1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标 2 3 一:全称量词命题的否定 全称量词命题p ﹁p 结论 ∀x∈M,p(x) _ 全称量词命题的 否定是存在量词命题 ∃x∈M,﹁ p(x) 4 关键能力 合作学习 类型一 全称量词命题的否定(逻辑推理) 【题组训练】 1.命题“∀x∈Z,x∈R”的否定是 ( ) A.∀x∈Z,x∉R B.∃x∈Z,x∈R C.∀x∉Z,x∉R D.∃x∈Z,x∉R 2.命题“∀x∈A,|x|+1≥1”的否定是_. 5 3.写出下列全称量词命题的否定,并判断真假: (1)∀x∈R,1- ≤1. (2)所有的正方形都是矩形. (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3. (4)正数的绝对值是它本身. 6 【解析】1.选D.全称量词命题的否定是存在量词命题,所以“∀x∈Z,x∈R”的否定是∃x∈Z,x∉R. 2.命题“∀x∈A,|x|+1≥1”是全称量词命题,它的否定是“∃x∈A,|x|+1<1”. 答案:∃x∈A,|x|+1<1 7 3.(1)该命题的否定:∃x∈R,1- >1, 因为∀x∈R, ≥0,所以- ≤0, 1- ≤1恒成立,所以这是一个假命题. (2)该命题的否定:至少存在一个正方形不是矩形,假命题. (3)该命题的否定:至少存在一个x∈Z,x2的个位数等于3,因为02=0,12=1,22=4,32=9,42=16,52=25,62=36,72=49,82=64,92=81,…,所以这是一个假命题. 8 (4)该命题省略了量词“所有的”,该命题是全称量词命题,它的否定:有的正数的绝对值不是它本身.这是一个假命题. 9 【解题策略】 1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等. 2.全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可. 10 【拓展延伸】 常见的词语的否定: 原词 否定词 原词 否定词 等于 不等于 至多一个 至少两个 大于 不大于 至少一个 一个也没有 小于 不小于 任意 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 11 【拓展训练】 已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p: ∈(A∪B),则命题﹁p是_. 【解析】因为p: ∈(A∪B), 所以﹁p: ∉A且 ∉B, 即﹁p: ∈(∁UA)∩(∁UB). 答案: ∈(∁UA)∩(∁UB) 12 【补偿训练】 1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.已知命题∀x∈A,2x∈B,则该命题的否定是 ( ) A.∃x∈A,2x∈B B.∃x∉A,2x∈B C.∃x∈A,2x∉B D.∃x∉A,2x∉B 【解析】选C.“∀x∈A,2x∈B”是全称量词命题,它的否定是“∃x∈A,2x∉B”. 13 2.写出下列全称量词命题的否定: (1)对所有正数x, >x+1. (2)∀x∈R,x3+1≠0. (3)所有被5整除的整数都是奇数. (4)每一个四边形的四个顶点共圆. 【解析】(1)该命题的否定:存在正数x, ≤x+1. (2)该命题的否定:∃x∈R,x3+1=0. (3)该命题的否定:存在一个被5整除的整数不是奇数. (4)该命题的否定:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆. 14 写出下列命题的否定 (1)存在一个实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3)∃x∈R,x2-2x+3=0. 它们与原命题在形式上有什么变化? (1)的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”, 即“所有实数的绝对值都不是正数”; (2)的否定:“每一个平行四边形都不是菱形”; 二:存在量词命题的否定 15 写出下列命题的否定 (1)存在一个实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3)∃x∈R,x2-2x+3=0. 它们与原命题在形式上有什么变化? 存在量词命题的否定 (3)的否定:∀x∈R,x2-2x+3≠0. 存在量词命题的否定变成了全称量词命题. 16 存在量词命题的否定 存在量词命题的否定 x∈M,p(x) 命题的否定 不存在x∈M,p(x) 也就是 x∈M,p(x)不成立 存在量词命题 全称量词命题 把“存在一个”“至少有一个”等存在量词,变成“不存在”“没有一个”等短语 换量词,否结论. 17 【例4】写出下列全称量词命题的否定. (1)∃x∈R,x+2≤0; ∀x∈R,x+2>0; (2)有的三角形是等边三角形; 所有的三角形都不是等边三角形; (3)有一个偶数是素数. 任意一个偶数都不是素数. 存在量词命题的否定 18 【例5】写出下列命题的否定,并判断真假. (1)任意两个等边三角形都相似; (2)∃x∈R,x2-x+1=0; 命题的否定:∀x∈R,x2-x+1≠0. 因为任意两个等边三角形的三边成比例,所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题. 因为对于任意x∈R,x2-x+1= ,所以这是一个真命题. 命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似. 存在量词命题的否定 19 练一练 1.写出下列全称量词命题的否定: (1)p:每一个四边形的四个顶点共圆; 解:(1) 存在一个四边形,它的四个顶点不共圆. 练一练 1.写出下列全称量词命题的否定: (2)q:所有自然数的平方都是正数; 解:(2) 有些自然数的平方不是正数. 练一练 1.写出下列全称量词命题的否定: (3)s:任何实数x都是方程5x-12=0的根; 解:(3) 存在实数x不是方程5x-12=0的根. 练一练 1.写出下列全称量词命题的否定: (4)x:对任意实数x: 解:(4) 存在实数x,使得 练一练 2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假 (1)有些实数的绝对值是正数; 解:(1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. 练一练 2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假 (2)有些平行四边形是菱形; 解:(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题. 练一练 2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其否定的真假 (3) 解:(3)命题的否定是“ ”.当x=0;y=3时, ,因此命题的否定是假命题. 1.理解全称量词命题与存在量词命题与其否定之间的关系 2.能正确使用量词对命题进行否定,并判断其真假(重点) 3.应用含量词的命题的否定求参数的取值范围(重难点) “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词. 2009年11月23日《人民日报》的《创新,从敢于否定开始》一文中有这样一段话:“培养一流创新人才,敢于否定的精神非常重要.一旦下定决心进行研究,首先就要敢于否定别人的成果,并想一想:前人的成果有哪些是不对的,有什么方面可以改善,有什么地方可以加强.” 结合上述这段话,谈谈你对“否定”一词的认识,并由此猜想“命题的否定”是什么意思. $$