四川省遂宁市大英中学创新部2024-2025学年高一上学期数学周测一

大英中学创新部2024年秋季高2024级数学周测一 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 2.已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 4．“”是“为真命题”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 6．已知实数，且，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 7．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．命题，，其充要条件为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知关于的不等式解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 10．下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是5 C．当时，的最小值是2 D．设，，且，则的最小值是 11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（     ） A．的值域为 B．的定义域为 C． D．任意一个非零有理数， 对任意恒成立 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 13．若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为 . 14.已知，则 . 四、解答题本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）集合，， （1）当，集合A是B的什么条件？ （2）若A是B的必要不充分条件，求a的值. 16．（15分）某游泳馆拟建一座游泳池，池底为矩形且面积为，池的深度为，池的四周墙壁建造单价为每平方米400元，在该泳池长边的正中间设置一个隔层，该隔层建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元（池壁厚忽略不计），则泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低． 17．（15分）（1）已知，，，比较与的大小； （2）已知，，，，求的取值范围. 18．（17分）设函数，已知不等式的解集是. (1)求不等式的解集； (2)对任意，比较与的大小. 19．（17分）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式解集.（其中） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1-8DDCBBBAD 9、BCD 10、AD 11、BCD 1．D【分析】根据表达式有意义列出不等式组求解即可【详解】由题知,解得且即函数的定义域为故选：D 2．D【分析】利用换元法，即令，即可求得函数解析式，即得答案. 【详解】令，则由，可得，即，故选：D. 3．C【详解】，表示函数图象上的点集， ，表示函数图象上的点集， 中的元素为和图象的交点， 联立得到，，所以有2个交点， 所以的元素个数为2，其子集个数为个， 故选:C. 4．B 【详解】因为为真命题，又对恒成立， 所以为真命题等价于， 所以“”不能推出“”，反之，“”能推出“”， 所以“”是“为真命题”的必要不充分条件. 故选：B 5．B 【详解】不等式化为， 当时，不等式无解， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则， 综上的取值范围是． 故选：. 6．B 【详解】， 当且仅当，即，时等号成立 故选：B 7．A 【详解】解：∵，∴， ∴ 当且仅当，即时取等号， ∵当时，不等式恒成立，∴只需． ∴的取值范围为：． 故选A． 8．D 【详解】由题意知，对任意的恒成立， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当或时，函数取得最大值，即，. 故选：D. 9．BCD 【详解】因为关于的不等式解集为， 所以和是方程的两个实根，且，故错误； 所以，，所以， 所以不等式可化为，因为，所以，故正确； 因为，又，所以，故正确； 不等式可化为，又， 所以，即，即，解得,故正确. 10．AD 【详解】A选项：当时，，，当且仅当时等号成立， A选项正确； B选项：当时，，则， 当且仅当即时等号成立，B选项错误； C选项：当时，的最小值是2；当时，的最大值是， C选项错误； D选项：当，，， 当且仅当时等号成立,D选项正确. 故选：AD. 11．BCD【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项. 【详解】因为函数，所以的值城为，故A不正确； 因为函数，所以的定义域为，故B正确； 因为，所以，故C正确； 对于任意一个非零有理数，若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确， 故选：BCD. 12． 13． 【详解】当m=0时不等式为,显然对于任意实数x恒成立； 当m≠0时，不等式对任意实数x恒成立等价于, 解得, 所以m的取值范围是, 故答案为：. 14.17 15．（1）既不充分也不必要条件；（2）或或 【解析】（1）当时，分别化简集合A和B，利用定义可判断出集合A是B的既不充分也不必要条件； （2）分和两种情况，利用A是B的必要不充分条件，求出a的值． 【详解】（1）当时，， 则集合A是B的既不充分也不必要条件； （2）当时，，满足题意； 当时，，若A是B的必要不充分条件，则或，解得或 综上可得：或或 16．长设计为时，可使总造价最低 【详解】解：设泳池的长为，则宽为， 则总造价， 整理得到， 当且仅当时等号成立．即泳池的长设计为时，可使总造价最低． 答：泳池的长设计为时，可使总造价最低． 17．（1）；（2）. 【详解】（1）. ∵，，，∴，，，. 又，∴.∴. （2）∵，，，∴， 当且仅当即当时等号成立. 故的取值范围是. 18．【详解】（1）因为不等式的解集是. 所以是方程的解，由韦达定理得：， 故不等式为，解得其解集为或. （2）由（1）知，， 所以 ，所以. 19．(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数， 令， 则， 所以. （2）由（1）知， 即不等式转化为， 则， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$