江苏省通州高级中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段性检测数学试题

江苏省通州高级中学2024~2025学年度高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 总分：150分，时间：120分钟 出卷人：高二数学备课组 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1. 斜率为，且经过点的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2. 已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 3．圆与的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 【答案】D 4. 已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 5. 已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 6. 长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 7. 设双曲线的离心率为，双曲线渐近线的斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点， 若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和的关系，分别在和直角中表示，建立等量关系求椭圆离心率. 【详解】设，则， 由椭圆的定义得，， 由得，即， 整理得，解得或（舍去）， ∴，故点在轴上. 如图，在直角中，， 在中，， 化简得， ∴椭圆的离心率. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上 9．（多选）下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．已知直线，则直线的倾斜角为 D．若两直线与平行，则 【答案】CD 10．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆 B．轨迹C上的点到直线的最小距离为 C．若点在轨迹C上，则的最小值是 D．圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D. 【详解】设，由， 整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故A正确； 圆心到直线的距离， 所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误； 设，易知圆心到直线的距离 ，故C正确； 易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意， 则圆心距，解之得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则面积为 C. 若直线过焦点，且，则到直线的距离为 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A错误，结合抛物线的定义，可判定B正确；结合抛物线的焦点弦的性质和点到直线的距离公式，可判定C错误；设直线的方程为（不妨设）求得和，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，抛物线可得其准线方程为，所以A错误； 对于B中，设，因为，可得，解得，可得， 所以，所以B正确； 对于C中，抛物线，可得其焦点坐标为， 当直线的斜率不存在时，可得，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 根据抛物线的定义，可得，解得， 所以直线的方程为， 不妨取，所以到直线的距离为，所以C错误； 对于D中，设直线的方程为（不妨设） 由，可得，则， 因为，此时直线的方程为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填涂在答题卡相应位置上 12．若直线的倾斜角为，则实数m值为______． 【答案】 13．若过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，且，则满足条件的的所有值为 ． 【答案】2或4 14. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得，从而求得的面积. 详解】由已知，得， 则，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 由，得， 所以，化简解得， 所以的面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请在答题卡指定区域内作答． 15．（本题13分） 已知的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为， （1）求顶点B的坐标； （2）求BC边所在直线的方程． 解：设，由AB中点在上， 可得：，y1 = 5，所以． 设A点关于的对称点为， 则有， 故． 16．（本题15分） 已知动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若直线与曲线有且只有一个公共点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题中距离之比列出关于动点的方程即可求解； （2）联立直线与曲线化简可得，根据方程有一个解，计算即可得出结果. 【小问1详解】 设动点， 由题意有 即 同时平方，有 整理得： 所以曲线的方程为 【小问2详解】 联立方程 消去得（*） ①当即时，方程（*）有1个根，符合题意. ②当即时， 因为直线与曲线有1个公共点 故 解得： 综上所述，当时，直线与曲线有且只有一个公共点. 17．（本题15分） 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆方程； （2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【答案】（1） （2）4辆 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质确定圆心的位置，结合垂径定理与勾股定理求圆心与半径，即可圆弧所在圆的方程； （2）确定汽车通过的最大宽度，再分析可得最多可以并排通过该种汽车数量. 【小问1详解】 由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上， 设该圆的半径为r米，则，解得， 故该圆弧所在圆的方程为． 【小问2详解】 设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则， 解得． 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． 18. （本题17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，且过点，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点， 试问：是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）为定值，该定值为2 【解析】 【分析】（1）先根据焦点形式设出椭圆方程和焦距，根据椭圆经过和半焦距为3易得椭圆的标准方程； （2）设，分别表示出直线方程，进而求得点的纵坐标，点横坐标，即可表示出，即可求得答案． 【小问1详解】 由焦点坐标可知，椭圆的焦点在轴上， 所以设椭圆：，焦距为， 因为椭圆经过点，焦点为 所以，， 解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，由椭圆的方程可知， 因为，则直线， 由已知得，直线斜率均存在， 则直线，令得， 直线，令得， 因为点在第一象限，所以，， 则， 又因为，即，所以． 所以为定值，该定值为2. 19．（本题17分） 已知圆心为C的动圆经过点且与直线相切，设圆心C的轨迹为． （1）求轨迹的方程； （2）已知为定点，P，Q为上的两动点，且，求点A到直线距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可得解. （2）设的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理以及，可得的关系，进一步可将点A到直线距离的最大值化成关于的函数，由此即可得解. 【小问1详解】 由题可知，圆心C到定点的距离与到直线的距离相等， 则点C的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线， 所以其轨迹方程为． 【小问2详解】 由题可知直线的斜率不为0，设的方程为， 设，，联立方程组，得， 所以， 又因为，则， 即， 化简得， 消元得， 即， 所以， 因式分解得， 当时，直线经过点A，不合题意，舍去， 当时，，直线：， 此时点A到直线距离， 当且仅当时取等号，此时满足要求， 所以点A到直线距离的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$江苏省通州高级中学2024~2025学年度高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 总分：150分，时间：120分钟 出卷人：高二数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请把答案填涂在答题卡相应位置上 1上斜率为-子、且经过点化，-)的直线方程为() A.3x+4y-1=0 B.3x+4y+1=0 C.3x-4y-7=0 D.3x-4y-1=0 2已知平行四边形BCD的顶点么C在椭圆E:千+少=1上，顶点B,D分别为E的左、右焦点，则该平行四边 形的周长为() A.2W5 B.4 C.45 D.8 3.圆C:x2+(y-1)=1与C2:x2+y2=4的位置关系为() A.相交 B.相离 C.外切 D.内切 4.已知F是抛物线x2=4y的焦点，A,B是该抛物线上的两点，且AF+BF=6,则线段AB的中点到x轴的 距离为() A.1 B.2 C.3 D.4 5已知双曲线C的虚轴长为8，两个顶点分别为椭圆B:兰+ "2516 =1的两个焦点，则C的标准方程为() A父=1 B. 上=1 916 169 c.上=1 259 6.长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为( 42 号-1 D.2-1 164 7设双曲线父y F一云=1(a>b>0)的离心率为e,双曲线渐近线的斜率的绝对值小于2 则e的取值范围是 8.已知椭圆c:+大 +京=1的左、右焦点分别为，，过点厂的直线与椭圆C交于A,B两点， 若AGRB1,且∠B=90,则精圆的离心率为(） A.号 B.5 C⑤ 3 5 D,吃 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上 9.（多选)下列说法正确的是（ A.“a=-1"是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 B.经过点(L,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 C.已知直线y=√5x,则直线的倾斜角为60 D.若两直线4：(3+a)x+4y=5-4a与l2:2x+(5+a)y=9平行，则a=-7 10.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如 下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆已知直 角坐标系中A(-2,0),B(2,0),满足PA=2PB的点P的轨迹为C,则下列结论正确的是（） A.点P的轨迹是以C侣，0为图心，一号为半径的圆 日轨迹C上的点到直线3x-y+5=0的最小距离为 C.若点(：，y)在轨迹C上，则x+√5y的最小值是2 D.圆+0-a}=4与轨迹C有公共点，则a的取值范困是-45≤a546 3 3 11.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，A,B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（) A抛物线C的准线方程为x=-2 B若AF=4,则△AOF面积为5 C者直线B过焦点P,且仙-号，则0到直线B的距离为 D.若OA⊥OB,则OAOB≥32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填涂在答题卡相应位置上 12.若直线1：x+m+1=0的倾斜角为匹，则实数m值为一 6 1B.若过圆C:+0-2=r(r>0)外一点P2,-2)作圆C的两条切线，切点分别为4B,且M=85 则满 足条件的r的所有值为一 14如图所示。已知椭圆的方程为女+上 =1,若点P为椭圆上的点，且 43 ∠PRF=120°，则△PFF2的面积是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请在答题卡指定区域内作 答 15.(本题13分) 已知△4BC的顶点A为(3，一1)，AB边上的中线所在直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在直线方 程为x-4y+10=0, (1)求顶点B的坐标： (2)求BC边所在直线的方程. 16.(本题15分) 己知动点M与定点F(5,0)的距离和它到定直线x=5的距离的比是常数5，记动点M的轨迹为曲线C 3 (1)求曲线C的方程： (2)若直线：y=-1与曲线C有且只有一个公共点，求k的值. 17.(本题15分) 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标 原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系. (1)求该圆弧所在圆的方程： (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车 顶不能与隧道有刚蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 以米 D Bx米 18.(本题17分) 在平面直角坐标系x0中，已知稀圆E的焦点为(-5,0)，55,0)，且过点√5，》 椭圆E的上、 下顶点分别为A,B,右顶点为D,直线I过点D且垂直于x轴， (1)求椭圆E的标准方程： (2)若点2在椭圆E上（且在第一象限），直线AO与I交于点N,直线B2与x轴交于点M, 试问：OM+2DW是否为定值？若是，请求出定值：若不是，请说明理由。 M 19.(本题17分) 已知圆心为C的动圆经过点(1,0)且与直线x=-1相切，设圆心C的轨迹为T, (1)求轨迹厂的方程： (2)已知A(1,2)为定点，P,2为「上的两动点，且AP⊥A2,求点A到直线PO距离的最大值