精品解析：吉林省第二实验学校2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

吉林省第二实验学校2024—2025学年度上学期九年级第二次月考 数学试题（四年制） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，从①②③④中选取一个正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则一定有，“”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：_______．（填“>”，“<”或“=”） 10. 若a﹣b＝，ab＝1，则a2b﹣ab2＝_____． 11. 已知直线（是常数）经过点，且随的增大而增大，则的值可以是________．（写出一个即可） 12. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 13. 抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，______． 14. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简．再求值：，其中． 16. 已知抛物线．将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 17. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 18. 如图，是的直径，过点作，是上的一点，且，延长，交延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，，则的长为______________． 19. 某中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查．他们设计的问题：“你对自己做错的题目进行整理纠错吗？”，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． （1）本次参与调查的共有_____名学生； （2）请你补全条形统计图，并直接写出“很少”所对的扇形圆心角的度数； （3）若该校有2000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？ 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，线段的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中以为边画，使它的面积是1； （2）在图②中以为边画，使它的面积是； （3）在图③中以为边画，使它的面积是2． 21. 如图1，在底面积为、高为长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度（厘米）和注水时间（秒）之间的关系如图2所示． （1）图2中，点________表示烧杯中刚好注满水，点________表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； （2）求注水的速度； （3）烧杯的底面积是________，注满水槽所需要的时间为________秒． 22. 如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连结、交于点，若，求的值． （1）猜想证明： 思路1：过点作交于点． 思路2：过点作交于点． 思路3：过点作分别交延长线于点、点． 请选择一种思路、写出解答过程． （2）类比探究： 如图②，在中，是边上的点，是边延长线上的点，连结、交延长线于点．若，且面积为2，则四边形的面积为________． （3）延伸拓展： 如图③，在矩形中，、分别为边、上的点，，，与、分别交于点．若，，则的长为________． 23. 在中，，，为中点，点从出发，沿向终点运动、连接，作点关于直线的对称点，以和为邻边构造平行四边形． （1）求的值． （2）连接，则的最小值为____________． （3）当与的边平行时，求的长． （4）连接，当为直角三角形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线经过点，抛物线的顶点为点，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）当点落在抛物线上时，求点的横坐标； （3）若时，当抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； （4）连结并延长交抛物线对称轴于点，以为邻边作，若的边和抛物线只有三个交点（不包括点），设其中两个交点（不包括的顶点）分别为点、点．当以点（或以点）为顶点的四边形的面积是面积的时，直接写出所有满足条件的值（写出两个值即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校2024—2025学年度上学期九年级第二次月考 数学试题（四年制） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案． 【详解】解：若若零上记作，那么零下应记作， 故选：A． 2. 如图所示，从①②③④中选取一个正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 【详解】解：如图， ①能与阴影部分组成正方体展开图， 故选A 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意； 故选：． 4. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 5. 已知，则一定有，“”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 7. 如图，在是边上的高，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，交于点F，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线定义判断A；根据和都是的余角判断B；根据含的直角三角形性质判断C；根据和都是的余角，是的外角，是的外角，判断D． 【详解】A、由作图知，平分， ∴， ∴A正确，不符合题意； B、∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B正确，不符合题意； C、当时， ， ， ∴C不一定正确，C符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D正确，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角平分线和直角三角形．熟练掌握角的平分线定义，直角三角形角性质，余角定义，含的直角三角形边性质，三角形外角性质，是解题的关键． 8. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：_______．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】＞ 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式的性质可知，被开方数越大，所对应的二次根式就越大，因此可判断与=1的大小为＞1． 考点：二次根式的大小比较 10. 若a﹣b＝，ab＝1，则a2b﹣ab2＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先提公因式法分解因式，再代入求值即可． 【详解】解：∵a﹣b＝，ab＝1， ∴原式＝ab•a﹣ab•b ＝ab（a﹣b） ＝1× ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解的应用，把原式因式分解后再把每一部分的值整体代入是解题关键． 11. 已知直线（是常数）经过点，且随的增大而增大，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而增大， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，是的直径，是的弦，连接．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 抛物线的图象与直线有且只有一个公共点时，______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，由的图象与直线有且只有一个公共点，可得令，得方程，从而△，进而计算即可得解． 【详解】解：由题意，的图象与直线有且只有一个公共点， 令，得方程． ． ． 故答案为：4． 14. 已知二次函数的图象如图，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置、抛物线与x轴交点的个数确定，解题关键是熟练运用二次函数的图象和性质． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上， ∴， ∵对称轴为，得， ，且a、b异号，即， 又∵， ∴， 故①、③错误； 根据图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴即，故②正确； ∵对称轴为，得， ∴， ∵， ∴， 故④正确； ∵抛物线与x轴的交点可以看出， 当时，， ∴， 即， 故⑤正确． 故答案为：②④⑤． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简．再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式以及单项式乘以单项式进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： 当时，原式 【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 16. 已知抛物线．将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 将抛物线写成顶点式，根据抛物线平移规律写出新抛物线解析式，将代入，即可求解． 【详解】解：， ∴平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为， ∵新抛物线经过原点， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 17. 习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？ 【答案】型汽车的进价为每辆10万元 【解析】 【分析】设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可； 【详解】解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解且符合实际意义， 答： 型汽车的进价为每辆10万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解决本题的关键． 18. 如图，是的直径，过点作，是上的一点，且，延长，交延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，，则的长为______________． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理； （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据勾股定理得到，求得，根据圆周角定理得到，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， 故答案为：． 19. 某中学八年级数学社团随机抽取部分学生，对“错题整理习惯”进行问卷调查．他们设计的问题：“你对自己做错的题目进行整理纠错吗？”，答案选项为：A：很少，B：有时，C：常常，D：总是．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． （1）本次参与调查的共有_____名学生； （2）请你补全条形统计图，并直接写出“很少”所对的扇形圆心角的度数； （3）若该校有2000名学生，请你估计其中“总是”对错题进行整理纠错的学生共有多少名？ 【答案】（1）200； （2）补全条形图： ； （3）720 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，从统计图中读出相关信息是解题的关键． （1）根据题意用“有时”的人数除以所占百分比即可得到答案； （2）根据题意就算画出图形即可． （3）用该学校的人数乘以“总是”的百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意得：总人数：（名）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：“常常”的人数：（名）， “很少”所对的扇形圆心角的度数：； 【小问3详解】 解：， 答：“总是”对错题进行整理纠错的学生共有名． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，线段的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中以为边画，使它的面积是1； （2）在图②中以为边画，使它的面积是； （3）在图③中以为边画，使它的面积是2． 【答案】（1）  即为所求： AI （2） 即为所求： AI （3） 即为所求: AI 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及等腰三角形性质和直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格及三角形面积作图即可； （2）根据网格及三角形面积作图即可； （3）根据网格及三角形面积作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图1，在底面积为、高为长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度（厘米）和注水时间（秒）之间的关系如图2所示． （1）图2中，点________表示烧杯中刚好注满水，点________表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； （2）求注水的速度； （3）烧杯的底面积是________，注满水槽所需要的时间为________秒． 【答案】（1）A；B； （2）立方厘米/秒 （3）20；180 【解析】 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息及分式方程的应用，理解题意，结合图象获取信息是解题关键． （1）由函数图象可以得出点A表示烧杯刚好注满水，点B表示水槽中水面刚好与少烧杯中水面齐平； （2）根据图象得当注水时间为90秒时，水槽的高度的10厘米，求出体积，然后除以时间即可； （3）设烧杯的底面积为x，根据题意列出方程求解即可确定底面积；再由图象即可确定注满水的时间． 【小问1详解】 解：由图象得，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐， 故答案为：A；B； 【小问2详解】 根据题意得，当注水时间为90秒时，水槽的高度的10厘米， ∴注入的水的体积为立方厘米， ∴注水速度为：立方厘米/秒； 【小问3详解】 设烧杯的底面积为x， 根据题意得：， 解得：， 经检验：为原分式方程的解， ∴烧杯的底面积是； 根据图象得：注水90秒，水槽的高度为10厘米， ∴要注满20厘米的水槽，需要的时间为秒； 故答案为：20；180． 22. 如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连结、交于点，若，求的值． （1）猜想证明： 思路1：过点作交于点． 思路2：过点作交于点． 思路3：过点作分别交延长线于点、点． 请选择一种思路、写出解答过程． （2）类比探究： 如图②，在中，是边上的点，是边延长线上的点，连结、交延长线于点．若，且面积为2，则四边形的面积为________． （3）延伸拓展： 如图③，在矩形中，、分别为边、上的点，，，与、分别交于点．若，，则的长为________． 【答案】（1） 选择思路1：过点作交于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 思路2：过点作交于点，如图所示； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ； 思路3：过点作分别交延长线于点、点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 设， 则， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，矩形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）选择思路1：过点作交于点，根据相似三角形的判定得出，，再利用其性质求解即可； 思路二：过点作交于点，根据相似三角形判定，，再利用其性质求解即可； 思路三：过点作分别交延长线于点、点，根据相似三角形的判定得出，，，再利用其性质求解即可； （2）连接，根据等高三角形计算面积得出面积为4，面积为，设的面积为，则的面积为，结合图形列出方程求解即可； （3）延长、交于点M，利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质得出，，，，继续利用相似三角形的判定和性质确定，延长交于点N，同理，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 如图所示：连接， ∵，面积为2， ∴面积为4， ∴面积为， ∵， ∴面积为， 设的面积为，则的面积为， ∵， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为：， 故答案为： 【小问3详解】 解：延长、交于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长、交于点N， 同理得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴， 故答案为：． 23. 在中，，，为中点，点从出发，沿向终点运动、连接，作点关于直线的对称点，以和为邻边构造平行四边形． （1）求的值． （2）连接，则的最小值为____________． （3）当与的边平行时，求的长． （4）连接，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）2 （3）或 （4）3，， 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，然后用正弦值的求法求解． （2）当点E在上时，则点关于直线的对称点与点重合，此时；当点在上时，连接，则，由，得，当点三点共线时，取得最小值为2； （3）当点E在上时，不可能与的边平行；当点E在上时， ①时，记与交于点H，证明出，则在中，由勾股定理得：；②时，证明出，则，在中，由勾股定理得：，综上所述：或； （4）点E在上时，，可知与重合， 此时；当时，的；当点在上时，只能是，先证明，得到，则在中，由勾股定理，综上所述：或3或． 【小问1详解】 解：，，为中点， ，． 在中， ， ． 【小问2详解】 解：当点E在上时，则点关于直线的对称点与点重合，此时； 当点在上时，连接，如图： 则， ∵， ∴，当点三点共线时，取得最小值为2， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：当点E在上时，不可能与的边平行； 当点E在上时， ①时，记与交于点H，如图： 此时， 由对称得， ∴, ∵,， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：； ②时，如图： 此时， 由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 综上所述：或； 【小问4详解】 解：点E在上时，，即，而 ∴， ∵平行四边形， ∴，而点F与点B重合， ∴与重合，如图： ∴此时； 当时， 同上可得， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 当点在上时，只能是，如图： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由对称得：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理， 综上所述：或3或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数中求角的正切值，勾股定理，轴对称变换，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，熟练掌握知识点，注意分类讨论思想是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线经过点，抛物线的顶点为点，点在抛物线上，横坐标为，点的坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）当点落在抛物线上时，求点的横坐标； （3）若时，当抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； （4）连结并延长交抛物线对称轴于点，以为邻边作，若的边和抛物线只有三个交点（不包括点），设其中两个交点（不包括的顶点）分别为点、点．当以点（或以点）为顶点的四边形的面积是面积的时，直接写出所有满足条件的值（写出两个值即可）． 【答案】（1） （2）点的横坐标 （3）或或 （4）或或或 【解析】 【分析】(1)运用待定系数法把点代入抛物线解析式中，求得b的值，即可求出抛物线的函数表达式； (2)由点B恰好落在抛物线上，把点B坐标代入抛物线解析式中可求得m的值，从而求得点A的横坐标； (3) 分三种情况，①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可得出； (4) 当以点为顶点的四边形面积是面积的时，由，得，求出直线的表达式，用含m的式子表示出相关线段的长，得，即可求得m的值；当以点为顶点的四边形面积是面积的时， 可求直线的表达式为：，则，由得到，，可求直线表达式为：，由得：，则，将分别代入抛物线解析式和直线表达式得：，解方程即可． 【小问1详解】 解∶抛物线抛物线经过点， ， 解得∶ ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解∶点的坐标为 点的横坐标 【小问3详解】 解∶函数表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 时，， 顶点C的坐标为， 关于直线的对称点为， ①当时，点A在点P下方， ，， ， 解得，，（不合题意，舍去）； ②当时，点P不低于点A，此时点C最低， ， ； ③当时，是最高点， ， 解得，（不合题意，舍去），； 综上所述，时，当抛物线在点和点A之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，的值为或或； 【小问4详解】 解∶如图所示，当以点为顶点的四边形面积是面积的时， 作轴，交直线于N， 的横坐标为m， ， ， 设直线为， 将，代入得， 解得， 直线为， 当时，， ， ， 将与联立， 得， 即， ， ， 的高为，的高为， ， ， 当时， ， ， ， ， 即， 整理得， 解得或； 当以点为顶点的四边形面积是面积的时， ∵，， 同上可求直线的表达式为：， 当时，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 而， ∴同上可求直线表达式为：， 由 得：， ∴， 将分别代入抛物线解析式和直线表达式 得：， 整理得：， 解得：或， 综上所述，当以点（或以点）为顶点的四边形的面积是面积的时，m的值可以是或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，图形面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式等知识，综合性强，运算量较大，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $