1.5.1全称量词与存在量词课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.1全称量词与存在量词 2 学习目标： 1. 通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义. 重点：1.通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义. 难点：全称量词命题和存在量词命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 2. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 . 2 思考1：下列语句是命题吗？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x R,x>3； (4)对任意一个x Z,2x+1是整数. 命题：可以判断真假的陈述句 不是 不是 是 是 关系:语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量 x进行限定. 语句(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定. 思考2：比较(1)和(3),(2)和(4)，它们之间有什么关系? 3 思考1：下列语句是命题吗？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x R,x>3； (4)对任意一个x Z,2x+1是整数. 命题：可以判断真假的陈述句 不是 不是 是 是 在原句（1）（2）的基础上，用“所有的”“任意一个”这样的短语对变量x的取值范围进行约束，使（3）（4）成为一个命题，我们就把这样的短语称为量词。 4 探究一：全称量词及全称量词命题 语句（1）（2）无法判断 x 的真假，所以不是命题. 语句（3）在（1）的基础上，用短语“所有的”对变量 x 进行限定，语句（4）在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量 x 进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题. 定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 通常，将含有变量x的语句用，，，…表示，变量x的取值范围用M 表示. 那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，成立”可用符号简记为. 常见的全称量词还有哪些？ 如“一切”、“每一个”、“任给”等. 例1判断下列全称量词命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2）； （3）对任意一个无理数x ，也是无理数. （2）总有 ，因而. 所以，全称量词命题“”是真命题. （3） 是无理数，但是有理数. 所以，全称量词命题“对任意一个无理数x ，也是无理数”是假命题. 解：（1）2 是素数，但 2 不是奇数. 所以，全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. 二：存在量词与存在量词命题   9     短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 叫做存在量词。并用符号 表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 10     ★ 要判断存在称量词命题是假命题，需要推导证明. 11 判断下列存在量词命题的真假：   ②平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 【解】由于平面内垂直于同一条直线两条直线相互平行。因此不存在 垂直于同一条直线两条相交直线。假命题 ③有些平行四边形是菱形 【解】邻边相等的平行四边形是菱形，所以命题为真 【例题】判断下列存在量词命题的真假 12 【练习】判断下列存在量词命题的真假 【解】菱形对角线互相垂直 （1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直。 13 1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作_______，读作“非p”或“p的否定”. 2.若p是真命题，则┐p必是_______；若p是假命题，则┐p必是________. 注意：大于的否定是_________小于的否定是.________ 至少有n个的否定 至多有n个的否定 ┐p 假命题 真命题 不大于 不小于 最多有(n-1)个 至少有(n+1)个 14 1.命题“∀x∈R,x2-x+1>0”的否定是(　　) A.∃x∈R,x2-x+1<0 B.∃x∈R,x2-x+1≤0 C.∀x∈R,x2-x+1<0 D.∀x∈R,x2-x+1≤0 答案 B 解析 命题“∀x∈R,x2-x+1>0”的否定是“∃x∈R,x2-x+1≤0”. 15 2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A.∀x∈R,x2+2x+1>0 B.所有菱形的4条边都相等 C.若2x为偶数,则x∈N D.π是无理数 答案 B 解析 ∀x∈R,x2+2x+1=(x+1)2≥0,故A错误;所有菱形的4条边都相等,满足两个条件,故B正确;x=-2时,2x为偶数,但x∉N,故C错误;“π是无理数”不是全称量词命题,故D错误.故选B. 16 3.下列命题中是真命题的是(　　) A.∀x∈R,x2>0 B.∀x∈R,x2+2x>0 C.∃x∈R, <0 D.∃x∈R,x(x-1)=6 答案 D 解析 ∀x∈R,x2≥0,故排除A; 取x=0,则x2+2x=0,故排除B; 因为 ≥0,故排除C;取x=-2, 则x(x-1)=6,故D正确. 17 4.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等. 其中是全称量词命题且为真命题的序号是　　　　　.  答案 ④ 解析 全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70. 18 5.判断下列命题的真假. (1)有一些三角形的两个内角相等; (2)∃x∈R,x2+2x+4<0; (3)∀x∈Z,2x-1是奇数. 解 (1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如等腰三角形中就存在两个内角相等,故该命题是真命题. (2)该命题是存在量词命题. 因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0,所以不存在x∈R,使x2+2x+4<0.故该命题是假命题. (3)该命题是全称量词命题.∀x∈Z,由于2x-1是整数,且不能被2整除,所以2x-1是奇数,故该命题是真命题. 19 20 课堂归纳小结 1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词． 2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合 内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假． 3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假. $$