四川省成都市石室成飞中学2024-2025学年高三上学期数学周考（一）

石室成飞中学2024—2025学年上期高2022级数学周考（一） 时间：120分钟；满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 2．二项式展开式中含x项的系数是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 5已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．设，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底的长､宽比下底的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（    ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨） A．51车 B．52车 C．54车 D．56车 8．已知若为定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 2、 多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.全对得6分，选错得零分. 9．下列命题正确的（    ） A．若复数，则 B．若，，则复数的虚部是2i C．若是关于x的实系数方程的根，则 D．若，则的最小值为1 10．近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ） A．图中 B．在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人 C．估计短视频观众的平均年龄为32岁 D．估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁 11．定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．在区间上单调递增 C． D．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为12 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知甲､乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于 . 13．已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 ． 14．已知数列是满足，且，，数列，且对任意，，，则的值是 . 四、解答题:本题共5小题，共77分. 15．(13分)随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示： 应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计 广泛应用 60 50 110 没有广泛应用 40 50 90 合计 100 100 200 (1)根据小概率的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？ (2)用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．（15分）已知的内角的对边分别为. (1)求角； (2)若的面积为，求的长. 17．（15分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 18．（17分）在如图所示的几何体中，平面平面，记为中点，平面与平面的交线为． (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积与几何体的体积满足关系为上一点，求当最大时，直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19．（17分）已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，. (1)求的方程； (2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值. (3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D A B D C ACD CD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解. 【详解】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为， 故选：. 2．C 【分析】根据二项式定理写出通项公式进而求解. 【详解】二项式的通项公式， 令，则. 则二项式展开式中含x项的系数是. 故选：C 3．A 【分析】先利用算出，然后利用平方差公式对进行化简即可得到答案 【详解】解：因为，且，所以， 所以， 故选：A 4．C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 5．D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6．A 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性证明，利用对数函数单调性证明，即可得到正确结论. 【详解】指数函数，为减函数， ∴， ∵幂函数为增函数， ∴， ∴， ∵对数函数为减函数， ∴，即， ∴. 故选：A. 7．B 【分析】由图形直接解出上下底面及中截面面积，再由解出拟柱体的体积，最后结合实际求出需要的卡车数量即可. 【详解】由条件可知：上底长为米，宽为米；中截面长米，宽米； 则上底面积平方米，中截面积平方米， 下底面积平方米， 所以该建筑材料的体积为(立方米)， 所以建筑材料重约（吨）， 需要的卡车次为，所以至少需要运车. 故选：B 8．D 【分析】设，可得为偶函数，又时,，所以在上单调递增，在上单调递减，由，可得，即，由单调性可得出答案. 【详解】设，为定义在上的偶函数，则为偶函数. 当时，,,所以在上单调递增. 由为偶函数，则在上单调递减. 由，即 所以，由为偶函数，即 又在上单调递减，所以，解得： 故选：D 【点睛】本题考查构造函数，根据导数得出单调性，结合函数为偶函数解不等式，本题根据条件构造出函数是关键，属于中档题. 9．ACD 【分析】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，，，虚部为，B选项错误. C选项，由于是关于x的实系数方程的根， 则是关于x的实系数方程的根， 所以，解得，所以，C选项正确. D选项，表示对应点与点的距离为， 表示对应点与点的距离，结合图象可知，的最小值为， 所以D选项正确. 故选：ACD.    10．CD 【分析】根据频率和为可构造方程求得，知A错误；由频率和频数的关系可求得观众年龄在岁的人数，知B正确；由平均数和百分位数的估计方法可验证知CD正确. 【详解】解：对于A，，，A错误； 对于B，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在岁的人对应频率为， 短视频观众年龄在岁的有人，B错误； 对于C，平均年龄，C正确； 对于D，设分位数为，则，解得：，D正确. 故选：CD. 11．AC 【分析】根据函数是偶函数及对称性得出函数周期及对称性判断A,根据函数值结合对称性判断C,应用函数对称性结合单调性判断B,数形结合判断的图象与的图象所有交点个数再结合对称性判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 故，所以，故的图象关于直线对称，故A正确. 对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为， 故当时，，故，故B错误. 对于C，由是周期为2的函数可得：，故C正确. 对于D，因为，故的图象关于对称， 而，且时，此时在上为增函数， 故图象如图所示：    由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10，故D错误. 故选：AC 12．8 【分析】根据百分位数和中位数的定义即可列出式子计算求解. 【详解】因为，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数， 乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数， 根据题意可得，解得． 故答案为：8. 13．且 【分析】根据向量与向量的夹角为钝角，可得，且向量与向量不共线，即可求得答案. 【详解】由题意得， 向量与向量的夹角为钝角，即，且向量与向量不共线， 则 ，且 ， 故 ，且 ， 解得且， 故答案为：且 14．或 【分析】由条件证明数列为等差数列，由已知求数列的通项公式，由此确定数列的通项公式，再求. 【详解】因为， 所以数列为等差数列，设数列的公差为， 因为，， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为， 因为对任意，， 所以，， 所以对任意，，且，， 因为，所以或， 当时，， 所以 ， 所以， 所以， 当时，， 所以 ， 所以， 所以. 故答案为：2023或-2023. 15．(1)无关； (2)且；． 【分析】（1）计算出，对照临界值表即可作出判断； （2）根据二项分布概率公式即可得分布列，由和，列不等式组求解可得k. 【详解】（1）零假设企业招聘人数的增减与应用的广泛性无关， 因为， 所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性无关． （2）由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用的概率为，没有广泛应用的概率为， 因为， 所以X的分布列为且． 若是最大值，则且， 根据， 即，整理得，解得, 又且，所以． 即使取得最大值时k的值为18. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和的性质，以及正弦定理，得到，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，利用面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 因为 所以， 又由正弦定理得，根据余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：因为的面积为， 可得，所以， 由余弦定理可知，所以. 17．(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对求导得，对分和来讨论的单调性即可； （2）要证，只需证，结合（1）的结论得，即证恒成立. 令，利用导数求出的最大值即可得证. 【详解】（1），定义域为， 则， ①当时，在上单调递增； ②当时， 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 综上，①当时，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，要证，只需证， 由（1）得，， 即证恒成立. 令，则 当时，单调递增， 当时，单调递减， 的最大值为，即. 恒成立，原命题得证. 18．(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理及性质定理可证. （2）根据条件求出长度，建立空间直角坐标系，用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，利用导数求出最大值. 【详解】（1）因为平面平面，所以, 又平面，平面，所以平面, 又平面，且平面与平面的交线为，所以， 所以平面. （2）设，取的中点O，因为，所以， 因为为中点，所以到平面的距离为， 因为平面，平面， 所以平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， ，，又 即，解得， ，当且仅当，即时取等号， 所以当最大时, 如图建立空间直角坐标系，则, 设，则，， 设平面的一个法向量， 因为，所以，令，则， 即， 设直线与平面所成角为， 所以， 令，则， 令，则，所以， 函数y在上为增函数，在上为减函数， 所以当时，即， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19．(1)； (2)； (3)存在. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式求解即得. （3）设出双曲线的两条切线方程，与双曲线方程联立，结合判别式求出两条切线交点的轨迹方程，再判断与圆的位置关系即可得解. 【详解】（1）由对称性知，双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，设， 显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为， 由消去x得， 显然，， 则，即， 所以. （3）圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直. 若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0， 设双曲线的两条切线分别为， 将代入消去得：， 由得，解得， 因此，设两条切线的交点坐标为， 则，即有，且， 即， 于是是方程的两根， 而，则，即，从而两条切线们交点的轨迹为圆， 而的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为3， 显然，满足，即圆与圆相交， 所以圆上存在点，使得过作双曲线的两条切线互相垂直. 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$