河南省2025届高三上学期10月份联考数学试题

河南省2025届高三年级10月份联考数学试题 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2.已知,则( ) A. 2i B. C. D. 3i 3.已知,,,则( ) A. B. C. D. 4.已知数列是首项为5,公差为2的等差数列,则( ) A. B. C. D. 5.在中,D为BC边上靠近点C的三等分点,E为线段含端点上一动点,若,则( ) A. B. C. D. 6.现有12个螺母,它们的质量从大到小依次构成等差数列,质量之和最大的3个螺母的质量是质量之和最小的3个螺母的质量的4倍,且这12个螺母的总质量为45克,要从这12个螺母中随机挑选n个螺母组成一套螺母,且这套螺母的质量和不低于25克,则n的最小值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.已知数列满足,,则( ) A. 2025 B. 2024 C. D. 8.已知数列的前n项和为,且,,则( ) A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.已知,,则( ) A. B. C. D. 10.下列递推关系式或其通项公式可以使数列为周期数列的有( ) A. , B. C. , D. 11.已知复数,在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上,且,则( ) A. B. 与实部之和为 C. 为纯虚数 D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知正数a,b满足,则取得最小值时,_. 13.设为数列的前n项积,且,,,则_. 14.已知公比为q的等比数列满足,且,则的取值范围为_. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知首项为3的数列的前n项和为,且是公差为3的等差数列. 探究数列的单调性; 求 16.本小题15分 已知中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 求 若,求面积的最大值. 17.本小题15分 已知函数 求的定义域; 若存在极大值,求a的取值范围. 18.本小题17分 已知函数, 若,求a的最小值; 设,数列的前项和为,证明:对,, 19.本小题17分 记共项的正项数列的前n项和为若正数s满足,则称数列为“s型求和数列”. 若为共5项的等差数列,且为“1型求和数列”,求 设,已知正项数列为共项的“r型求和数列”,且为共项的“型求和数列”.设的前n项和为 证明: 求的最小值的表达式用含m,r的代数式表示 答案和解析 1.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查集合的补集、交集运算,是基础题. 先由补集的定义得,再与A求交集. 【解答】 解:, , 又, 则,即 故选: 2.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 利用复数的运算法则即可得出. 【解答】 解:因为, 故, 故 故选 3.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查指数函数、对数函数的单调性比较大小,属于基础题. 由指数函数、对数函数的单调性得a,b,c的范围比较大小. 【解答】 解:由指数、对数函数单调性易得, ,, 故 故选 4.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式,属于基础题. 根据等差数列 的公差为2, 首项为5,求得 ,继而可求 【解答】 解:由题得, 即, 则 故选 5.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查平面向量的线性运算,属于基础题. 根据平面向量的线性运算,求解出 的值,从而可分析各选项. 【解答】 解:当E,D不重合时, , 即,, 当E,D重合时,, 故, 只有B始终成立. 故选 6.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查等差数列基本量的计算以及一元二次不等式不等式,属于一般题, 根据题意求得首项和公差,进而求数列的前n项和,进一步求解即可. 【解答】 解:设12个螺母的质量从大到小构成的等差数列为,公差为d,,,, 由题意可得,, 即,, 解得,, 则, 令, 又,,解得, 故选 7.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查利用递推关系求数列的通项公式、等差数列的求和以及裂项相加消项求和法,属于一般题. 利用累加法,结合等差数列的求和公式得到数列的通项公式,然后裂项求和. 【解答】 解:由题意可得,,,,, 累加可得, 即,, 当时,满足上式, 故,*, 因为, 故 故选 8.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了数列递推关系求通项,考查了数列求和,属于中档题 先利用题目关系可得通项,再利用与关系求得通项,再利用等比数列求和公式求解 【解答】 解:由题意可得,则,, 所以数列是首项为1,公比为9的等比数列,即, 由,可得, 两式相减得,,且时,, 即,得,那么, 故, 故 故选 9.【答案】AC 【解析】【分析】 本题考查同角三角函数关系,二倍角公式的应用及两角差,两角和差的余弦公式的应用,属于基础题. 由同角三角函数关系得,判断A;由两角和的余弦判断B;由两角差的余弦得判定C;由二倍角余弦判断D. 【解答】 解:因为,, 故,故A正确; ,故B错误; ,故C正确; ,故D错误. 故选 10.【答案】AC 【解析】【分析】 本题考查了数列周期性,属于中档题. 依次列举数列的项,即可判断. 【解答】 解:对于A,由选项知, 又,计算得,,,, 因此为周期数列,且周期为4,故A正确; 对于B,,,,,, 不是周期数列,故B错误; 对于C,,,,,,,, 归纳可得数列构成以4为周期的周期数列,故C正确; 对于D,易得不为周期数列,故D错误. 故选 11.【答案】ACD 【解析】【分析】 本题考查复数的相关定义及复数的几何意义,属中档题. 设,,求得a,b,c,d的值,结合复数运算以及相关定义进行判断即可. 【解答】 解:设,, 因为,即 , 由题意可得①,②, 所以, 即,且,与①②联立可得 ,,或,; 所以,故B错误,故A正确; 对C,, 或,故C正确; 对D, ,故D正确. 故选 12.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了基本不等式应用,属于基础题 利用基本不等式“1”的妙用求出最小值,并求出 【解答】 解:由题意得,又,, 所以 , 当且仅当且,即,时,取“=”. 故答案为: 13.【答案】 【解析】【分析】 本题主要考查根据数列前n项积公式求通项公式,考查了分类讨论思想,转化与化归思想,属中档题. 根据题干已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式. 【解答】 解:由题意可得, 所以当时,有, 故由题意两式相除得, 因为,则, 因此当时,,即, 则,所以,符合题意. 故答案为: 14.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了等比数列应用,考查了数列的函数特征,属于中档题 结合等比通项,可得q的取值,构造,结合导数分析其取值. 【解答】 解:由,得时,;时,, 由,得,即, 当时,;当时,,又,故; 令,则, 故,即时,,单调递增, 又,当时,,故, 当,即时,,单调递减, 又,,故 综上,的取值范围是 故答案为: 15.【答案】解:由题得数列是以为首项,3为公差的等差数列,则 , 所以,且, 故数列单调递增. 由题意可得①, ①得,②, ①-②得,, 故 【解析】本题主要考查数列的单调性以及错位相减法求和,属于中档题. 根据题意求得的通项公式,可得,再利用数列的单调性求解即可; 根据题意利用错位相减法求和即可. 16.【答案】解:由正弦定理及倍角公式得,, 则,即, 因为,所以 由余弦定理可得, 解得,当且仅当时取等号, 所以的面积, 故面积的最大值为 【解析】本题考查了正弦定理及变形,利用余弦定理解三角形,三角形面积公式,利用基本不等式求最值,是中档题.由正弦定理和三角恒等变换求得的值,即可求得C的值; 利用余弦定理和基本不等式求得面积的最大值. 17.【答案】解:由题意可知的定义域为 解得, 故的定义域为 由题意可得, 令函数, 则在上恒成立, 所以在上单调递减, 当时,,当时,, 则有:①当,即时,,即在上恒成立, 即在上单调递增,无极大值,不合题意,故舍去; ②当,即时,存在,使得, 此时,当时,,当时,, 则在上单调递增,在上单调递减, 所以存在极大值,符合题意. 综上所述 【解析】本题主要考查求函数的定义域以及利用导数根据极值或极值点求参,属于中档题 根据题意列出不等式组,求解即可; 根据题意对于函数求导,再利用导数根据极值或极值点求参即可 18.【答案】解:由题意可得,,则为必要条件, 证明:当时,,即, 令,当时,,单调递增, 成立, 由知,时等号成立, 而,, , 又因为,,,,, =, 故原不等式得证. 【解析】本题考查了导数应用,考查了数列求和,属于较难题 由题意可得,,则为必要条件,证明即可; 由知,时等号成立,结合放缩法即可证明. 19.【答案】解:由题有,设等差数列的公差为 则,即 由题,, 不妨设为中的最小项. ①当时,易有 ②当时,由正项数列, 有, 而, 故,得证,由①②可得,故原不等式得证. 的最小值的表达式为 当,时, 接下来证明 由于, 由得,, 则, 等号当且仅当,时成立,故的最小值的表达式为 【解析】本题主要考查数列的新定义,数列的最值,属于中档题. 根据题意,即,即可求解; 不妨设为中的最小项,再分情况讨论,证明即可; 根据题意结合,数列的最值求解即可. 第1页,共13页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$