专题4.11 添加辅助线构造三角形相似的八种方法（题型梳理与方法分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.11 添加辅助线构造三角形相似的八种方法（题型梳理与方法分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形相似的方法。 【方法目录】 【方法1】作平行线构造三角形相似.............................................1 【方法2】作垂直构造三角形相似...............................................2 【方法3】连接两点构造三角形相似.............................................3 【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似.....................................4 【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似.......................................5 【方法6】截长补短构造三角形相似.............................................6 【方法7】作多条辅助线构造三角形相似.........................................7 【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似.............................8 第二部分【题型梳理与方法点拨】 【方法1】作平行线构造三角形相似 【例1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在中，，是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． (2)如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 【变式1】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，平分． (1)求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G． ①求证：； ②若，求． 【方法2】作垂直构造三角形相似 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图①，在平行四边形中，，，，三角形沿方向以速度为匀速平移得到三角形时，同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．当三角形停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为，解答下列问题 (1)当t为何值时？ (2)求是否存在某一时刻t，，求出t的值． 【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，点C，E在线段上，，，都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接，分别交于点M，N，则的长为 ．    【方法3】（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【变式1】如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（    ） A． B． C．5 D．6 【变式2】．如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似 【例4】．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 【变式1】正方形的边长为2，点P在射线上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M、N，过点F作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ， ．    【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．    【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（    ） A．B．C． D． 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，对角线相交于点，点分别在边上，且，连接交于，若，则 ． 【方法6】截长补短构造三角形相似； 【例6】（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 【变式1】（22-23九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ． ①；②；③；④． 【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【方法7】作多条辅助线构造三角形相似； 【例7】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在四边形中，，于F，，，，则线段的长为 ． 【变式1】（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为 ． 【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）中，，是边上的高，若，则的最小值为 ． 【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似； 【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在等腰中，，M为中点，D为平面内一点． (1)如图，D点在边上，连接，若，，求的值； (2)如图，D点在下方，连接，将线段绕点A逆时针旋转线段到，且，连接恰好过点M，若，证明：； (3)如图，已知，D点在边上，连接，动点P在线段上，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，点N为中点，连接．若，请直接写出线段的最小值为_______． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ． 【变式2】（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形的边上的动点，于点F，G在上，且，P是平面内一动点，H是上的动点，则的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.11 添加辅助线构造三角形相似的八种方法（题型梳理与方法分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 几何学是初中数学的重要部分，通过添加辅助线解决几何问题是关键。作辅助线的原则要按照定义和基本图形添辅助线，常用方法包括构造全等三角形、按轴对称作辅助线、构造相似三角形等，还可以通过作底或高的辅助线等方法求面积。在解决全等三角形问题时，可以从结论、已知条件和条件和结论综合考虑来构造全等三角形，本专题共梳理出以下常用的几种作辅助线构造三角形相似的方法。 【方法目录】 【方法1】作平行线构造三角形相似.............................................1 【方法2】作垂直构造三角形相似...............................................6 【方法3】连接两点构造三角形相似.............................................9 【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似....................................15 【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似......................................21 【方法6】截长补短构造三角形相似............................................26 【方法7】作多条辅助线构造三角形相似........................................31 【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似............................36 第二部分【题型梳理与方法点拨】 【方法1】作平行线构造三角形相似 【例1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）在中，，是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值为 ． (2)如图2，在中，，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值： 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． （1）解：如图1中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：如图2：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2023九年级·云南·学业考试）如图，在中，，是的平分线，在的延长线上取一点，使得，连接．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，过点作交于点，证明出，得到是的中位线，根据已知条件及全等三角形的判定即可求出结果． 解：如解图，过点作交于点， ∴ ∴ ， ∴ ∴ 是的中位线， ，， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ．故答案选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，平分． (1)求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G． ①求证：； ②若，求． 【答案】(1)； (2)①见解析；② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明,又由得到，则，得到，即可得到的长； （2）①证明，由（1）可知， ，即可证明结论； ②由以及得到，由已知及（1）可知，，，则，得到，则，过点D作交于点M，证明，则，求出，即可得到． （1）解：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， 由（1）可知， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， 由已知及（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 过点D作交于点M，如图， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【方法2】作垂直构造三角形相似 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图①，在平行四边形中，，，，三角形沿方向以速度为匀速平移得到三角形时，同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．当三角形停止平移时，点Q也停止运动，如图②设运动时间为，解答下列问题 (1)当t为何值时？ (2)求是否存在某一时刻t，，求出t的值． 【答案】(1)；(2)存在，或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）先根据勾股定理求，根据平移的性质和平行四边形的性质得，证明得到＝，代入可求t的值； （2）作于点F，证明求得，由题意，进而列方程求解即可． （1）解：如图1，在中，，， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴＝， 解得， ∴当t为时，； （2）解：如图2，作于点F， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得： 解得： 或． 【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，结合角平分线的性质，利用三角形全等的判定得到，进而求出线段长度，再由三角形相似的判定得到，再由相似比求出线段长，在中，由勾股定理求出，最后由等面积法列方程求解即可得到答案． 解：过点作于点，如图所示：   ，则， 是直角三角形，且． 平分． ， ， ，则， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故选：A． 【点拨】本题考查勾股定理、角平分线性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·山西吕梁·期末）如图，点C，E在线段上，，，都是等边三角形，其边长分别是3，2，1，连接，分别交于点M，N，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】过点A作，利用等边三角形的性质求出，，，证明，求出，再证明，求出，利用线段的和差即可求出结果． 解：如图，过点A作， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是通过相似三角形的性质，找到线段的关系，以此求解． 【方法3】（20-21九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 解：（1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 【变式1】如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．连接交于，由四边形是菱形，得到，，由于四边形是矩形，得到，，通过，得到，求出，根据，即可得到结果． 解：连接交于， 四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故选：C 【变式2】．如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，先利用等腰三角形的性质证明点为的中点，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键． 解：连接，    ∵， ， ， ， ， ， 点为的中点 ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【方法4】延长相交补全图形构造三角形相似 【例4】．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出； （2）首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． （1）证明：延长和交于点， ∵， ∴， ， ，， ，， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长，交于点，过点作，垂足为点． ∵， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， ， ， 设，则， ∵， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ，解得， ， 由勾股定理可得：， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， ． 【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定即勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 【变式1】正方形的边长为2，点P在射线上，连结、，点M、N分别为、的中点，连结交于点Q，点与点P关于直线对称，且在线段上，连接，若点Q恰好在直线上，则的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长，交于点E，利用正方形的性质即可证明，有，则有，进一步证得，，有，结合对称性得，即可求得． 解：如图，延长，交于点E， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为2，点M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点与点P关于直线对称，， ∴， 则． 故选：D． 【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及对称性，解题的关键是做辅助线和三角形性质之间的转化求解． 【变式2】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点M、N，过点F作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ， ．    【答案】 3 【分析】延长交延长线于，由正方形的性质，平角的定义推出，即可证明，得到，，得到是等腰直角三角形，求出，的长，由，，即可求出，的长，从而求出的长． 解：延长交延长线于，    是等腰直角三角形， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：3；． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形，综合应用以上知识点是解题的关键． 【方法5】作双垂线得等角构成三角形相似 【例5】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 过点D分别作于点N，于点H，得和是等腰直角三角形，进而可证，即可解答． 解：如解图，过点D分别作于点N，于点H，   ，， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，，，，， ， ， 设，则， ，， ， ∵，，， 四边形是矩形， ， ， 又∵， ， ， ， ． 【变式1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，在中，，，将直角三角板的直角顶点放在线段的中点上，以点为旋转中心，转动三角板，交线段于点，交线段于点，连接.设线段的长为，的面积为，在转动过程中，与的函数图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】的面积可以分为，，和，所以通过面积关系来列式计算，从而得到关于，的关系式，再有关系式来判断图象．本题主要考查了函数关系式及二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过面积关系推导出函数关系式． 解：如图：作，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴ ∵， ， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴ ， ∴四边形是正方形， 设线段的长为， ， 连接，如图： ∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， 即， ∵， ∴开口向上， 当时，则， 即经过点， 故选：C 【变式2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，正方形的边长为6，对角线相交于点，点分别在边上，且，连接交于，若，则 ． 【答案】10 【分析】过点作于点，根据正方形的性质可得，，，再根据同角的余角相等可得，以此即可通过证明≌，得到，，进而得到，易证明∽，根据相似三角形的性质可得，即，由等腰直角三角形的性质可得，则，最后根据勾股定理即可求解． 解：如图，过点作于点， 四边形为边长为6的正方形， ，，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：10． 【点拨】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，正确寻找出全等三角形和相似三角形是解题关键． 【方法6】截长补短构造三角形相似； 【例6】（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等； （2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明； ②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG． （1）证明：∵四边形是菱形，， ∴ ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴． （2）①证明：连接，延长到点，使，连接． 由（1）知， ∴， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴． ②由①可知， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键． 【变式1】（22-23九年级下·福建莆田·阶段练习）如图，在矩形中，将绕点D逆时针旋转得到，使得B、F、E三点恰好在同一直线上，与相交于点G，连接，以下结论正确的是： ． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】由是绕点逆时针旋转得到的，得到，再由矩形的性质得出从而判断①；由，可得，从而判断②；由和，，得出，可以判断③；在线段上作，如图所示，连接，通过证明，得出是等腰直角三角形，可以判断④． 解：是绕点逆时针旋转得到的， ， ，，， 又四边形是矩形， ， ， 即， ， 即，故①正确； ， ， 即是直角三角形，而不是直角三角形，故②错误； 在和中， ， ， ， ，， ， 即，故③正确； 在线段上取并连接，如图， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故④正确；故答案为：①③④． 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是根据已知比例式确定两个三角形相似． 【变式2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 【方法7】作多条辅助线构造三角形相似； 【例7】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在四边形中，，于F，，，，则线段的长为 ． 【答案】12 【分析】题目主要考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，在上截取，根据全等三角形的判定和性质得出，，设，再由平行线的性质及等量代换确定，得出，过点B作，根据等腰三角形的性质及相似三角形的性质求解即可． 解：连接，在上截取，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，于F， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点B作， ∴BG平分， ∴， ∴， ∵∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：12． 【变式1】（2024·贵州遵义·三模）如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，易证，，从而得，，则，根据点为的中点得，进而得，再证，从而得，，在中根据求得和，在中由勾股定理求得，则，然后根据列方程，据此可得的长． 解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示： 则，， ，， ， ，点为的中点， ， ， 即点为的中点， ， ，， 平分， ， ， 即为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一定理得：， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点拨】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）中，，是边上的高，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作于点A，过点C作于点C，两条垂线交于点，证明，作的中点N，连接，，得到当点B、C、N在同一条直线上时，最短，得到，即可得到答案． 解：过点A作于点A，过点C作于点C，两条垂线交于点， ， ，， ， 是的高， ， ， ， ， ， ， 作的中点N，连接，， ， ， 当点B、C、N在同一条直线上时，最短． ． 故答案为：． 【方法8】（拓展延伸）作多条辅助线构造三角形相似； 【例8】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在等腰中，，M为中点，D为平面内一点． (1)如图，D点在边上，连接，若，，求的值； (2)如图，D点在下方，连接，将线段绕点A逆时针旋转线段到，且，连接恰好过点M，若，证明：； (3)如图，已知，D点在边上，连接，动点P在线段上，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，点N为中点，连接．若，请直接写出线段的最小值为_______． 【答案】(1)； (2)见解析；(3) 【分析】（1）根据三角形外角关系得出，由得，运用证明，得，进一步可得出的值； （2）在线段上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得，由可推出，则，再证明，可得，证明，得出，即可得出结论； （3）取的中点T，连接．首先推出点N的运动轨迹是射线，推出当时，的值最小，再想办法求出可得结论． （1）解：∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵将绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3中，取的中点T，连接． 在中，， ∴， ∴， ∵都是等腰直角三角形，T为的中点，点N为中点， ∴都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是射线， ∴当时，的值最小， 连接，延长交于点J，作于点W，于点R，于点K． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点拨】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，解方程，解题的关键是正确作出辅助线． 如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，证出，解得．设，则，得出，，设，则，，列出方程即可求解 解：如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，使． 则， ∴， 即， ∴． 设，则， ∴，，， ∴，， ∴． 设，则，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）如图，E是边长为8的正方形的边上的动点，于点F，G在上，且，P是平面内一动点，H是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，以为斜边构造等腰直角三角形，则以O为圆心，以为半径的圆中的一个锐角圆周角为，过点O作于点Q，过点O作交的延长线于点P，，利用旋转解答即可． 解：连接，根据题意，得 ， ∵，， ∴ ∴， 以为斜边构造等腰直角三角形，则以O为圆心，以为半径的圆中的一个锐角圆周角为， 根据，得对角互补， ∴G的运动轨迹为以O为圆心，以为半径的圆的红色圆弧， 过点O作于点Q，过点O作交的延长线于点P， 则四边形是正方形，且， ∴，， 取，连接， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 将四边形绕点A顺时针旋转， 则， 如图作， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用，熟练掌握旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形不等式的应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$