6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.5平面向量数量积的坐标表示 定比分点坐标公式： （1）中点坐标公式 . （2）三等分点坐标公式 或 . （3）定比分点坐标为 . 3 探究：已知 a＝(x1, y1)，b＝(x2, y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？ 因为 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 所以 a·b＝(x1i＋y1j) · (x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j ＋y1x2j·i ＋y1y2j2 所以 a·b＝x1x2＋y1y2 又 i·i＝1，j·j＝1，i·j ＝0, 这就是说， 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 二、探究新知 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2 ，或 |a|＝ . 追问1：若a＝b，由 a·b＝x1x2＋y1y2 得 a·a＝a·b＝x1x2＋y1y2＝x2＋y2 追问2：设向量a的起点与终点分别为 ，即 则 |a|＝ a＝(x2－x1，y2－y1） 若A(x1, y1)，B(x2, y2)， . 向量模的公式 两点间的距离公式 a·b＝x1x2＋y1y2 追问3：.若a＝(x1, y1)，b＝(x2, y2)，由a⊥b⇔ a·b＝0(a, b为非零向量)，得 a⊥b ⇔ x1x2＋y1y2＝0 追问4：设两非零向量a＝(x1, y1)，b＝(x2, y2)，a与b 夹角为θ， 由a·b＝|a||b|cos θ，得 向量的夹角公式 向量的坐标运算的意义： 沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决. a·b＝x1x2＋y1y2 例1 若点A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5) 则∆ABC是什么形状?证明你的猜想？ A(1,2) C(-2,5) x 0 y ∴ △ABC是直角三角形 解法1： B(2, 3) 向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一 三、典例分析 变式训练 三、典例分析 1．若向量a＝(x, 2)，b＝(－1, 3)，a·b＝3，则x等于(　　) A．3　　　B．－3　　　C. 　　　D． 2．已知a＝(2, －1)，b＝(2, 3)，则a·b＝______，|a＋b|=______. 3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝____. 4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为____ A 1　 巩固练习 5. 设平面向量a＝(1, 2)，b＝(－2, y)，若ab，则|2a－b|等于( ) A．4 B．3 C． D． B 例3. 若向量a的起点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求： (1)向量a的模；(2)与a平行的单位向量的坐标； (3)与a垂直的单位向量的坐标． (2)设与a平行的单位向量为(x, y), 则 所以 |a|＝ ＝5. 解： (1) 因为a＝(4, －3) , 故与a平行的单位向量的坐标为 三、典例分析 解： (3)设与a垂直的单位向量为(x, y), 则 故与a垂直的单位向量的坐标为 例12 用向量方法证明两角差得余弦公式 如图，在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角α, β，它们的终边与单位圆交点分别为A, B.则 典例分析 证明： 典例分析 另一方面： 图(1)： 图(2)： 于是 所以 ， 于是有 由向量数量积的坐标表示，有 设 与 的夹角为θ，则 所以 运用向量工具进行探索，过程多么简洁啊！ 1. 向量a＝(1, －1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2 2. 设平面向量a＝(1, 2)，b＝(－2, y)，若a∥b，则|2a－b|等于( ) A．4 B．5 C． D． 3.已知向量a=(2, 1)，b=(－1, k)，a·(2a－b)=0，则k=( ) A.－12 B.－6 C.6 D.12 课堂检测 D C D 4.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，求实数k的取值范围. 课堂检测 解： ∵a与b 的夹角为锐角 课堂小结 1.向量的数量积的坐标表示： 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2 ，或 |a|＝ . 若A(x1, y1)，B(x2, y2)， . 2.向量模的公式 3.两点间的距离公式 a⊥b ⇔ x1x2＋y1y2＝0 4.向量垂直的充要条件： a·b = x1x2＋y1y2 5.向量的夹角公式： 【复习回顾】 向量 已知，则 已知，则线段的中点为 向量共线的充要条件是 $$