精品解析：2024-2025学年人教版九年级上册期中水平测试数学模拟试卷（ ）

2024-2025学年第一学期九年级期中水平测试数学模拟试卷 （测试范围：第21章—第23章） 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 下面图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2，3 D. 1，2， 3. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝（　　） A. ﹣1 B. 4 C. ﹣4 D. 1 4. 用配方法方程时，变形正确的方程为(　　) A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 6. 在抛物线上有、、三点，若抛物线开口向下，则、和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（    ）. A. B. － C. － D. 8. 如图，是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于( ) A. 2 B. C. D. 1 9. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ） A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 10. 二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 方程解是______． 12. 二次函数的图象如图所示，则方程的两根为______． 13. 若二次函数的图象开口向下，则m的值为_____． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为_____． 15. 某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________________． 16. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________． 三．解答题（共9小题，满分74分） 17. 解方程：3x2﹣2x﹣1=0． 18. 已知：关于x的方程x2+4x+（2-k）=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根． 19. 如图，画出关于原点对称的△，并写出点、、的坐标． 20. 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD． （1）试判断△CBD的形状，并说明理由； （2）求∠BDC的度数． 21. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量） 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点． （1）抛物线与x轴的交点坐标为 ； （2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时P点的坐标． 23 如图，已知中，，先把绕点B顺时针旋转至后，再把沿射线平移至相交于点H． （1）判断线段的位置关系，并说明理由； （2）连接，求证：四边形是正方形． 24. 已知：二次函数图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O， （1）求这个二次函数的解析式； （2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若，，求的值． （3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得的面积等于，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期九年级期中水平测试数学模拟试卷 （测试范围：第21章—第23章） 一．选择题（共10小题，满分30分） 1. 下面图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B．图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C．图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项选符合题意； D．图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：C． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，，3 C. 1，2，3 D. 1，2， 【答案】A 【解析】 【分析】先将原方程化为一般形式，再求解即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，， 故选：A． 3. 点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b＝（　　） A. ﹣1 B. 4 C. ﹣4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，然后再计算a+b 即可． 【详解】∵点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称， ∴a=4，b=﹣3， ∴a+b=1， 故选D． 【点睛】考查关于原点对称的点的坐标特征，横坐标、纵坐标都互为相反数． 4. 用配方法方程时，变形正确的方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程；把常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 将抛物线向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，解题关键是掌握上加下减（在常数项后面），左加右减（在x后面）．本题将抛物线解析式化为顶点式后再在括号里加2进行变形即可． 详解】解：∵， ∴将抛物线向左平移2个单位后，解析式为，   故选：D ． 6. 在抛物线上有、、三点，若抛物线开口向下，则、和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定抛物线的对称轴为，开口向下，抛物线上的点与对称轴距离越远，相应的函数值越小． 【详解】解：抛物线对称轴为， ∵，开口方向向下， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解二次函数的对称轴，增减性是解题的关键． 7. 若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（    ）. A. B. － C. － D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据根与系数的关系可得出α+β=-、αβ=-3，将其代入=中即可求出结论． 详解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根， ∴α+β=-，αβ=-3， ∴===． 故选C． 点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键． 8. 如图，是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于( ) A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质推出AC=AB，∠CAB=60°，根据旋转的性质得出△CQA≌△BPA，推出AQ=AP，∠CAQ=∠BAP，求出∠PAQ=60°，得出△APQ是等边三角形，即可求出答案． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB，∠CAB=60°， ∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC, ∴△CQA≌△BPA， ∴AQ=AP，∠CAQ=∠BAP， ∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAQ=60°， 即∠PAQ=60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴QP=PA=2， 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△APQ是等边三角形，注意“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于60°． 9. 已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（ ） A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】x2-8x+15=0， 分解因式得：（x-3）（x-5）=0， 可得x-3=0或x-5=0， 解得：x1=3，x2=5， 若3为底边，5为腰时，三边长分别为3，5，5，周长为3+5+5=13； 若3为腰，5为底边时，三边长分别为3，3，5，周长为3+3+5=11， 综上，△ABC的周长为11或13． 故选B 10. 二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向及与轴交点的位置，即可得出、，进而可得出，结论①错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当时，随的增大而增大，结论②错误；由抛物线对称轴为直线，即可得出，进而可得出，结论③正确；由函数图像与x轴有两个交点，可得出，结论④错误；由当时，可得出，结论⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】∵抛物线开口向上，且与轴交于负半轴， ∴， ∴，结论①错误； ∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，结论②错误； 抛物线对称轴为直线1， ∴， ∴， ∴，结论③正确； ∵函数图像与x轴有两个交点， ∴，结论④错误； ∵当时，， ∴，结论⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再系数化1，最后利用直接开平方法求解，即可解题． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 二次函数的图象如图所示，则方程的两根为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图象得到抛物线与x轴的一交点坐标为，对称轴方程为x=1，则抛物线与x轴的另一交点坐标与关于直线x=1对称，可得出另一交点的坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为，对称轴方程为x=1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标与关于直线x=1对称， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标． ∴方程的两根为：． 故答案是：． 13. 若二次函数的图象开口向下，则m的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义和的图象与性质，掌握当时图象开口向上，当时图象开口向下，是解题关键；本题根据且，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴，， ∴ 故答案为：5 ． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为_____． 【答案】k≤4且k≠1 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义知：，由一元二次方程有实数根知： ，从而通过解不等式组得到答案． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实数根 所以 由得 ，解 得 所以实数k的取值范围为：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的逆定理，熟练掌握逆定理是关键，防止学生考虑问题不全面． 15. 某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：，故答案为． 考点：1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题． 16. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________． 【答案】（36，0） 【解析】 【详解】根据勾股定理得AB=.根据旋转的规律可得：（1）图①、③④、⑥⑦、⑨⑩中的直角顶点在x轴上；（2）△AOB的旋转三次完成一个循环，所以第九次完成后，直角三角形完成了3个循环，每个循环中，直角三角形向前移动12个单位长度.所以图⑨中的直角顶点的坐标为（36,0）.又因为图⑩中的直角顶点与图⑨中的直角顶点是同一个，所以图⑩的直角顶点的坐标为（36,0） 三．解答题（共9小题，满分74分） 17. 解方程：3x2﹣2x﹣1=0． 【答案】． 【解析】 【分析】利用因式分解法将方程左边因式分解即可求解. 【详解】解：将方程左边因式分解得：（x﹣1）（3x+1）=0， ∴x﹣1=0或3x+1=0， 解得：． 18. 已知：关于x的方程x2+4x+（2-k）=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根． 【答案】（1）k＞﹣2；（2）x1=1，x2=3． 【解析】 【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k的取值范围； （2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵方程x2+4x+（2﹣k）=0有两个不相等的实数根， ∴42﹣4（2﹣k）＞0， 即4k+8＞0，解得k＞﹣2； （2）若k是负整数，k只能为﹣1； 如果k=﹣1，原方程为x2﹣4x+3=0， 解得：x1=1，x2=3． 19. 如图，画出关于原点对称的△，并写出点、、的坐标． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标． 【详解】解：如图所示，△即为所求作的三角形， ，，． 【点睛】本题考查坐标与图像变换-旋转，画出关于原点对称的△是解题的突破口. 20. 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD． （1）试判断△CBD形状，并说明理由； （2）求∠BDC的度数． 【答案】（1）△CBD是等腰三角形；（2）15°. 【解析】 【分析】（1）根据图形旋转不变性的性质得出△ABC≌△EBD，故可得出BC=BD，由此即可得出结论； （2）根据图形选旋转不变性的性质求出∠EBD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出∠BDC的度数． 详解】（1）∵△EBD由△ABC旋转而成， ∴△ABC≌△EBD， ∴BC=BD， ∴△CBD是等腰三角形． （2）∵△ABC≌△EBD， ∴∠EBD=∠ABC=30°， ∴∠DBC=180-30°=150°， ∵△CBD是等腰三角形， ∴∠BDC===15°． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键． 21. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量） 【答案】（1）（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600． 【解析】 【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式； （2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本． 【详解】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y =（x﹣20）•（﹣10x+500） =， 即（20≤x≤32）； （2）对于函数的图象的对称轴是直线x==35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下． ∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大， ∴当x=32时，w =2160 答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． （3）取w=2000得， 解这个方程得：，． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴当30≤x≤40时，w≥2000． ∵20≤x≤32， ∴当30≤x≤32时，w≥2000． 设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000 ∵k=﹣200＜0， ∴P随x的增大而减小， ∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600． 答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元． 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点． （1）抛物线与x轴的交点坐标为 ； （2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足，并求出此时P点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，解题关键是掌握如何求该图象与x轴的交点坐标，即令，解一元二次方程即可． （1）直接令，得，解方程即可求解； （2）利用面积求出P点纵坐标，再代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：令，得， ∴，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设点纵坐标为m， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴ 23. 如图，已知中，，先把绕点B顺时针旋转至后，再把沿射线平移至相交于点H． （1）判断线段的位置关系，并说明理由； （2）连接，求证：四边形是正方形． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转及平移的性质可得到，可得出结论； （2）由旋转和平移的性质可得，从而可证明四边形是矩形，再结合可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 ．理由如下： ∵绕点B顺时针旋转至后， ∴， ∵把沿射线平移至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 根据旋转和平移可得 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查旋转和平移的性质，掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移前后，对应角、对应边都相等． 24. 已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O， （1）求这个二次函数的解析式； （2）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若，，求的值． （3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得的面积等于，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）这个二次函数的解析式为； （2） （3）综上所述，存在符合条件的点M其坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性可求得点B的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得待定系数的值，即可确定该抛物线的解析式； （2）根据抛物线和直线的解析式，可求得C、D、E的坐标，即可得到；所求角的度数差可转化为的度数；在中，已经求得，由此得解； （3）易知抛物线的对称轴方程，可设出点P的解析式，求出点P的坐标，进而得到的值，即可求得的面积．可用面积割补法求解． 【小问1详解】 解：由题意， ∵对称轴是直线 ∴ 把，分别代入 得 解得 ∴这个二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与y轴交于， ∴ 由得 连接过E作轴于F，如下图，则 ∵抛物线与y轴交于 ∴，， ∴， ， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：设 ∵ ∴，即 解得 ∴ ∴ 方法一：设存在符合条件的点，则 ①当M在直线上侧时，连接，如下图 则 即 整理，得 解得(舍去)， 把代入得 ∴ ②当M在直线下侧时，不妨叫连接，如下图1， 则 即 整理，得 解得(舍去) 把代入得y=-3 ∴ 综上所述，存在符合条件的点M其坐标为或． 方法二：设存在符合条件的点，则 ①当M直线上侧时，过M作轴，交于G，(如图2) 设D、B到MG距离分别则 即，， 整理，得 解得(舍去)， 把代入得 ∴ ②当M在直线下侧时，不妨叫过作轴，交于(如图2) 设D、B到距离分别为则 即 整理，得3m²-5m-2=0 解得(舍去) 把代入得 ∴ 综上所述，存在符合条件的点M其坐标为或 方法三：①当M在直线上侧时，过M作交y轴于H，连接(如图3) 则，即 ∴DH= ∴ ∴直线解析式为 联立得或 ∵在y轴右侧， ∴坐标为 ②当M在直线BD下侧时，不妨叫过作，交y轴于， 连接(如图3)， 同理可得 ∴ ∴直线解析式为 联立得或 ∵在y轴右侧， ∴坐标为 综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与面积问题，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$