2.1等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 学习目标： 1. 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的数量关系. 2. 了解不等式（组）的实际背景. 3. 了解不等式一些基本的性质. 教学重点： 1. 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题. 2. 理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 教学难点： 用不等式（组）正确表示出不等关系. 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，如： 1、今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃； 2、三角形ABC的两边之和大于第三边； 3、a是一个非负实数。 在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？ 7℃≤t≤13℃ AB+AC>BC或…… a≥0 新课引入 4、右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是： 5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( ) 0 <v≤40 A.f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3% B.f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3% C. B,C 练习：用不等式表示下面的不等关系： 1、a与b的和是非负数； 2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m” 想一想,你还能举出哪些相似的例子? a+b≥0 H≤4 探究一：不等关系及其表示 事实上，在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 在上述所有的不等号中，要特别注意“≤”“≥”两个符号的含义.如果a,b是两个实数，那么a≥b即为a＞b或a＝b；a≤b即为a＜b或a＝b. 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某路段限速40km/h； 解：对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40. (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应该不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； 对于(2)，由题意，得 （半个大括号表示同时.） (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； 对于(3)，设∆ABC的三条边为a，b，c，则a＋b＞c，a﹣b＜c. (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于(4)，如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE. 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 分析：首先要统一单位，第一句是从“元”到“万”，所以第二句中的2000应该改为0.2万. 解：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为 万元.于是，不等关系 “销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围. 探究2　比较数或式子的大小 例2.已知x＜y＜0，比较（x2＋y2）（x－y）与 （x2－y2）（x＋y）的大小． [解析]　∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴（x2＋y2）（x－y）－（x2－y2）（x＋y）＝－2xy（x－y）＞0， ∴（x2＋y2）（x－y）＞（x2－y2）（x＋y）． 问题与探究 13 比较两个实数（或代数式）大小的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式子）作差； （2）变形：对差进行变形（因式分解、通分、配方等）； （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； （4）作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提． 归纳总结 14 1.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是 （　　） A.M>N　　　　　B.M＝N C.M<N D.与x有关 A　 跟踪训练 15 跟踪训练 16 [解析]2.x2＋y2＋1－2（x＋y－1） ＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2 ＝（x－1）2＋（y－1）2＋1＞0， ∴x2＋y2＋1＞2（x＋y－1）． （ ） （ ） 18 1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x（x≥0）人，瓦工y（y≥0）人，则关于工资x，y满足的不等关系是（　　） A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 当堂达标 答案：D 当堂达标 3.已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 设用xkg的甲种食物与ykg的乙种食物配成混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位的维生素A和63000单位的维生素B.试用不等式组表示x，y所满足的不等关系. 当堂达标 当堂达标 4.将一个三边长度分别为5，12，13的三角形的各边都缩短x，构成一个钝角三角形，试用不等式（组）表示x应满足的不等关系. 当堂达标 当堂达标 当堂达标 探究三：一个重要不等式 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 答：相等关系为直角三角形为等腰直角三角形时，4个三角 形的面积和等于正方形的面积. 不等关系为直角边不相等时，4个三角形的面积和小于 正方形的面积. 将图中2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a，b（a≠b），那么正方形的边长为 .这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a²+b².由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a²+b²＞2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a²+b²=2ab. 于是就有a²+b²≥2ab. 一般地， ，有a²+b²≥2ab 当且仅当a＝b时，等号成立. 事实上，利用完全平方差公式，得a²+b²-2ab=(a-b)². 因为 ，(a-b)² ≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a²+b²-2ab≥0.因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 要点四　等式性质与不等式性质的比较 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a a>b⇔________ a＝b，b＝c⇒a＝c a>b，b>c⇒________ a＝b⇔a＋c＝b＋c a>b⇔________ a＝b⇒ac＝bc a>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________❹ a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋d a>b，c>d⇒__________❺ a＝b，c＝d⇒ac＝bd a>b>0，c>d>0⇒________ a＝b≥0⇒an＝bn a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) b<a a>c a＋c>b＋c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 29 助 学 批 注 批注❶　不等符号“≤”是指“<”或者“＝”． 批注❷　不等符号“≥”是指“＞”或者“＝”． 批注❸　比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关． 批注❹　要特别注意“乘数c的符号”．例如当c≠0时，若a>b，则ac2>bc2；若无c≠0这个条件，若a>b，则ac2>bc2就是错误的． 批注❺　同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减． 30   × × × × 31 2．某路段竖立的 的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为(　　) A. v＜60 B．v＞60 C．v≤60 D．v≥36 答案：C 32 3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A. M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 答案：A   33   ＜ ＜   34 探究点2 不等式的性质的应用 你还能想出 其他证明方法吗 证明： 还可以利用作差法. 课堂小结： 回顾本节课学习了哪些内容呢？ 本节课学习了用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，掌握了不等式的性质，并能运用性质解决有关问题，以及学会了用作差法比较两实数的大小. 37 [解析]　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)>0， ∴M>N，故选A． 2.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小； 3.设a∈R且a≠0，比较a与eq \f(1,a)的大小． 3.由a－eq \f(1,a)＝eq \f(a－1a＋1,a) 当a＝±1时，a＝eq \f(1,a)； 当－1＜a＜0或a＞1时，a＞eq \f(1,a)； 当a＜－1或0＜a＜1时，a＜eq \f(1,a). 答案：A 2.若A=+3与B=+2,则A与B的大小关系是(　　) A.A>B B.A<B C.A≥B D.不确定 解析：由于A-B=+3->0, 所以A>B,故选A. 食　物 甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg) 800 400 解析：由题意知x kg的甲种食物中含有维生素A 600x单位,含有维生素B 800x单位,y kg的乙种食物中含有维生素A 700y单位,含有维生素B 400y单位,则x kg的甲种食物与y kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x+700y)单位,含有维生素B (800x+400y)单位, 则有 解析：各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此5-x>0.而要构成三角形, 还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所 对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2, 故x应满足的不等关系为 5.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小: (1)2x2+3与x+2,x∈R; (2)a+2与,a∈R,且a≠1. 解析(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2>0, 所以2x2+3>x+2. (2)(a+2)-.由于a2+a+1=>0, 所以当a>1时,>0,即a+2>; 当a<1时,<0,即a+2<. 故当a>1时,a+2>;当a<1时,a+2<. $$