2025年中考数学一轮复习： 二次函数中相似三角形问题

2025年中考数学一轮复习：二次函数中相似三角形问题 1．如图,二次函数y=x2+2x+6的图像与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为点D,该二次函数图像的对称轴与直线BC相交于点E,与x轴交于点F; (1)求直线BC的解析式; (2)试判断△BFE与△DCE是否相似?并说明理由. (3)在坐标轴上是否存在这样的点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由． 2．如图，已知抛物线与轴交于点C，且经过点A(-1，0)，B(4，0)，点D与点C关于轴对称，点F是轴上一定点，点P(，0)是轴上的一个动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M． (1)求抛物线的表达式； (2)若四边形DMQF是平行四边形，试求此时m的值； (3)点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，且．过点A的直线与抛物线交于点E．点P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作于点H． (1)抛物线的表达式中，________，________； (2)在点P的运动过程中，若取得最大值，求这个最大值和点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与相似． 4．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m值； （3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，点为抛物线上第一象限内的动点，点在轴上． （1）若点的横坐标为4，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，如图，若点，，连接，，证明． （3）如图，若，连接交轴于点，过点作轴于，当平分时，求的值． 6．如图，经过原点的抛物线y＝ax2﹣x＋b与直线y＝2交于A，C两点，其对称轴是直线x＝2，抛物线与x轴的另一个交点为D，线段AC与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式，并写出点D的坐标； (2)若点E为线段BC上一点，且EC﹣EA＝2，点P（0，t）为线段OB上不与端点重合的动点，连接PE，过点E作直线PE的垂线交x轴于点F，连接PF，探究在P点运动过程中，线段PE，PF有何数量关系？并证明所探究的结论； (3)设抛物线顶点为M，求当t为何值时，△DMF为等腰三角形？ 7．如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，已知：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是y=x-2，连结AC． （1）求出抛物线的函数关系式； （2）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由． （3）点P（t，0）是x轴上一动点，P、Q两点关于直线BC成轴对称，PQ交BC于点M，作QH⊥x轴于点H．连结OQ，是否存在t的值，使△OQH与△APM相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC,AO=DO，直线y=mx+1与y轴交于点D． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）证明：△DBO∽△EBC； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，直线y=-x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，对称轴为x=1的抛物线经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，抛物线与对称轴交于D点，连接CE、CB、BD． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：BD∥CE； （3）在直线AB上是否存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），并只经过点中的一点． (1)判断并直接写出抛物线经过C，D，E中的点_______，并求出a的值； (2)点N是x轴上一点，点M是抛物线的顶点，连接，是否存在一点N，使得？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由； (3)点是原抛物线上一点，点P在新抛物线上，过P作x轴的垂线交原抛物线于点G，交线段于点Q，当点Q为线段上靠近点F的三等分点时，存在t的值，使得的值为定值，求出此时t的值和该定值． 12．如图抛物线y＝ax2+ax+c（a≠0）与x轴的交点为A、B（A在B的左边）且AB＝3，与y轴交于C，若抛物线过点E（﹣1，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3？若存在求出P点的坐标，不存在说明理由； （3）若D为原点关于A点的对称点，F点坐标为（0，1.5），将△CEF绕点C旋转，在旋转过程中，线段DE与BF是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论． 13．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式与顶点的坐标； (2)以、、为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？ (3)探究坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出符合条件的点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且它的对称轴为直线x＝1． (1)求b，c的值； (2)如图，过x轴上一点P（m，0）作直线l与线段BC相交于点Q，若△PCQ∽△CAP． ①求证：∠QCP＝∠OCA； ②求直线l的函数表达式． 15．如图,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(1, 0),B(-7, 0),顶点D坐标为(-3,)，点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.过顶点D作DD1⊥x轴于点D1 (1)求抛物线的表达式 (2)求证:四边形BFCE是平行四边形． (3)点P是抛物线上一动点，当P在B点左侧时,过点P作PM⊥x轴,点M为垂足,请问是否存在P点使得△PAM与△DD1A相似,如果存在，请写出点P的横坐标．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) y=-x+6．(2) △BFE与△DCE相似．（3）在坐标轴上存在这样的点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△DCE相似，P点的坐标为（0，0）、（-6，0）和（0，-6）． 2．(1) (2)m＝3或m＝﹣1 (3)存在，(3，2)或(﹣1，0) 3．(1)， (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)或 4．（1）抛物线的解析式为；（2）m值为1或5；（3）存在，点M的坐标为（5，0）或（1，0）． 5．（1）；（3） 6．(1)yx2﹣x，点D（4，0） (2)PFPE (3)t或 7．(1) (2)或 (3)存在，P的坐标是,,， 8．（1）抛物线的解析式为y=x2-x-2． （2）2.5，（-，0），（2，0）或（，0）． （3）t=0或t=或t=-16或t=8 9．（1）y=﹣x+1，y=x2﹣2x﹣3（3）P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣） 10．（1）抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（3）在直线AB上存在点P，使以B、D、P为顶点的三角形与△BCE相似，P（-，）． 11．(1)E， (2)存在，点N的坐标为或 (3)存在，的定值为 12．（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）存在，P（3，﹣10）；（3）DE⊥BF且DE＝2BF. 13．(1)， (2)是 (3)存在，或或 14．(1)b=2，c=3； (2)②y=-x+ 15．（1）；（3）存在，点P的横坐标为：-11或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$