精品解析：甘肃省庆阳市宁县新庄初级中学2024-2025学年九年级上学期期中数学检测卷一

2024-2025宁县新庄初中九年级上册期中检测卷一 一、单选题 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，理解题并掌握一元二次方程的定义是解题关键．形如（为常数，且），只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，当时，不是一元二次方程，故不符合题意； D. ，是二元二次方程，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. 2 B. 0 C. 2或0 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键． 先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】∵， 移项得， 分解因式得， ∴， ∴， ∴一元二次方程的解是2或0． 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 方程无实数根． 故选C． 4. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律是：左加右减、上加下减，按照“左加右减、上加下减，根据抛物线平移的方向和距离，可以得到平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 得到的二次函数的解析式是， 整理得：． 故选： D． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 6. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 7. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质．根据圆中最长的弦为直径，即可求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长的弦长直径是． 故选：D 9. 如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，根据垂径定理可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据垂径定理求值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，难度不大． 10. 二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口方向和，与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， 那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，不一定成立，故④错误， ∴正确的有②③， 故选：C． 二、填空题 11. 若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟知一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式是解题的关键．将方程转化为一般形式后，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 12. 已知是方程的一个根，则________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入，得到，即可求得的值． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴． ∴， 故答案为：2025． 13. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 【答案】k＜2且k≠1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根． 14. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 15. 二次函数，自变量x与函数y的对应值如表 x … 1 3 … y … 2 4 2 … 则抛物线的对称轴是____________________ 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查利用对称性求抛物线的对称轴，找到表格中函数值相同的两个自变量的值，求出函数的对称轴即可． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴对称轴为直线； 故答案为：． 16. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是____________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正确得出旋转角为是解题关键．根据旋转的性质旋转角为，结合，，即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到， ∴旋转角为， ∵，， ∴，即旋转角的度数是， 故答案为： 17. 在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 【答案】或##7或1 【解析】 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】：是等腰直角三角形， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与同在一个象限内， ∵， ∴点 故答案为（） 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）求出的值，再代入公式求出即可；两边除以2后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）用十字相乘法分解因式，得，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：, ， ， 解得，． 【小问2详解】 解：因式分解得， , 解得，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“”时，方程有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系找出，． （1）根据方程的系数结合根的判别式求出即可求解； （2）利用根与系数的关系找出，，代入来求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的两个实数根为， ，， 与的函数关系式为：． 21. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册，求这两年藏书的年平均增长率． 【答案】这两年藏书的年平均增长率为20% 【解析】 【分析】设这两年藏书的年平均增长率为x，根据2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册列出方程，解之即可． 【详解】解：设这两年藏书的年平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（舍去） 答：这两年藏书的年平均增长率为20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握增长率问题的解题思路是解题的关键． 22. 二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可； （3）根据图象可以看出k取值范围． 【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，． （2）观察图象可知：不等式的解集为或． （3）由图象可知，时，方程无实数根． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可． 23. 如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x为多少时，矩形花圃的面积最大？ 【答案】（1） （2）当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【解析】 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 24. 在平面直角坐标系中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向下平移5个单位所得到的，并写出点的坐标； （2）画出将绕原点O逆时针方向旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示， ∴ （2） 如图所示： ∴ 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，画平移图形，画旋转图形，熟练的利用平移与旋转的性质进行作图是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C平移后的对应点，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标； （2）分别确定A，B，C绕O旋转后的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 图，将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理，由旋转的性质得：，，再根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点， ∴，， ． 26. 我校地安门校区的“月洞门”很有特色．月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因形如一轮十五满月的圆洞而得名．门体无门禁，经常作隔断，给人们新奇而美的感受．小丽想制作一个月洞门模型，她画了一个平面图，如图所示，净高为5，路面宽为2，求月洞门所在的半径． 【答案】月洞门所在的半径为． 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为r， 由题意可知，，， 在中，，， ， 解得． 经检验：是方程的解， 答：月洞门所在的半径为． 27. 如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理及其推论，牢记圆周角定理及其推论是解题的关键．根据D是 的中点可求得的度数，根据是的直径可求得的度数，根据圆内接四边形的对角互补，即可求得答案． 【详解】解：是的中点， ， ， 是的直径， ， ， 四个点都在上， ， ． 28. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式． （2）求于、两点坐标及三角形的面积． （3）若点在轴上方的抛物线上，满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3），或 【解析】 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论； （3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴； ∴， ∴； 【小问3详解】 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∵点P在x轴上方的抛物线上， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为； ∴， ∴， ∴，或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025宁县新庄初中九年级上册期中检测卷一 一、单选题 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. 2 B. 0 C. 2或0 D. 2或 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 4. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 6. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的弦，于点，若，，则弦的长为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②③④ 二、填空题 11. 若方程化为一般形式后的二次项为，则一次项的系数为__________． 12. 已知是方程的一个根，则________． 13. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______． 14. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是___． 15. 二次函数，自变量x与函数y的对应值如表 x … 1 3 … y … 2 4 2 … 则抛物线的对称轴是____________________ 16. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是____________． 17. 在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为_______ 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设的两个实数根为，若，求出与的函数关系式； 21. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册，求这两年藏书的年平均增长率． 22. 二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 23. 如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x为多少时，矩形花圃的面积最大？ 24. 在平面直角坐标系中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向下平移5个单位所得到的，并写出点的坐标； （2）画出将绕原点O逆时针方向旋转后的，并写出点的坐标． 25. 图，将绕点A逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，求的长． 26. 我校地安门校区的“月洞门”很有特色．月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因形如一轮十五满月的圆洞而得名．门体无门禁，经常作隔断，给人们新奇而美的感受．小丽想制作一个月洞门模型，她画了一个平面图，如图所示，净高为5，路面宽为2，求月洞门所在的半径． 27. 如图， AB是⊙O的直径．点C在⊙O上．D是 的中点．若，求 的度数． 28. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式． （2）求于、两点坐标及三角形的面积． （3）若点在轴上方的抛物线上，满足，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $