精品解析：江苏省南京市2024-2025学年九年级上学期期中专题复习试卷（前三章）

2024-2025学年度江苏省南京市九年级上学期期中专题复习摸底练习 一元二次方程、圆、数据的集中趋势与离散程度（前三章节） 一、单选题 （23-24九年级上·江苏南京·期中） 1. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. （23-24九年级上·江苏南京·期中） 2. 已知的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P 与的位置关系（ ） A. 点P 在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 （23-24九年级上·江苏南京·期中） 3. 小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/ 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 （23-24九年级上·江苏南京·期中） 4. 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. （23-24九年级上·江苏南京·期中） 5. 图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. （23-24九年级上·江苏南京·期中） 6. 如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题 （22-23九年级下·江苏南京·期中） 7. 若m是方程的一个根，则代数式的值为________． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 8. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份的利润比二月份利润增加万元．设该产品平均每月利润的增长率为，则可列方程______． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 9. 甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射击成绩的方差分别为，则_____（填“>”“<”或“=”）． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 10. 设，是一元二次方程（a，b是常数）的两个根．若则的取值范围是_____． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 11. 某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 电池寿命 项目成绩/分 7 8 6 3 最后将四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为_____分． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 12. 用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为4，则圆锥的侧面积为______． （22-23九年级下·江苏南京·期中） 13. 如图，是的直径，为弦，过圆心作交于点，连接．若，则______． （22-23九年级下·江苏南京·期中） 14. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． （23-24八年级上·江苏南京·期中） 15. 如图，，点，在边上，，，点是边上点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，则的值是 ____________________． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 16. 如图，在中，，，，点P为上一点，过点C，D，P作，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为_____ ． 三、解答题 （23-24九年级上·江苏南京·期中） 17. 解方程 （1）（配方法） （2） （3） （4） ． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 18. 已知P为外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在上求作一个点M，使； （2）如图②，上求作一个点N，使． （23-24七年级上·江苏南京·期中） 19. 初一某班16名男生在体检时测量了身高．以为基准，记录男生们的身高，超过记为正，不足记为负．前15名男生的相对身高（单位：）记录如表，第16名男生身高为． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 相对身高 0 序号 9 10 11 12 13 14 15 16 相对身高 m （1）表格中m＝ ； （2）该班最高的男生与最矮的男生身高相差 ； （3）计算该班男生的平均身高． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 20. 如图，在矩形中，，，P边上一点，过点A、B、P、作 （1）圆心O在上吗？为什么？ （2）当时，判断与位置关系； （3）当与相切时，求被截得的弦长． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 21. 某商品进价为每千克30元．物价部门规定，其售价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元．经市场调研，售价为70元时，日均销售60千克；售价每降低1元，日均销售量增加2千克．在销售过程中，每天支出其他费用500元．若销售这种商品日均获利1950元，则该商品的售价为多少元？ （23-24九年级上·江苏南京·期中） 22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 23. 如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求证：是的切线． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 24. 若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）代数式的“x优值”是； （2）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 25. 如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，、的角平分线与分别相交于点、，为的中点，过点作，与、的延长线分别交于点、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 26. 小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 从特殊验证 已知四边形 的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S ，何时最大? 小敏的演算纸 解：分别考虑为直角、钝角或锐角的情形． I 为直角 Ⅱ 为钝角 Ⅲ 为锐角 易得… 易证当为钝角时，也为钝角． 同理可得Ⅱ中结论设两条垂线段，． 综上所述，S的最大值为……． （1）探索情形Ⅰ： ①求证：点A，B，C，D在同一个圆上． ② S 的值为 ． （2）探索情形Ⅱ ：说明此时S 的值小于情形Ⅰ 中S 的值． 向一般进发 （3）已知四边形 的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度江苏省南京市九年级上学期期中专题复习摸底练习 一元二次方程、圆、数据的集中趋势与离散程度（前三章节） 一、单选题 （23-24九年级上·江苏南京·期中） 1. 下列方程没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况．一元二次方程，在实数范围内根的情况由根的判别式确定，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可． 【详解】A．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； B．∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； C．∵， ∴， ∴方程没有实数根； D．∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 2. 已知的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P 与的位置关系（ ） A. 点P 在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面上一点与圆的位置关系，注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此即可求解． 【详解】解：的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为， 点P在内， 故选C． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 3. 小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/ 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 4. 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据根的判别式的意义得到，再把代入得，所以，则或，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：根据题意得， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 故选：C． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 5. 图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该盒子高为，则纸盒底面的长为，宽为，根据“纸盒的底面（图中阴影部分）面积是”即可列出方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该盒子的高为，则纸盒底面的长为，宽为， 纸盒的底面（图中阴影部分）面积是， ， 故选：D． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 6. 如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据菱形的性质得出，根据相同的圆周角所对的弦相等，得出，即可判断①正确； ②根据菱形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，，从而得出，，但不能确定，判断②错误； ③先证明，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据即可判断③正确． 【详解】解：①∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 不能确定，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ，故③正确； 综上分析可知，①③正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆周角和弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和菱形的性质． 二、填空题 （22-23九年级下·江苏南京·期中） 7. 若m是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据m是方程的一个根，得到，进而得到，代入代数式计算即可得解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2022． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 8. 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，三月份的利润比二月份利润增加万元．设该产品平均每月利润的增长率为，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设该产品平均每月利润的增长率为，则二月份的利润为万元，三月份的利润为万元，再根据三月份的利润比二月份利润增加万元列出方程即可． 【详解】解：设该产品平均每月利润的增长率为， 由题意得，， 故答案为：． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 9. 甲、乙两人分别进行5次射击练习，成绩如下（单位：环）：甲：7，8，7，7，10；乙：8，7，8，10，8．甲、乙的射击成绩的方差分别为，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程，根据方差的定义“各个数据与平均数的差的平方的平均数”，求出两人的方程，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ， ∴， 故答案为：． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 10. 设，是一元二次方程（a，b是常数）的两个根．若则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根与系数的关系：，，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键． 【详解】解：因为，是一元二次方程（a，b是常数）的两个根． 所以， 即 所以 那么 故答案为： （23-24九年级上·江苏南京·期中） 11. 某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 电池寿命 项目成绩/分 7 8 6 3 最后将四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为_____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法．利用加权平均数按照比例计算，即可求得选手甲的平均分． 【详解】解：根据题意， 该手机的综合成绩为：； 故答案为：； （23-24九年级上·江苏南京·期中） 12. 用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，其底面圆半径为4，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得弧长为，根据弧长公式求出扇形的半径是，再根据圆锥的侧面积为扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵底面圆半径为4， ∴底面圆的周长为，即扇形的弧长为， 设扇形的半径是r，则， ， ∴扇形的面积为， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． （22-23九年级下·江苏南京·期中） 13. 如图，是的直径，为弦，过圆心作交于点，连接．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理．由圆周角定理可知，，由为直径可知， ，又，可知，利用平行线的性质可求． 【详解】解：与为所对的圆心角和圆周角，， ， 是的直径， ， 又， ， ， 故答案为：． （22-23九年级下·江苏南京·期中） 14. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将所求式子变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于常考题型，熟练掌握方程的两根之和与两根之积与方程各系数之间的关系是解题的关键． （23-24八年级上·江苏南京·期中） 15. 如图，，点，在边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，则的值是 ____________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，圆的切线的性质，分情况讨论：当是等边三角形时；当与相切于，时；当经过点时；当与相切于时． 【详解】如图1中，当是等边三角形时满足条件，作于． 在中，． ∵， ∴． ∴． 如图2中，当与相切于，时，，此时满足条件． 如图中，当经过点时，，此时满足条件． 如图4中，当与相切于时，． 观察图3和图4可知：当时，满足条件． 综上所述，满足条件的的值为：或或． 故答案为：或或． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 16. 如图，在中，，，，点P为上一点，过点C，D，P作，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外心，通过勾股定理得出圆心到中点距离的变化规律是本题解题的关键．根据垂径定理确定圆心所在直线，然后根据勾股定理得出圆心与中点之间距离的变化规律，从而得出点的轨迹路程． 【详解】解：当点在上时，为圆直径， ∴， ∴， ∴为中点或与重合， 当点在下方时，过作于，交于，过作于，如图1， 设，则，， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∴在时，， ∴移动了， 当在上方时，过作垂线，交于，于，如图2: 设，则，， ∴， 根据勾股定理得： ， 即， 整理得：， ∴时，有最大值，时，，时，， 即点向上移动后，再向下移动， ∴的运动路线总长为：． 故答案为：． 三、解答题 （23-24九年级上·江苏南京·期中） 17 解方程 （1）（配方法） （2） （3） （4） ． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法解方程即可； （2）根据因式分解法解方程即可； （3）根据配方法解方程即可； （4）根据因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 配方，得， ， 开方，得， ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，； 【小问3详解】 解：原方程可化为：， 开方，得， ； 【小问4详解】 解：原方程可化为， ， ， ， ． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 18. 已知P为外一点，用直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）如图①，在上求作一个点M，使； （2）如图②，在上求作一个点N，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理等知识． （1）连接，以为直径作交于点M，连接，点M即为所求； （2）作等边三角形，作的外接圆交于点N，连接，点N即为所求． 【小问1详解】 解：如图①中，点M即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，点N即为所求． （23-24七年级上·江苏南京·期中） 19. 初一某班16名男生在体检时测量了身高．以为基准，记录男生们的身高，超过记为正，不足记为负．前15名男生的相对身高（单位：）记录如表，第16名男生身高为． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 相对身高 0 序号 9 10 11 12 13 14 15 16 相对身高 m （1）表格中m＝ ； （2）该班最高的男生与最矮的男生身高相差 ； （3）计算该班男生的平均身高． 【答案】（1） （2）25 （3） 【解析】 【分析】本题考查正负数在实际问题中的应用以及平均值的计算； （1）用16号学生的身高﹣标准身高，即可得到m的值； （2）用身高最大的差值－最小差值，即可求解； （3）根据表格数据可以根据求平均数公式求出平均身高． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 即该班最高的男生与最矮的男生身高相差， 故答案为：25； 【小问3详解】 解： 答：该班男生的平均身高为． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 20. 如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 （1）圆心O在上吗？为什么？ （2）当时，判断与的位置关系； （3）当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】（1）圆心O在上，理由见详解 （2）与相离，理由见详解 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【小问1详解】 解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； 【小问2详解】 过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； 【小问3详解】 连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 21. 某商品进价为每千克30元．物价部门规定，其售价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元．经市场调研，售价为70元时，日均销售60千克；售价每降低1元，日均销售量增加2千克．在销售过程中，每天支出其他费用500元．若销售这种商品日均获利1950元，则该商品的售价为多少元？ 【答案】该商品的销售单价为65元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——销售问题，熟练掌握销售利润=每件利润×销售件数-其他支出费用是解题关键；设销售单价为元，则每千克降低了元，日均可多售出千克，根据售利润=每件利润×销售件数-其他支出费用列方程求解即可得答案． 【详解】解：设销售单价为元，则每千克降低了元，日均可多售出千克． 由题意得：， 整理，得 即，解得． ∵，符合题意． 答：该商品的销售单价为65元． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 22. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的一元二次方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：，． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 23. 如图，在四边形中，相交于点E，且，经过A，C，D三点的交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求证：是切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理． （1）根据，可得，两式相减即得，结论得证； （2）连接并延长交于G点，再连接，可得，再根据已知证明，进而得，从而得即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， 又， ， ，即：， ； 【小问2详解】 证明：连接并延长交于G点，再连接， 为O直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 24. 若时，代数式的值也为m，则称m是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）代数式的“x优值”是； （2）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （3）代数式存在两个“x优值”且差为5，求n的值． 【答案】（1）0和1 （2）不存在“x优值”．理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）利用新定义的规定，通过计算判定即可得出结论； （2）假定存在“优值”，得到一元二次方程，利用根的判别式解答即可得出结论； （3）设“优值”为，则有，利用一元二次方程飞解法求得“优值”，再利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 ∵当时，代数式的值为0， 当时，代数式的值为1， ∴和1都是的“优值”． 故答案为：0和1； 【小问2详解】 不存在“优值”． 理由如下： 假设存在优值为，则有， 整理得：， 则， ∵无论取何值时，， ∴方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”． 【小问3详解】 设“优值”为，则有， 整理得：， ∵两个“x优值”差为5， 或 或 （23-24九年级上·江苏南京·期中） 25. 如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，、的角平分线与分别相交于点、，为的中点，过点作，与、的延长线分别交于点、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）13 【解析】 【分析】（1）连接，，利用角平分线的定义和邻补角的定义得到为直角，再利用直径所对的圆周角为直角和平行线的判定定理得到，则得到，由垂径定理的推论得到，则，由圆的切线的判定定理即可得出结论； （2）延长交于点，由垂径定理的，利用矩形的判定定理和性质定理得到，设的半径为，则，，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，，如图， 、的角平分线与分别相交于点、， ，， ， ， ． 为直径， ， ， ． ， ． 为的中点， ， ， 为的半径， 是切线； 【小问2详解】 解：延长交于点， ，， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， 设的半径为，则，， 在中， ， ， ． 的半径为13． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （23-24九年级上·江苏南京·期中） 26. 小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大． 从特殊验证 已知四边形 的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S ，何时最大? 小敏的演算纸 解：分别考虑为直角、钝角或锐角的情形． I 为直角 Ⅱ 为钝角 Ⅲ 为锐角 易得… 易证当为钝角时，也为钝角． 同理可得Ⅱ中结论设两条垂线段，． 综上所述，S的最大值为……． （1）探索情形Ⅰ： ①求证：点A，B，C，D在同一个圆上． ② S 的值为 ． （2）探索情形Ⅱ ：说明此时S 的值小于情形Ⅰ 中S 的值． 向一般进发 （3）已知四边形 的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S 的最大值． 【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)①利用勾股定理及其逆定理，结合直角三角形的外接圆是斜边中点为圆心，斜边一半为半径的圆上，证明即可． ② 利用面积分割法，结合直角三角形的面积公式计算即可． （2）利用直角三角形的斜边大于直角边，结合不等式的性质，证明即可． （3）利用四点共圆时，四边形的面积最大，画图图形，构造直角三角形计算即可． 【详解】（1） ①证明:连接 , 取中点O , 连接, ． ∵, ∴ ∵ ∴ ∴． ． 又 O为中点, ∴． ∴点A,B,C,D在以O为圆心,以为半径同一个圆上． ②根据题意，， 故答案为：． （2） 解:如图，连接 , 根据题意，， ∵ 在 中, , 在 中, , ∴， 即 （3）解：根据题意，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大． 如图,设．连接,过C分别作,垂足分别为 E, F． ∵四边形四顶点共圆, ， ∴， ∵,， ∴， ∵,， ∴，． ∴． ∴∴， 解得， ∴ ∴ 故四边形 ABCD面积最大值为 【点睛】本题考查了四点共圆的性质，勾股定理，圆周角，弦、弧的关系，三角形全等的判定和性质，直角三角形的斜边大于任何一条直角边，到定点距离相等的点在同一个圆上，熟练掌握四点共圆的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$