第21-23章阶段检测卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21-23章阶段检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•香洲区期中）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•海珠区校级月考）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．3x2+4x﹣2＝0 B．3x﹣4＝0 C． D．x2﹣2xy﹣4＝0 3．（2024秋•澧县月考）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0用配方法解该方程，配方后的方程为（　　） A．（x﹣1）2＝m+1 B．（x+1）2＝m﹣1 C．（x+1）2＝1﹣m D．（1﹣x）2＝m﹣1 4．（2024秋•裕华区校级月考）如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 5．（2024秋•锡山区校级月考）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 6．（2024•东莞市校级一模）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2024秋•晋源区月考）如图，将线段AB绕它的中点O逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段A′B′，A，B的对应点分别是点A′，B′，依次连接AA′，A′B，BB′，B′A．则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠AA′B＝90° B．对于任意α，四边形AA′BB′都是矩形 C．AB＝2BB′ D．当α＝90°时，四边形AA′BB′是正方形 8．（2024秋•西山区校级月考）关于函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．函数的最小值为0 B．图象与y的交点为（0，1） C．图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1 D．图象与x轴没有交点 9．（2024•宁河区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2024秋•嘉祥县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③5a+2b﹣3c＜0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．⑤4a+2b＞am2+bm其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共8小题） 11．（2024秋•玄武区校级月考）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色，请你从其余的13个白色小方格中选出一个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为 　 　． 12．（2024•游仙区模拟）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是　 　． 13．（2024•雨花区校级二模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2024﹣a+b的值是 　 　． 14．（2024•绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 　 　， 15．（2024秋•德州月考）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*（2x+1）＝﹣1，则它的根为 　 　． 16．（2024秋•金乡县月考）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 　 　． 17．（2024秋•道里区校级月考）如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．按图中方式建立平面直角坐标系，则水面上升2米后水面宽度为　 　米． 18．（2024秋•姑苏区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x的增大而减小； ③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； ④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0． 其中正确的是 　 　． 三．解答题（共8小题） 19．（2024春•凉州区期末）解方程： （1）（x+2）2﹣25＝0； （2）x2﹣4x﹣3＝0． 20．（2024秋•澧县月考）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0． （1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系； （2）若，x1和x2是原方程的两个实数根，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值． 21．（2024秋•东台市月考）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元． （1）每天的销售量为 　 　瓶，每瓶洗手液的利润是 　 　元．（用含x的代数式表示）； （2）若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？ 22．（2024秋•西湖区校级月考）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）以点C为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A′B′C； （2）在（1）的基础上，求线段AB和线段A′B′夹角的度数． 23．（2024•北京）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E． （1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； （2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明． 24．（2024秋•新城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B′． （1）当k＝2时，求A，B两点的坐标； （2）试探究直线AB′是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 25．（2024秋•姑苏区校级月考）如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B． （1）连结BC，求直线BC的解析式； （2）点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标及△BCP面积的最大值． 26．（2024秋•海珠区校级月考）某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万/件）之间的函数图象是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用） （1）求出y与x以及z与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润． 第21-23章阶段检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•香洲区期中）下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．（2024秋•海珠区校级月考）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．3x2+4x﹣2＝0 B．3x﹣4＝0 C． D．x2﹣2xy﹣4＝0 【解答】解：A．方程3x2+4x﹣2＝0是一元二次方程，选项A符合题意； B．∵方程3x﹣4＝0的未知数的最高次数是1， ∴方程3x﹣4＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．∵方程5x2﹣﹣1＝0不是整式方程， ∴方程5x2﹣﹣1＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意； D．∵方程x2﹣2xy﹣4＝0含有两个未知数， ∴方程x2﹣2xy﹣4＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：A． 3．（2024秋•澧县月考）一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0用配方法解该方程，配方后的方程为（　　） A．（x﹣1）2＝m+1 B．（x+1）2＝m﹣1 C．（x+1）2＝1﹣m D．（1﹣x）2＝m﹣1 【解答】解：∵x2﹣2x﹣m＝0， ∴x2﹣2x＝m， ∴x2﹣2x+1＝m+1， ∴（x﹣1）2＝m+1． 故选：A． 4．（2024秋•裕华区校级月考）如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为（　　） A．6m或7m B．3m或3.5m C．3.5m D．6m 【解答】解：设BC＝x m，则AB＝ m， 根据题意得：x•＝21， 整理得：x2﹣13x+42＝0， 解得：x1＝6，x2＝7， 又∵墙长6.5m， ∴x＝6， ∴BC长为6m． 故选：D． 5．（2024秋•锡山区校级月考）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28． 故选：D． 6．（2024•东莞市校级一模）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：令x2+4x+4＝0， ∵Δ＝42﹣4×1×4＝0， ∴抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数是1． 故选：B． 7．（2024秋•晋源区月考）如图，将线段AB绕它的中点O逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段A′B′，A，B的对应点分别是点A′，B′，依次连接AA′，A′B，BB′，B′A．则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠AA′B＝90° B．对于任意α，四边形AA′BB′都是矩形 C．AB＝2BB′ D．当α＝90°时，四边形AA′BB′是正方形 【解答】解：由旋转的性质得OA＝OB＝OA′＝OB′， ∴四边形AA′BB′是矩形， ∴∠AA′B＝90°， ∵不清楚旋转角度，故不能证明AB＝2BB′， ∵∠AOA′＝α＝90°时，AB⊥A′B′， ∴四边形AA′BB′是正方形， 故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 8．（2024秋•西山区校级月考）关于函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．函数的最小值为0 B．图象与y的交点为（0，1） C．图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1 D．图象与x轴没有交点 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴该函数开口向上，有最小值，最小值为0，故选项A正确，不符合题意； 当x＝0时，y＝1，即图象与y的交点为（0，1），故选项B正确，不符合题意； 该图象是轴对称图形，对称轴为直线x＝1，故选项C正确，不符合题意； 图象与x轴交于（1，0），故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 9．（2024•宁河区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意． 故选：B． 10．（2024秋•嘉祥县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③5a+2b﹣3c＜0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．⑤4a+2b＞am2+bm其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵抛物线的图象开口向下， ∴a＜0， 又∵对称轴为直线x＝2， ∴． ∴b＝﹣4a＞0，且4a+b＝0，故②正确； ∵抛物线与y轴交于坐标轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误； 又∵当x＝﹣1时，函数值为0， ∴a﹣b+c＝0，即a+c＝b， ∵4a+b＝0，b＞0， ∴5a+2b﹣3c＝5a﹣8a﹣3c＝﹣3a﹣3c＝﹣3（a+c）＝﹣3b＜0，故③正确； 又结合图象， ∴当x＞﹣1时，随自变量的增加，函数值有增有减，故④错误； ∵当x＝2时，y取得最大值为4a+2b+c， ∴对任意的实数m，都有4a+2b+c≥am2+bm+c， ∴4a+2b≥am2+bm，故⑤错误； 综上，正确的有②③． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．（2024秋•玄武区校级月考）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色，请你从其余的13个白色小方格中选出一个也涂灰，使整个灰色部分的图形成为轴对称图形，可选择的小方格序号为 　③或④或⑦或⑬　． 【解答】解：可以选③或④或⑦或⑬． 故答案为：③或④或⑦或⑬． 12．（2024•游仙区模拟）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是　（，3）　． 【解答】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C， ∵∠AOB＝∠B＝30°， ∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°， ∴AD＝1，BD＝， ∴OD＝OA+AD＝3， ∴B（3，）， ∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'， ∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3， ∴B′坐标为：（，3）． 故答案为：（，3）． 13．（2024•雨花区校级二模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1，则2024﹣a+b的值是 　2025　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是x＝﹣1， ∴a×（﹣1）2+b×（﹣1）+1＝0，即a﹣b＝﹣1， ∴2024﹣a+b＝2024﹣（a﹣b）＝2024﹣（﹣1）＝2025， ∴2024﹣a+b的值是2025． 故答案为：2025． 14．（2024•绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元．因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价．已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ 　10%　， 【解答】解：根据题意得500（1+20%）（1﹣r）2＝486， 解得r1＝0.1，r2＝1.9（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为10%．即r＝10%． 故答案为：10%． 15．（2024秋•德州月考）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*（2x+1）＝﹣1，则它的根为 　x1＝﹣，x2＝﹣1　． 【解答】解：∵x*（2x+1）＝﹣1， ∴（x+2x+1）（x﹣2x﹣1）﹣1＝﹣1， 整理得，（3x+1）（﹣x﹣1）＝0， ∴3x+1＝0或﹣x﹣1＝0， 解得，， 故答案为：． 16．（2024秋•金乡县月考）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为 　　． 【解答】解：∵该抛物线的顶点为（﹣3，2）， ∴设此抛物线解析式为y＝a（x+3）2+2， ∵抛物线y＝a（x+3）2+2的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∴此抛物线解析式为， 故答案为：． 17．（2024秋•道里区校级月考）如图，是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．按图中方式建立平面直角坐标系，则水面上升2米后水面宽度为　2　米． 【解答】解：设抛物线为y＝ax2， 将点（3，﹣3）代入二次函数表达式得：则﹣3＝a×32， 解得：， 故抛物线为， 当y＝﹣1时，， 解得：x＝±， ∴当水面上升2米后水面宽度为， 故答案为：． 18．（2024秋•姑苏区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论： ①ac＜0； ②当x＞1时，y的值随x的增大而减小； ③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根； ④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0． 其中正确的是 　①③　． 【解答】解：①由图表中数据可得出：y随x的增大先增大后减小， ∴二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0， 又∵x＝0时，y＝3， ∴c＝3＞0，所以ac＜0，故①正确； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝＝1.5， ∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误； ③∵x＝3时，y＝3， ∴9a+3b+c＝3， ∵c＝3， ∴9a+3b+3＝3， ∴9a+3b＝0， ∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确； ④∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1， ∴当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＞0是错误的，故④错误． 故答案为：①③． 三．解答题（共8小题） 19．（2024春•凉州区期末）解方程： （1）（x+2）2﹣25＝0； （2）x2﹣4x﹣3＝0． 【解答】解：（1）原方程整理得（x+2）2＝25， 直接开平方得：x+2＝±5， 解得：x1＝3，x2＝﹣7； （2）原方程整理得x2﹣4x＝3， 配方得：x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝7， 直接开平方得：x﹣2＝±， 解得：x1＝2+，x2＝2﹣． 20．（2024秋•澧县月考）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0． （1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系； （2）若，x1和x2是原方程的两个实数根，且2x1﹣x2＝2，求a，b的值． 【解答】解：（1）已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2＝0，a＞0，b＞0有实数根， ∴Δ＝（2a）2﹣4b2≥0， 即（a+b）（a﹣b）≥0， ∴a+b＞0，a﹣b≥0， ∴a≥b； （2）∵， ∴设a＝2k，， ∴x2+4kx+3k2＝0， ∴（x+k）（x+3k）＝0， 解得x＝﹣k或x＝﹣3k， 又∵2x1﹣x2＝2， ∴当x1＝﹣k，x2＝﹣3k时，2×（﹣k）﹣（﹣3k）＝2， 解得k＝2， 当x1＝﹣3k，x2＝﹣k时， 2×（﹣3k）﹣（﹣k）＝2， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 21．（2024秋•东台市月考）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元． （1）每天的销售量为 　（60﹣5x）　瓶，每瓶洗手液的利润是 　（4+x）　元．（用含x的代数式表示）； （2）若这款洗手液的日销售利润达到315元，则销售单价应上涨多少元？ 【解答】解：（1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，则每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶洗手液的利润为（4+x）元， 故答案为：（60﹣5x），（4+x）； （2）依题意得：（60﹣5x）（4+x）＝315， 解得：x1＝3，x2＝5． 答：销售单价应上涨3元或5元． 22．（2024秋•西湖区校级月考）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）以点C为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A′B′C； （2）在（1）的基础上，求线段AB和线段A′B′夹角的度数． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C即为所求； （2）∵△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴∠ACA′＝90°，∠A′＝∠A， ∴∠A′+∠A′DC＝90°， ∵∠A′DC＝∠ADE， ∴∠A+∠ADE＝90°， ∴∠AED＝90°， ∴AB⊥A′B′， ∴线段AB和线段A′B′夹角的度数为90°． 23．（2024•北京）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E． （1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； （2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：连接CD， 由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°， ∴， ∴∠BDC＝∠A， ∴CA＝CD， ∵DE⊥AN， ∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴CD＝CE， ∴CA＝CE， ∴点C是AE的中点； （2）解：EF＝2AC， 在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG， ∵BH＝BA， ∴∠BAH＝∠BHA＝α， ∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠HBD， ∵BC＝BD， ∴△ABC≌△HBD（SAS）， ∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α， ∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α， ∵DF∥AN， ∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°， ∵G是EF的中点， ∴GF＝GD，EF＝2GD， ∴∠GFD＝∠GDF＝α， ∴∠HGD＝2α， ∴∠HGD＝∠FHD， ∴DG＝DH， ∵AC＝DH， ∴DG＝AC， ∴EF＝2AC． 24．（2024秋•新城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B′． （1）当k＝2时，求A，B两点的坐标； （2）试探究直线AB′是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得：， ∴x2+2x﹣3＝0， ∴x1＝﹣3，x1＝1， 当x＝﹣3时，y＝﹣3，当x＝1时，y＝﹣1， ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为（﹣3，﹣9），点B的坐标为（1，﹣1）； （2）过定点（0，3）， 理由： ∵A，B是抛物线y＝﹣x2图象上的点， ∴设A（m，﹣m2），B（n，﹣n2），则B′（﹣n，﹣n2）， ∴， ∴x2+kx﹣3＝0， ∴m，n是x2+kx﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝﹣k，mn＝﹣3， 设直线AB′的解析式为y＝px+q， ∴， ， ∴y＝（n﹣m）x﹣mn， ∵mn＝﹣3， ∴﹣mn＝3， ∴y＝（n﹣m）x+3， 故过定点（0，3）． 25．（2024秋•姑苏区校级月考）如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B． （1）连结BC，求直线BC的解析式； （2）点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标及△BCP面积的最大值． 【解答】解：（1）∵对于， 令x＝0，可得y＝2， ∴B（0，2）， 令y＝0，可得﹣x2+x+2＝0， 解得x＝﹣1或4， ∴A（﹣1，0），C（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+2， ∴4k+2＝0， 解得k＝ ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2； （2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P（t，﹣t2+t+2），则Q（t，﹣t+2）， ∴PQ＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t， ∴S＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， 当t＝2时，△BCP的面积最大，面积的最大值为4，此时P（2，3）． 26．（2024秋•海珠区校级月考）某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万/件）之间的函数图象是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用） （1）求出y与x以及z与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润． 【解答】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000）， 设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0）， 将点（100，1000）代入得：1000＝10000a， 解得：， 故y与x之间的关系式为， 图②可得：函数经过点（0，30），（100，20）， 设z＝kx+b，则， 解得：， 故z与x之间的关系式为； （2）， ∴w与x之间的函数关系式为； （3）令y＝490，得， 解得：x＝70（负值舍去）， 由图象可知，当0＜y≤490时， ， ∵， ∴当x≤75时，w随x的增大而增大， ∵0＜x≤70， ∴当x＝70时，w有最大值＝， 答：今年最多可获得毛利润1120万元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$