （2）解：∵， ∴， ∵的一个根为， 将代入，得， 解得：， 则，即， 解得：，； ∴方程的另一个根为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$