广东省2025年1月高中合格性学业水平考试数学模拟测试（一）

第 1 页 共 7 页 2025 年 1 月广东省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟试卷 一、选择题:（本大题共 12 小题，每小题 6分，共 72 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则 A∪B＝（ ） A．{﹣1，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2} 【答案】D． 2.函数 0)2(  xy 的定义域是（ ）. A、(—∞, -2]U [-2,+∞) B 、(—∞, -2)U (-2,+∞) C、(—∞, 2)U ( 2,+∞) D、(—∞, -2)U (2,+∞) 答案：B 3.已知 tan� = 2，则 sin�cos� =（ ） A．− 2 5 B．− 5 2 C．5 2 D．2 5 【解题思路】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin�cos�的值. 【解答过程】因为 tan� = 2， 则 sin�cos� = sin�cos� sin2�+cos2� = tan� tan2�+1 = 2 5 . 故选：D. 4.命题“x  0, x 2  x  1 0 ”的否定为（） A．x  0, x2  x 1  0 B．x  0, x 2  x  1 0 C．x  0, x 2  x  1  0 D．x  0, x2  x  1  0 答案：D 第 2 页 共 7 页 5.下列图像中，为奇函数的是（ ）. 【答案】C 6.不等式 01272  xx 的解集是（ ）. A． }43|{  xx B． }43|{  xx C． }43|{  xx D． }43|{  xx 答案：C. 7.要得到 ) 4 2sin(3  xy 的图象只需将 3sin 2y x 的图象（ ） A．向左平移 4  个单位 B．向右平移 4  个单位 C．向左平移 8  个单位 D．向右平移 8  个单位 【答案】C 8.方程 ln(log2�) = 0的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．0 【解题思路】利用指数与对数的转化即可得到结果. 【解答过程】∵ln(log2�) = 0， ∴log2� = e0=1， ∴� = 2. 9.cos30°cos60°+ sin30°sin60°=（ ）. A、- B 、- C、 D、 答案：D 第 3 页 共 7 页 10.3 � + � − 2 � − � − � =（ ） A．5� B．5� C．−5� D．−5� 【解题思路】根据向量运算加减法的运算公式，即可求解. 【解答过程】根据向量运算公式可知， 3 � + � − 2 � − � − � = 3� + 3� − 2� + 2� − � = 5� . 故选：B. 11.从某班所有同学中随机抽查 10 人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据 如下:4，8，5，7，8，4，8，9，7，10，根据这组数据，下列说法正确的是（ ）. A 、众数是7 B 、平均数是 7 C 、第 85百分位数是8.5 D 、中位数是 8 答案：B 12.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ ⊥ ”是 “m⊥  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 当α⊥β时，平面α内的直线 m不一定和平面β垂直，但当直线 m垂直于平面β 时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β” 的必要不充分条件． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 13.已知复数 z= — i +3，则 │z│ = . 答案： 10 . 14.已知函数   34  xxf ，则  3f = . 答案：3 第 4 页 共 7 页 15.函数 ) 4 2tan()(  xxf 的最小正周期为 . 答案： 2  16.已知 x>0，y>0，如果 xy＝16，那么 x＋y的最小值为 . 【答案】8 17.某校共有学生 1200名，其中男生 700名，女生 500名。为了解该校学生的安 全意识情况，采用分层抽样方法，从全校学生中抽取 60名进行调查，则应抽取 的女生人数为 . 【答案】25. 18.在直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 2AB  ， 2 3AC  ， 4BC  ， 1 8AA  ，则该直三棱 柱的外接球的表面积为 ． 【答案】80π 【解析】因为 2AB  ， 2 3AC  ， 4BC  ，则 2 2 2AB AC BC  ，则 AB AC ， 将直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 补成长方体 1 1 1 1ABDC A B DC ，如下图所示： 所以，直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 的外接球直径为 2 2 2 12 4 12 64 4 5R AB AC AA       ， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为  224π π 2 80πR R   . 故答案为：80π . 第 5 页 共 7 页 三、解答题（本大题共 4 个大题，第 19－21 题各 10 分，第 22 题 12 分，共 42 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 19. 已知在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c ，b=4 3，c= 12， . (1)求B； (2)求△ABC的周长. 答案：(1)B=30°，(2)周长为 12 3 +12. 解：（1）由正弦定理可得 C c B b sinsin  ，所以， 2 1sinsin  c CbB ， 因为 b<c，故 B=30°. （2）由（1）可知  180 90A B C    ，所以， 38a 22  cb . △ABC的周长为 a+b+c=12 3 +12. 20.某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为 2.6公里，收费 10元；若超过 2.6公里 的，每公里按 2.4元收费. （1）设 A地到 B地的路程为 4.1公里，若搭乘出租车从 A地到 B地，需要付费多少？ （2）若某乘客搭乘出租车共付费 16元，则该出租车共行驶了多少公里？ 【答案】（1）13.6元 （2）5.1公里 【解析】 【分析】（1）设出租车行驶 x公里，根据题设写出付费额 ( )f x 的分段函数形式，进而求从 A 地到 B地需要的付费； （2）由题意出租车行驶公里数 2.6x  ，结合解析式列方程求该出租车共行驶的公里数. 【详解】 （1）设出租车行驶 x公里，则付费额 10,0 2.6 ( ) 10 2.4( 2.6), 2.6 x f x x x        ， 所以 (4.1) 10 2.4 (4.1 2.6) 13.6f      元. （2）由题意，出租车行驶公里数 2.6x  ， 令10 2.4( 2.6) 16x   ，则 5.1x  公里. 第 6 页 共 7 页 21.甲,乙两组各 4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛,他 们答对的题目个数用茎叶图表示,如图,中间一列的数字表示答对题目个数的十位 数,两边的数字表示答对题目个数的个位数. (1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差; (2)分别从甲,乙两组中各抽取一名同学,求这两名同学答对题目个数之和为 20的 概率. 【解】(1)由题图可得,甲组答对题目的个数:8,9,11,12, ∴�甲 = 8+9+11+12 4 =10, ..............................2分 � 甲 2 = 1 4 ×[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=5 2 . ....................................5分 (2)由题图可得,乙组答对题目的个数:8,8,9,11, 设事件“两名同学答对题目个数之和为 20”为事件 A,以(x,y)记录甲,乙两组同学答 对题目的个数,满足“从甲、乙两组中各抽取一名同学”的事件有 8,8 , 8,8 , 8,9 , 8,11 , 9,8 , 9,8 , 9,9 , 9,11 , 11,8 , 11,8 , 11,9 , 11,11 , 12,8 , 12,8 , 12,9 , 12,11 , 共 16种. ..........................................................................................7分 满足事件 A的基本事件为 9,11 , 11,9 , 12,8 , 12,8 ,共 4种,∴P(A)= 4 16 = 1 4 . 所 以 两 名 同 学 答 对 题 目 个 数 之 和 为 20 的 概 率 为 1 4 . .................................................10分 第 7 页 共 7 页 22.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA AB , PA AD , AC CD , 60oABC  , PA=AB=BC=2, E是 PC 的中点. (1) 证明: PA CD (2)求三棱锥 P-ABC 的体积 (3) 证明: AE PCD平面 【 答 案 】 解 ：（ 1 ） 证 明 ： ABPA  ， ADPA  ， AADAB  ， ABCDADAB 平面, ABCDPA 平面 又 ABCDCD 平面 CDPA  （2）由（1）知 ABCDPA 平面 3 32260sin22 2 1 3 1sin 2 1 3 1 3 1   PAABCBCABAPSV ABCABCP （3）证明： CDPA  ， CDAC  ， AACPA  ， PACACPA 平面, PACCD 平面 又 PACAE 平面 AECD   60,2  ABCBCAB ABC 为等边三角形，且 2AC 2 ACPA 又 E为 PC的中点 PCAE  又 CDAE  ， CCDPC  ， PCDCDPC 平面, PCDAE 平面 . 第 1 页 共 4 页 2025 年 1 月广东省普通高中学业水平合格性考试 数学模拟试卷 一、选择题:（本大题共 12 小题，每小题 6分，共 72 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0}，则 A∪B＝（ ） A．{﹣1，1，2} B．{0，1，2} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2} 2.函数 )2(  xy 的定义域是（ ）. A、(—∞, -2]U [-2,+∞) B 、(—∞, -2)U (-2,+∞) C、(—∞, 2)U ( 2,+∞) D、(—∞, -2)U (2,+∞) 3.已知 tan� = 2，则 sin�cos� =（ ） A．− 2 5 B．− 5 2 C．5 2 D．2 5 4.命题“x  0, x 2  x  1 0 ”的否定为（） A．x  0, x2  x 1  0 B．x  0, x 2  x  1 0 C．x  0, x 2  x  1  0 D．x  0, x 2  x  1  0 5.下列图像中，为奇函数的是（ ）. 第 2 页 共 4 页 6.不等式 01272  xx 的解集是（ ）. A． }43|{  xx B． }43|{  xx C． }43|{  xx D． }43|{  xx 7.要得到 ) 4 2sin(3  xy 的图象只需将 3sin 2y x 的图象（ ） A．向左平移 4  个单位 B．向右平移 4  个单位 C．向左平移 8  个单位 D．向右平移 8  个单位 8.方程 ln(log2�) = 0的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．0 9.cos30°cos60°+ sin30°sin60°=（ ）. A、- B 、- C、 D、 10.3 � + � − 2 � − � − � =（ ） A．5� B．5� C．−5� D．−5� 11.从某班所有同学中随机抽查 10 人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据 如下:4，8，5，7，8，4，8，9，7，10，根据这组数据，下列说法正确的是（ ）. A 、众数是7 B 、平均数是 7 C 、第 85百分位数是8.5 D 、中位数是 8 12.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ ⊥ ”是 “m⊥  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 第 3 页 共 4 页 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 13.已知复数 z= — i +3，则 │z│ = . 14.已知函数   34  xxf ，则  3f = . 15.函数 ) 4 2tan()(  xxf 的最小正周期为 . 16.已知 x>0，y>0，如果 xy＝16，那么 x＋y的最小值为 . 17.某校共有学生 1200名，其中男生 700名，女生 500名。为了解该校学生的安 全意识情况，采用分层抽样方法，从全校学生中抽取 60名进行调查，则应抽取 的女生人数为 . 18.在直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 2AB  ， 2 3AC  ， 4BC  ， 1 8AA  ，则该直三棱 柱的外接球的表面积为 ． 三、解答题（本大题共 4 个大题，第 19－21 题各 10 分，第 22 题 12 分，共 42 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 19. 已知在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c ，b=4 3，c= 12， . (1)求B； (2)求△ABC的周长. 20.某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为 2.6公里，收费 10元；若超过 2.6公里 的，每公里按 2.4元收费. （1）设 A地到 B地的路程为 4.1公里，若搭乘出租车从 A地到 B地，需要付费多少？ （2）若某乘客搭乘出租车共付费 16元，则该出租车共行驶了多少公里？ 第 4 页 共 4 页 21.甲,乙两组各 4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛,他 们答对的题目个数用茎叶图表示,如图,中间一列的数字表示答对题目个数的十位 数,两边的数字表示答对题目个数的个位数. (1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差; (2)分别从甲,乙两组中各抽取一名同学,求这两名同学答对题目个数之和为 20的 概率. 22.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA AB , PA AD , AC CD , 60oABC  , PA=AB=BC=2, E是 PC 的中点. (1) 证明: PA CD (2)求三棱锥 P-ABC 的体积 (3) 证明: AE PCD平面