精品解析：山东省临清市实验高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2024-2025学年高三年级第一学期期中考前考二数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ） A. 24 B. 24 C. 3 D. 3 4. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，正方形中，是直线上的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数最大值为1 D. 函数的最小值为1 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设方程在复数范围内两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ） A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级 B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍 C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍 D. 记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D 若则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知函数，则________． 13. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则______. 14. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且. （1）求角大小； （2）若，求面积. 16. 某企业投资生产产品，经过市场调研，生产产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为100元． （1）写出利润关于产量的函数； （2）若生产的产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为多少万元？ 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若已知数列，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三年级第一学期期中考前考二数学试题 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式后可得集合，再利用交集定义即可得解. 【详解】由可得，解得或， 即或，则. 故选：C. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据结合可得与，进而可得. 【详解】则， 即， 又因为，故，，， 故，因为，则， 结合可得，，则. 故. 故选：C 3. 等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（ ） A. 24 B. 24 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，利用等比中项得到关于公差的方程，再利用等差数列的前项和公式进行求解. 【详解】设的公差为， 由成等比数列，得， 即，解得或（舍去）， 所以. 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算结合集合的包含关系判断即可. 【详解】由，得.设，， 因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 5. 如图，正方形中，是直线上的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定图形，用表示向量，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得. 【详解】正方形中，，则， 而，则， 又点共线，于是，即，而， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：C 6. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数.利用导数判断单调性，证明出.构造函数.利用导数判断单调性，证明出，得到；构造函数.利用导数判断单调性，证明出，即为.即可得到答案. 【详解】记. 因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以. 记. 因为，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以. 所以. 记. 因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即，所以. 所以. 综上所述：. 故选：C 7. 已知函数的定义域为，值域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先变形得到，故，累加法求和得到，结合等差数列求和公式得到答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】C 【解析】 【分析】AB选项，先判断出虚线部分为，实线部分为，求导得到在R上单调递增，AB错误；再求导得到时，单调递增，当时，单调递减，故C正确，D错误. 【详解】AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数， 则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为， 实线部分为， 故恒成立， 故在R上单调递增，则A，B显然错误， 对于C，D，， 由图像可知，恒成立，故单调递增， 当，，单调递减， 所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设方程在复数范围内的两根分别为，则下列关于的说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求解可得，再逐个选项判断即可. 【详解】对A，由实系数一元二次方程求根公式知， 则（与顺序无关），故A正确； 对B，因为，所以，故B正确； 对C，由A，，故C错误； 对D，由韦达定理可得，故D正确． 故选：ABD 10. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ） A. 地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级 B. 八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍 C. 八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍 D. 记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A：当时，由题意得， 解得，即地震里氏震级约为七级，故A正确； 对于B：八级地震即时，，解得， 所以， 所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误； 对于C：六级地震即时，，解得， 所以， 即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确； 对于D：由题意得（n=1，2，···，9，10）， 所以，所以 所以，即数列{an}是等比数列，故D正确； 故选：ACD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，可判定A错误；根据题意，求得，可得判定B正确；由，结合函数的单调性，可判定C正确；结合函数求得，可得判定D正确. 【详解】由函数的定义域为， 且，所以的单调递增区间为， 对于A中，令，可得， 所以，所以A错误； 对于B中，由， 所以， 因为，所以，所以B正确； 对于C中，由， 因为，所以， 因为，所以，即，所以C正确； 对于D中，由即， 令，可得， 所以函数在为单调递减函数，所以，即 因为可得，所以， 可得， 所以，所以D正确； 故选：BCD 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】，， ， 故答案为： 13. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，则，根据给定条件及正八边形的特征，利用数量积的定义求解即可. 【详解】在正八边形中，连接，则， 而，即，于是，在等腰梯形中， ，所以. 故答案为： 14. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的图象的对称点，对称直线，周期，求出，求出. 【详解】因为函数的定义域为为奇函数，为偶函数， 所以函数的图象关于点对称，也关于直线对称， 所以，， 所以， 则， 所以函数是周期为8的周期函数， 当时，， 则，，，，，，，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出函数的图象的对称点，对称直线，周期. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且. （1）求角大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得结果； （2）由三角形面积公式并利用，可得，再由余弦定理即可求得,由三角形的面积公式可得结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得 ，所以，故，. 【小问2详解】 由题意可知， 即，化简可得， 在中，由余弦定理得， 从而，解得或（舍）， 所以 16. 某企业投资生产产品，经过市场调研，生产产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为100元． （1）写出利润关于产量的函数； （2）若生产的产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）最大利润为1000万元 【解析】 【分析】（1）分产量不足50万件和产量不小于50万件两种情况讨论，分别求出函数解析式； （2）利用导数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题意得，销售收入为100万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润． 所以利润； 【小问2详解】 ①当时，， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，则； ②当时，， 当且仅当，即时取等号．又， 故当时，所获利润最大，最大值为1000万元． 所以，生产该产品能获得的最大利润为1000万元． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【小问1详解】 由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 . ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）当时，，只需证当时，即可，即证，即证，令，求导，再确定的单调性，从而确定的零点存在，得出极小值点，由得，，代入并变形，根据已知条件即可得证. 【小问1详解】 当时，， ，， 斜率， ，即， 曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 证明：当时，， 则， 则， 故只需证当时，即可， 即证，即证，即证， 令， 在上单调递增， 又， 故在上有唯一的实根，且， 当时，， 当时，， 所以当时，取得最小值， 由得， ， 两边取对数得，即 ， 即， 综上所述：当时，. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列.设数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为. （1）若已知数列，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在不全为0的数列，使得数列为等差数列？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知，可得第二次“和扩充”后得到数列，即可得到； （2）由已知，数列第次“和扩充”后增加的项数为，可得，可得是首项为4，公比为2的等比数列，可得，则，可解得. （3）由已知，可得，进而可得，从而得到结论. 【小问1详解】 第一次“和扩充”：3，7，4，9，5； 第二次“和扩充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5； 故. 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以， 所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，， 故，， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 又，则，即，解得. 【小问3详解】 因为， ， 依次类推，， 故 ， 若使为等差数列，则， 所以存在不全为0的数列，使得数列为等差数列. 【点睛】关键点点睛：小问（2），推出是首项为4，公比为2的等比数列，进而求解；小问（3），推出，利用累加法求和得到，得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$