专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）求未知数x ①    ②    ③ 2．（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程 (1) (2) 4．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）解方程． (1)； (2)； (3)． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 8．（23-24七年级上·全国·假期作业）已知是关于y的一元一次方程． (1)求a，b的值； (2)若是方程的解，求的值． 9．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 10．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）（1）解方程：． （2）下面是小斌同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 两边都除以，得第五步 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； ②上述求解过程中的第_______步发生错误，具体错误是______________； ③该不等式的解集应为________． 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）解方程： 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：． 3．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）解方程： (1)； (2)． 4．（23-24七年级上·山东泰安·期中）解方程． (1) (2) 5．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) (4) 6．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 7．（23-24七年级上·四川达州·期末）（1）解方程：． （2）当为何值时，代数式的值比代数式的值大3． 8．（23-24七年级上·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 19．（23-24七年级上·山西长治·阶段练习）利用方程解答下列问题： (1)x的4倍与2的和等于x的3倍与1的差，求x的值． (2)取何值时，代数式的值比的值大1？ 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 1．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 2．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：； 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，求的值． 4．（23-24七年级上·吉林白城·期末）在，，2，，中，最小的数是，绝对值最小的数是．求中的值． 5．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）若 (1)求x、y、z的值． (2)求的值． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 7．（23-24七年级上·山东青岛·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 （3）解方程：； （4）解方程：． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： （1）； （2）． 解方程： （1）； （2）． 9．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 10．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）我们知道：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可以理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，表示5、之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数，那么A、B之间的距离可以表示为．试探索： （1）若，则=___________； （2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示的点与表示__________的点重合； （3）计算：． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 1．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）将同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放．    (1)第 个图有多少颗黑色棋子？ (2)第几个图有 颗黑色棋子？请说明理由． 2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，第一个图形中有4个五角星，第二个图形中有7个五角星，第三个图形中有10个五角星，依照这样的规律． (1)求第个图形中五角星的个数； (2)若第个图形中五角星的个数为1000，求的值． 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 4．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）我们知道若干个相同数相加可以用乘法来计算，现在我们来研究若干个相同数相减． 我们规定：（为正整数）， 例如：，． 根据上述信息完成下列问题： (1)请直接填写具体值： ①______； ②______． ③______． (2)若，求的值； (3)若，则直接写出的值为______． 5．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题： (1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个； (2)若用字母分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式则第5个图案可表示为多项式______； (3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且求的值． 6．（2024·河北唐山·二模）如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题． 在第1行两个正六边形内填上数字3、，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：；第2行第2个：． (1)填空： _______， _________． (2)求的值． (3)按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为．若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 7．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． (1)填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ (2)若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 12 … 8．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三方形有2个时，等边三角形有7个（如图2）；以此类推… (1)若图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加____________个； (2)若图案中有n个正方形，则等边三角形有__________个； (3)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 9．（23-24七年级上·山东济南·期末）小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． (1)摆第5个图案需用______颗棋子； (2)按照此规律摆下去，摆第n个图案需要______颗棋子（用含n的代数式表示）； (3)是否存在一个图案，所摆棋子数为113颗？若存在，求出是第几个：若不存在，请说明理由． 10．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）小明用火柴棒按图中的方式搭图形，会产生若干个正方形： (1)按图示规律填空： 图形编号 ① ② ③ ④ … n 火柴棒根数 7 12 17 _________ … _________ 正方形的个数 2 5 _________ _________ … _________ (2)小明若使用2027根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 图形编号 ① ② ③ ④ … n 火柴棒根数 7 12 17 22 … 正方形的个数 2 5 8 11 … 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 1．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）当x取何值时，代数式与的值互为相反数？ 2．（23-24七年级上·山东烟台·期末）当x为何值时，代数式与的差的值等于3？ 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）当为何值时，关于的方程的解比关于的方程：的解大2． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 5．（23-24七年级上·河南南阳·期中）若关于的方程的解和关于的方程的解的和为4，求的值． 6．（23-24七年级上·山东聊城·期末）已知关于的方程，某同学在解这个方程时，不小心把方程右边的加7抄成了减7，解得方程的解为“”，求原方程的解． 7．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）当x等于什么数时，代数式的值与的值相等？ （2）当x等于什么数时，代数式的值与的值相等？ 8．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若此方程的解与方程的解互为倒数，求的值． 9．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）（1）化简求值：，其中； （2）已知，． ①当x为何值时，A，B互为相反数？ ②当x为何值时，？ 10．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若是整数，且，求的值． 3．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）； (2)解方程：； (3)若关于x的方程：的解为整数，求正整数a的值． 5．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 6．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 7．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 8．（23-24七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 9．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 10．（23-24七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：若，则称与是关于3的平衡数， (1)3与______是关于3的平衡数，与______是关于3的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断a与b是否是关于3的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平衡数，同时满足一元一次方程，求的值． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 5．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数， (1)与_____是关于的平衡数，与_____是关于的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于的平衡数，同时满足一元一次方程求的值． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称与是关于3的平安数． (1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式） (2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值． 7．（23-24七年级上·江西赣州·期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）观察下列两个等式，，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数a，b为“金桥有理数对”，记为，如：数对，都是“金桥有理数对”． (1)数对，中是“金桥有理数对”的是______； (2)若是“金桥有理数对”，求a的值； (3)若是“金桥有理数对”，则______“金桥有理数对”（填“一定是”、“一定不是”或“不确定”）． 9．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 10．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 4．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 5．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 8．（23-24七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 9．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 10．（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解一元一次方程80道计算题专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 解简单的一元一次方程 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 有规律的一元一次方程问题 题型五 根据两个一元一次方程的关系求解 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的新定义问题 题型八 一元一次方程解的拓展问题 【经典例题一 解简单的一元一次方程】 1．（24-25七年级上·吉林长春·开学考试）求未知数x ①    ②    ③ 【答案】①；②；③ 【分析】此题主要考查了解比例问题，注意比例的基本性质的应用，以及解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前面的符号，移项时要改变符号是关键． ①移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可； ②合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可； ③首先根据比例的基本性质化简，可得；然后根据等式的性质，两边同时乘2即可． 【详解】解：①移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． ②合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． ③， ， ， ， 解得． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）用整体思想解方程． 【答案】 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题，利用换元的思想计算即可． 【详解】， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）合并同类项、系数化为一即可解答． （2）移项、合并同类项、系数化为一即可解答． 【详解】（1）解： 合并同类项得：， 系数化为一得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为一得：． 4．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）解方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）直接化简，系数化为1即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1计算即可； （3）按照移项，合并同类项，系数化为1计算即可． 【详解】（1）解：， 化简得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先移项合并同类项，再未知数系数化为1即可． （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （4）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 6．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则，先算乘方，绝对值，然后再算乘除，最后算加减即可； （2）根据整式的加减运算法则，先去括号，再合并同类项即可； （3）根据解一元一次方程的方法求解即可． 本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握解一元一次方程的方法，有理数的混合运算法则，整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1） （2） ； （3）， 去分母，得 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 7．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）方程与方程的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程，代数式求值，先解，把代入，求出k的值，然后再代入代数式求值即可． 【详解】解： 又∵方程与方程的解相同 ∴ 8．（23-24七年级上·全国·假期作业）已知是关于y的一元一次方程． (1)求a，b的值； (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值等知识，理解一元一次方程中的“一元”和“一次”的意义是解答本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义列出关于a，b的方程，解出a、b； （2）将（1）中a的值代入关于x的方程求出m的值，再将a、b、m的值代入所求等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）把代入方程，得， 解得， 原式． 9．（2024·浙江台州·二模）以下是亮亮解方程的解答过程． 解：去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 亮亮的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】亮亮的解答过程有错误，解答过程见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算；先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】解：亮亮的解答过程有错误． 正确的解答过程： 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 10．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）（1）解方程：． （2）下面是小斌同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 两边都除以，得第五步 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是__________； ②上述求解过程中的第_______步发生错误，具体错误是______________； ③该不等式的解集应为________． 【答案】（1）；（2）①不等式的基本性质2；②五；两边都除以时，不等号方向没有改变；③ 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则，准确计算． （1）先移项，再合并同类项，然后系数化为1即可； （2）①去分母的依据不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，即可求解； ②按解一元一次不等式的步骤的依据进行检查，即可求解； ③由②即可求解． 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：①由题意得：第一步变形的依据是：不等式两边同乘以或除以一个正数，不等号的方向不变； 故答案为：不等式的基本性质； ②去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：五；两边都除以时，不等号方向没有改变； ③由②得：不等式的解集应为：； 故答案为：． 【经典例题二 解含分母的一元一次方程】 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1，． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，准确计算是解题的关键；根据去括号法则进行化简计算一元一次方程即可． 【详解】解：原方程化为：， 两边同乘以35，得：， 去括号，得：， 两边同乘以3得：， 移项，合并同类项得：． 3．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项和系数化为1来求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1来求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ． 4．（23-24七年级上·山东泰安·期中）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （1）先去括号，然后移项，再合并同类项即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． （2）解：， 方程整理得：， 去分母得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 5．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （1）先移项合并同类项，再将未知数系数化为1即可； （2）先去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． （4）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 6．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．先分别解出两个一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：解方程， 解得， 解方程， 解得， 由题意得： 解得：． 7．（23-24七年级上·四川达州·期末）（1）解方程：． （2）当为何值时，代数式的值比代数式的值大3． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程即可求解； （2）根据题意列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1，得：； （2）由题意得：， ， ． 8．（23-24七年级上·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把代入，求出a的值，然后再得出原方程为，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， ∴原方程为， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 19．（23-24七年级上·山西长治·阶段练习）利用方程解答下列问题： (1)x的4倍与2的和等于x的3倍与1的差，求x的值． (2)取何值时，代数式的值比的值大1？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，列方程； （1）根据题意得，然后解方程即可求解； （2）根据题意得，，然后解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ； （2）根据题意得，， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】(1)去分母；等式的基本性质； (2)． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）小明的解题过程中，“？”处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质； （2）原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 【经典例题三 解含绝对值的一元一次方程】 1．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，先整理成，然后根据绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2024七年级上·北京·专题练习）解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了绝对值方程，根据正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：当时，， 不成立； 当时，， 解得； 当时，， 不成立； 综上，． 3．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 由绝对值的非负性结合与的和为0可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 4．（23-24七年级上·吉林白城·期末）在，，2，，中，最小的数是，绝对值最小的数是．求中的值． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、有理数的大小比较以及解一元一次方程，将各数先化简即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴2， ∴， ∵，，，， ∴， ∴为： 解得： 5．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）若 (1)求x、y、z的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查绝对值的非负性、解一元一次方程和已知字母的值求代数式的值， （1）根据绝对值的非负性列一元一次方程求解即可， （2）根据（1）字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 所以 即； （2）解：由（1）得： ． 6．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 【答案】(1)，； (2)6或 【分析】本题主要考查了非负数的性质−绝对值和解一元一次方程等知识点， （1）根据非负数的性质求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，； （2）∵， ∴， 由（1）知，， ∴或， 即z的值为6或． 7．（23-24七年级上·山东青岛·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 （3）解方程：； （4）解方程：． 【答案】（1）（2），0（3）（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整式化简求值、解一元一次方程： （1）先化简绝对值，再运算除法，最后运算加法，即可作答． （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求值，即可作答． （3）先去括号，再移项，合并同类项，即可作答． （4）先去分母、去括号，再移项，合并同类项，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ， 把代入， 得； （3） ； （4） 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： （1）； （2）． 解方程： （1）； （2）． 【答案】计算：（1）；（2）；解方程：（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程； 计算：（1）根据有理数的加减进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解； 解方程：（1）根据移项、合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】计算：（1） （2） 解方程： （1） 移项得， 合并同类项得， 化系数为1， （2） 去分母， 去括号， 移项合并同类项， 化系数为1， 9．（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【答案】或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论：，，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案是解题关键，以防遗漏． 【详解】当时，方程可化为：，解得，符合题意； 当时，方程可化为：，解得，符合题意； 所以，原方程的解为：或． 10．（23-24七年级上·四川攀枝花·期中）我们知道：表示4与的差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可以理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，表示5、之间的距离．一般地，点A，B两点在数轴上表示有理数，那么A、B之间的距离可以表示为．试探索： （1）若，则=___________； （2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示的点与表示__________的点重合； （3）计算：． 【答案】（1）-4或10 （2）6；（3）-2或5 【分析】（1）根据绝对值的性质，即可求解； （2）根据题意可得折叠处点对应的数为1 ，即可求解； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时， 即可求解． 【详解】解：（1）， ∴， 解得：或-4； （2）∵A点对应的数为，B点对应的数为4，折叠数轴，使得A点与B点重合， ∴折叠处点对应的数为 ， ∴表示的点与表示6的点重合； （3）解：①当时，            ，解得：-2 ； ②当时， ，则，无解  ； ③当时， ，则5． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【经典例题四 有规律的一元一次方程问题】 1．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）将同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放．    (1)第 个图有多少颗黑色棋子？ (2)第几个图有 颗黑色棋子？请说明理由． 【答案】(1)第个图有颗黑色棋子 (2)第671个图有 2016颗黑色棋子，理由见解析 【分析】（1）观察可知第1个图有颗黑色棋子，第2个图有颗黑色棋子，第3个图有颗黑色棋子……，由此可得规律第n个图有颗黑色棋子，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律建立方程求解即可． 【详解】（1）解：第1个图有颗黑色棋子， 第2个图有颗黑色棋子， 第3个图有颗黑色棋子， 第4个图有颗黑色棋子， …… 以此类推可知第n个图有颗黑色棋子， ∴第个图有颗黑色棋子； （2）解：第671个图有 2016颗黑色棋子，理由如下： 由（1）得第n个图有颗黑色棋子， 当时， 解得， ∴第671个图有 2016颗黑色棋子． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用，正确理解题意找到规律是解题的关键． 2．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，第一个图形中有4个五角星，第二个图形中有7个五角星，第三个图形中有10个五角星，依照这样的规律． (1)求第个图形中五角星的个数； (2)若第个图形中五角星的个数为1000，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值． （1）由图形可知每次增加3个五角星，由此得出图形的规律； （2）根据（1）得出的规律列方程求解即可. 【详解】（1）解：第一个图形中有个五角星， 第二个图形中有个五角星， 第三个图形中有个五角星，依照这样的规律…， 故第个图形中五角星的个数， （2）若第个图形中五角星的个数为1000， 即， 解得 3．（23-24七年级上·山东青岛·期末）将从1到900的正整数按一定规律排列如下表： 对如图十字形框中的5个数进行探究： (1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为 ，最大的数为 ； (2)若这5个数的和是 240，求出这5个数中间的数： (3)这5个数的和可能是2025 吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由． (4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于 【答案】(1)， (2) (3)不能 (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到数据的规律，列出正确的方程是本题的关键． （1）设中间的数为，其他四个数分别为，即可得最小的数和最大的数； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）根据题意列出方程，可求为，可得是的倍数，则在第列，则这个数的和不可能是； （4）根据表中数据分别求出五个数的最大值和五个数的最小值，在作差即可． 【详解】（1）设中间的数为，其他四个数分别为，则最小的数，最大的数为 ， 故答案为： （2）由（1）得: ， 解得， 答：这个数中间的数为； （3）不能，理由为： 由 （1）得:， 解得， ， ∴是第列的数， ∴这个数的和不可能是； （4）当这个数的和最大时，，则， ， 当这个数的和最小时 ，则 ， ， 故答案为:． 4．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）我们知道若干个相同数相加可以用乘法来计算，现在我们来研究若干个相同数相减． 我们规定：（为正整数）， 例如：，． 根据上述信息完成下列问题： (1)请直接填写具体值： ①______； ②______． ③______． (2)若，求的值； (3)若，则直接写出的值为______． 【答案】(1)①，②，③0 (2) (3)7 【分析】（1）根据若干个相同数相减的运算法则求解即可； （2）根据若干个相同数相减的运算法则列出方程求解即可； （3）根据以上发现的规律求解即可． 【详解】（1）①； ②； ③； （2）解：， ， 解得； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴解得． 【点睛】此题考查的是新定义类问题，掌握定义新运算公式、有理数的各个运算法则和一元一次方程的解法是解题关键． 5．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图所示的图案是由正方形和三角形组成的，有着一定的规律，请完成下列问题： (1)第4个图案中，三角形有______个，正方形有______个； (2)若用字母分别代替三角形和正方形，则第1、第2个图案可表示为多项式则第5个图案可表示为多项式______； (3)在（2）的条件下，若第5个图案所表示的多项式值为90，且求的值． 【答案】(1)16，16 (2) (3) 【分析】本题考查了规律型的图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． （1）观察图形得出规律，即可得出第4个图案中，三角形有16个，正方形有16个； （2）根据第1、2个图案可表示多项式，，可知第5个图案可表示为多项式； （3）根据（1）得出的规律，列式计算即可求解． 【详解】（1）观察图形可知： 第1个图案中，三角形有个，正方形有个； 第2个图案中，三角形有个，正方形有个； 第3个图案中，三角形有个，正方形有个； 第4个图案中，三角形有个，正方形有个； 故答案为：16，16； （2）第1第2个图案可表示为多项式，，可知第5个图案可表示为多项式， 故答案为：； （3）第5个图案所表示的多项式值为90， ， 又， ， 的值为：2． 6．（2024·河北唐山·二模）如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题． 在第1行两个正六边形内填上数字3、，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：；第2行第2个：． (1)填空： _______， _________． (2)求的值． (3)按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为．若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)1； (2)14 (3)；能；9 【分析】本题考查了图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．进行列式计算，即可作答． （2）同理分别计算出，再代入，进行计算，即可作答． （3）找出规律：第n行第2个数字为，根据进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，； 故答案为：1； （2）解：依题意，； ； ∴； （3）解：第1行第2个数字为 第2行第2个数字为 第3行第2个数字为 以此类推 第n行第2个数字为 这个数字能为19 令，解得， 故n 的值为9 7．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． (1)填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ (2)若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． 【答案】(1)12， (2)1011 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知得出第个图形和第个图形的等边三角形的个数即可填表； （2）由（1）中的规律并结合题意得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可得： 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， …， 第个图形有个等边三角形，第个图形有个等边三角形， 故填表为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 12 … （2）解：由题意得：， 解得 答：的值为1011． 8．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色等边三方形有2个时，等边三角形有7个（如图2）；以此类推… (1)若图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加____________个； (2)若图案中有n个正方形，则等边三角形有__________个； (3)现有2024个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】(1)3 (2) (3)按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形673个 【分析】（1）观察第1个图案可知：中间的一个正方形对应4个等边三角形，第2个图案可知增加一个正方形，变成了7个等边三角形，增加了3个等边三角形； （2）观察第1个图案，有1个等边三角形；第2个图案，有个等边三角形；，依次计算可解答； （3）由（2）中的规律可知：用所得的余数是2，则等边三角形剩余最少2块，列式，解出即可解答． 【详解】（1）解：观察第1和2个图案可知：图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加3个； 故答案为：3． （2）解：第1个图案：等边三角形有：4个， 第2个图案：等边三角形有：（个）， 第3个图案：等边三角形有：（个）， 第4个图案：等边三角形有：（个）， 第个图案：等边三角形有：个， 故答案为：． （3）解：∵， ∴用， 再由题意得：， 解得：， ∴按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少2块，则需要正方形673个． 【点睛】本题以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 9．（23-24七年级上·山东济南·期末）小明下五子棋的时候，用棋子按一定的规律摆了如下三个图案，若小明继续摆下去． (1)摆第5个图案需用______颗棋子； (2)按照此规律摆下去，摆第n个图案需要______颗棋子（用含n的代数式表示）； (3)是否存在一个图案，所摆棋子数为113颗？若存在，求出是第几个：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)21 (2) (3)存在，第28个 【分析】本题考查图形类规律探索，一元一次方程的应用，找出变化规律是解题的关键： （1）根据所给图形中棋子的个数找出规律，即可求解； （2）根据（1）中得出的规律，用含n的代数式表示出第n个图案中棋子的个数即可； （3）结合（2）中结论列一元一次方程，判断n是否为整数即可． 【详解】（1）解：由图可知，第1个图案中有5颗棋子，， 第2个图案中有9颗棋子，， 第3个图案中有13颗棋子，， …… 以此类推，第5个图案中棋子个数为：， 故答案为：21； （2）解：由（1）可知，摆第n个图案需要颗棋子， 故答案为：； （3）解：令， 解得， 故第28个图案所摆棋子数为113颗． 10．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）小明用火柴棒按图中的方式搭图形，会产生若干个正方形： (1)按图示规律填空： 图形编号 ① ② ③ ④ … n 火柴棒根数 7 12 17 _________ … _________ 正方形的个数 2 5 _________ _________ … _________ (2)小明若使用2027根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？ 【答案】(1)见解析 (2)1214 【分析】（1）由已知图形中火柴棒的根数是序数的5倍与2的和，据此可补全表格； （2）先根据使用2027根火柴搭图形得出图形序号，再利用图中正方形的个数为可得答案． 【详解】（1）解：填表如下： 图形编号 ① ② ③ ④ … n 火柴棒根数 7 12 17 22 … 正方形的个数 2 5 8 11 … （2）根据题意，得：， 解得：， 图中正方形的个数为， 第405个图形中，正方形的个数为（个）． 【点睛】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒是解题的关键． 【经典例题五 根据两个一元一次方程的关系求解】 1．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）当x取何值时，代数式与的值互为相反数？ 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和相反数的性质，解题的关键是掌握相反数的两数的和为0及解一元一次方程的步骤． 先根据相反数的性质列出关于x的方程，再根据解一元一次方程的步骤依次计算可得． 【详解】解：由题意可得 即当时，代数式与的值互为相反数． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期末）当x为何值时，代数式与的差的值等于3？ 【答案】当x=5时，它们的差等于3 【分析】根据题意得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：由题意得  -=3. 去分母，得：5(x-2) -2（x+1）=3 去括号，得 5x-10-2x-2=3 移项，得 5x-2x=3+10+2， 合并同类项，得3x=15， 方程两边都除以3，得 x=5， 所以，当x=5时，它们的差等于3． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确运用等式的性质进行变形是解此题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）当为何值时，关于的方程的解比关于的方程：的解大2． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，分别解方程求出方程和方程的解，再根据关于的方程的解比关于的方程：的解大2建立关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程的解比关于的方程：的解大2， ∴， 解得：． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及方程的解的应用，先解出的解，再化简，得出，则，再把代入，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 ∵ 解得， ∵方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴把代入 得 5．（23-24七年级上·河南南阳·期中）若关于的方程的解和关于的方程的解的和为4，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，分别解出的解为，的解为，再根据两个方程的解得和为可列关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解得， 解得， 依题意得， 解得． 6．（23-24七年级上·山东聊城·期末）已知关于的方程，某同学在解这个方程时，不小心把方程右边的加7抄成了减7，解得方程的解为“”，求原方程的解． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先把代入抄错的方程，求出的值，再将的值代入正确的方程，进而解方程即可． 【详解】由题意得的解为， ∴， 解得， ∴原方程为， 移项，合并同类项得， 解得． 7．（23-24七年级上·陕西西安·期末）（1）当x等于什么数时，代数式的值与的值相等？ （2）当x等于什么数时，代数式的值与的值相等？ 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据题意列方程为，解方程即可； （2）根据题意列方程为，解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）由题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 8．（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若此方程的解与方程的解互为倒数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，相反数． （1）根据一元一次方程的定义， 得出，且，即可求解； （2）求出的解为，则已知方程的解为，将代入即可求出n的值． 【详解】（1）解：因为是一元一次方程． 所以，且， 所以； （2）解：由（1）知． 所以已知方程为 解方程， 得． 因为已知方程与方程的解互为相反数， 所以方程为的解为． 代入得， 解得． 9．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）（1）化简求值：，其中； （2）已知，． ①当x为何值时，A，B互为相反数？ ②当x为何值时，？ 【答案】（1）；；（2）①；② 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，即可求解； （2）①根据相反数的性质，列出方程，解出即可；②根据，列出方程，解出即可． 【详解】解：（1） 当时，原式 （2）①∵，，A，B互为相反数， ∴， 解得：， ②∵，，， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的化简求值，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)， (3)b的值为5或 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值； （2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可； （3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：，， ∴，； （3）∵， ∴， ∵的“伴生方程”是， 解得：， ∵均为整数， ∴． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若是整数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据题意得出或是解题关键． 【详解】解：是整数， 也为整数， ， 或， ,即：； ,即：； ,即：； ,即：； 综上所述： 故答案为：． 3．（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 4．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算“▲”，其运算方式如下： …… 观察式子的运算方式，请解决下列问题： (1)这种运算方式是： ________（用含m，n的式子表示）； (2)解方程：； (3)若关于x的方程：的解为整数，求正整数a的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为1或3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程．理解新定义的运算方式是解题的关键． （1）由题意知，，然后作答即可； （2）由题意知，，则，可得，计算求解即可； （3）由，可得，解得，，由解为整数，为正整数求值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴，即， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， 解得，， ∴正整数的值为1或3． 5．（23-24七年级上·山西吕梁·期末）阅读材料题 定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则__________； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求，的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)3； (2)，； (3)． 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：3． （2）解：与互为“反对方程”， ，， 解得，； （3）解：的“反对方程”为， 由得，，由，得， 与的解均为整数， 与都为整数． 也为整数， 当时，，，都为整数； 当时，，，都为整数， 的值为． 6．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）已知关于x的整式，整式，若p是常数，且的值与x无关． (1)求p的值； (2)若q为整数，关于x的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、解一元一次方程等知识，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将、代入，化简后根据无关项，得到，即可求出p的值； （2）先解一元一次方程，进而得出的值，即可计算求值． 【详解】（1）解：，， ， 的值与x无关， ， ； （2）解：， ， q为整数，是正整数，且， ，或,， 或 7．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知关于x的一元一次方程，其中k为常数． (1)若是该方程的解，求k的值； (2)若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数k的值． 【答案】(1) (2)，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键． （1）把代入方程解关于的方程即可； （2）解方程得，根据方程的解为正整数可得可能为1，2，3，6，解题即可求出k的值． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）解： 解得：， ∵方程的解为正整数， ∴可能为1，2，3，6， 故k的值为，，，． 8．（23-24七年级上·全国·专题练习）是否存在整数k，使关于x的方程有整数解？并求出解． 【答案】当时，；时，；时，；时， 【分析】把方程的解x用k的代数式表示，利用整除的知识求出k． 【详解】解：移项合并得：， ∴， ∵在整数范围内有解， ∴或， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，关键是要知道在整数范围内有解所表示的含义． 9．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； 【答案】(1) (2)1或2 【分析】（1）由题意得：，再将带入原方程即可求解． （2）将带入原方程求出方程的解，再利用条件分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将带入原方程得：， 解得：， 故答案为：． （2）将带入原方程得：， 解得：， 由于m是整数， 或或， 解得：或或（舍去）， 正整数k的值为：1或2． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解得意义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 10．（23-24七年级上·全国·专题练习）当整数k为何值时，方程有正整数解？并求出正整数解． 【答案】当时，；当时， 【分析】先求出方程的解，再根据正整数的特性进行分析即可得． 【详解】解：， ， 因为方程有正整数解， 所以，即， 所以， 要使方程有正整数解，则为正整数即可， 因此，或， ∴或， 当时，方程的正整数解为； 当时，方程的正整数解为； 答：当时，；当时，． 【点睛】本题考查了求一元一次方程的特殊解，正确求出方程的解为是解题关键． 【经典例题七 一元一次方程的新定义问题】 1．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解得；解得，由，可知方程与方程互为“美好方程”； （2）解得，；解得；由若关于x的方程与方程是“美好方程”，可得，计算求解即可； （3）解得，，由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可知是关于x的一元一次方程的解，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 解得，； ， 解得，， ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”； （2）解：， 解得，； ， 解得，； ∵若关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，， ∴m的值为9； （3）解：， 解得，， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴是关于x的一元一次方程的解， ∴， 解得，， ∴若求关于y的一次方程：的解为． 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)或． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，掌握一元一次方程的求解步骤，进行正确的计算是解题关键. （1）分别求解方程，再进行判断即可； （2）由题意得另一个方程的解为：，推出或，即可求解； 【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得． ∵， ∴方程与方程是“美好方程”．. （2）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n， ∴另一个方程的解为：， ∵两个解的差为8， ∴或， ∴或． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：若，则称与是关于3的平衡数， (1)3与______是关于3的平衡数，与______是关于3的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断a与b是否是关于3的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平衡数，同时满足一元一次方程，求的值． 【答案】(1)0， (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的加减、新定义、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义，可以计算出3的平衡数和的平衡数； （2）将a和b相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的平衡数，可以得到k和x的关系即可求解． 【详解】（1）解：， 3与0是关于3的平衡数， ， 与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）a与b是是关于3的平衡数，理由如下： ，， ， ， ， ， ； a与b是是关于3的平衡数． （3），，且与是关于3的平衡数， ， ， ， ， 整理，得：， 解得：， 由题意知的解是， ， ． 4．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数．我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程：和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程：与方程是“兄弟方程”．求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n．求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为8， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得 5．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）定义：若，则称与是关于的平衡数， (1)与_____是关于的平衡数，与_____是关于的平衡数（用含的代数式表示）． (2)若，．判断与是否是关于的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于的平衡数，同时满足一元一次方程求的值． 【答案】(1)， (2)与是关于的平衡数，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的加减、新定义、一元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答问题． （1）根据平衡数的定义，可以计算出的平衡数和的平衡数； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为即可； （3）根据，，且与是关于的平衡数，可以得到和的关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的平衡数， ∵ ∴与是关于的平衡数． （2）解：与是关于的平衡数， ∵， ∴ ， ∴与是关于的平衡数． （3）解：∵， ， 且与是关于的平衡数， ∴， ∴， ∴， 由整理得： ， 解得：， 由题意得的解为， ∴， ∴． 6．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，则称与是关于3的平安数． (1)4与 是关于3的平安数，与 是关于3的平安数．（填一个含的代数式） (2)若，，判断与是否是关于3的平安数，并说明理由． (3)若，，且与是关于3的平安数，若为正整数，求非负整数的值． 【答案】(1)， (2)与是关于3的平安数，理由见解析 (3)非负整数的值为0或1或3 【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，解一元一次方程： （1）根据平安数的定义列式求解即可； （2）将和相加，化简，看最后的结果是否为3即可； （3）根据，，且与是关于3的平安数，可以得到和的关系，然后利用分类讨论的方法，可以得到当为正整数时，非负整数的值． 【详解】（1）解：， 4与是关于3的平安数， ， 与是关于3的平安数， 故答案为：，； （2）解：与是关于3的平安数， 理由：，， ， 与是关于3的平安数； （3）解：，，且与是关于3的平安数， ， ， ， 为非负整数， 为正整数， 又为正整数， 可能是1，2，4， 当时，，得； 当时，，得， 当时，，得， 非负整数的值为0或1或3． 7．（23-24七年级上·江西赣州·期末）我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出，，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即． 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， ∴，即 ∴原式= ． 8．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）观察下列两个等式，，，给出定义如下： 我们称使等式成立的一对有理数a，b为“金桥有理数对”，记为，如：数对，都是“金桥有理数对”． (1)数对，中是“金桥有理数对”的是______； (2)若是“金桥有理数对”，求a的值； (3)若是“金桥有理数对”，则______“金桥有理数对”（填“一定是”、“一定不是”或“不确定”）． 【答案】(1) (2) (3)一定不是 【分析】本题考查有理数的混合运算、“金桥有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“金桥有理数对”的定义即可判断； （2）根据“金桥有理数对”的定义，构建方程即可解决问题； （3）根据“金桥有理数对”的定义即可判断． 【详解】（1）解：， ∴不是“金桥有理数对”； ， ， 中是“金桥有理数对”； 故答案为：； （2）由题意得:， 解得 ； （3）一定不是. 理由：， ， ∵是“金桥有理数对”， ， ， 一定不是“金桥有理数对”； 9．（23-24七年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程以及绝对值的应用， 首先解得x的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”； 首先求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：由，解得， 由，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 方程的解是或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）方程的解是或． 当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 10．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 【答案】(1)是，见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义运算以及一元一次方程的解法，正确理解“中点方程”的定义是解题关键． （1）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义判断，即可得到答案； （2）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义，得到关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由方程，解得：， ， 方程是“中点方程”； （2）解：由方程，解得， 方程为是“中点方程”， ， 解得： 【经典例题八 一元一次方程解的拓展问题】 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）若a、b、c、d是正数，解方程． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将4移项到方程左边变成，每项都，然后通分，利用乘法分配律，把写在括号外面，根据a，b，c，d为正数得，求出x即可，每项都减1进行通分是解题的关键． 【详解】解：原方程化为： ， ∴， ∴， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程的解比关于的方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 先求出方程的解，再求出方程的解，两者差额为，即可解答． 【详解】 根据题意可知： 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 4．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【答案】(1)或 (2)①；②；③ 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解答本题的关键． （1）利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）利用绝对值的意义讨论：当或b+1＝0或b+1＞0时确定方程的解的个数． 【详解】（1）， 当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得； 所以原方程的解是或． （2）∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程只有一个解； 当，即时，方程有两个解． 5．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）1990年，著名社会学家费孝通先生总结出了“各美其美，美人之美，美美与共，天下大同”这一处理不同文化关系的十六字“箴言”．在数学上，我们不妨约定：若关于的方程与同时满足，则称方程与互为“美美与共”方程．根据该约定，回答下列问题． (1)已知关于的方程与互为“美美与共”方程，且方程的解为，则______，______，______； (2)是否存在有理数，使关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若方程的解也是方程的解，求方程的“美美与共”方程的解． 【答案】(1)1；；； (2)存在； (3)方程的“美美与共”方程的解为 【分析】（1）根据题干信息得出，，先方程的解为，求出，即可得出答案； （2）先求出方程的解为：，在求出方程的“美美与共”方程的解为，根据和都为整数，求出结果即可； （3）先求出方程的解为：，得出方程的解为，再求出方程的“美美与共”方程为，求出方程的解为：． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵方程的解为， ∴， 解得：， ∴方程与互为“美美与共”方程， ∴，， ∴， 故答案为：1；；； （2）解：存在； 方程的解为：， 方程的“美美与共”方程为：，且其解为， ∵关于的方程与其“美美与共”方程的解都是整数， ∴和都为整数， ∴； （3）解：方程的解为：， ∵方程的解也是方程的解， ∴方程的解为， ∵方程的“美美与共”方程为， ∴方程的解为：． 即方程的“美美与共”方程的解为． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解方程的一般步骤准确计算． 6．（23-24七年级上·江苏南京·期末）阅读下面解方程的途径． 解方程 方程的解是，→ (1)按照上述途径，填写下面的空格． 解方程 方程的解是，→ (2)已知关于x的方程的解是或（a、b、c均为常数），求关于x的方程（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）仿照材料可知，即可求解； （2）仿照材料可知或，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：， 故答案为：，； （2）∵关于x的方程的解是或， ∴方程中或， 当时，， 当时，； 故方程的解为或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，利用换元的思想是解决问题的关键． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元一次方程（其中，b为常数）若这个方程的解恰好为，则称这个方程为“缘解方程”，例如：方程的解为，且．则方程为“缘解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”则b的值为______； (2)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，且解为，求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程是“缘解方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出b的值； （2）由是“缘解方程”得出，将代入方程可得，然后把，代入可求出n的值，进而可得m的值； （3）先解方程表示出x，再利用“缘解方程”的定义表示出x，进而得出，求得，再把原式化简成含的式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵是“缘解方程”， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵（即）是“缘解方程”， ∴， ∵解为， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， ∵方程是“缘解方程”， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，整式的化简求值，理解“缘解方程”的定义是解题的关键． 8．（23-24七年级上·江苏·期末）阅读与理解：已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 解：，，因为关于x的方程，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以或，所以或； 探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程有正整数解，求整数k的值． 【答案】7或4或3或2 【分析】移项合并可得，由此可判断出k所能取得的整数值． 【详解】解：， ， ， ， 因为关于x的方程有正整数解， 所以为正整数， 因为k为整数， 所以或或或， 解得或或或． 故整数k的值为7或4或3或2． 【点睛】本题考查解一元一次方程的知识，注意理解方程的解为整数所表示的含义． 9．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）阅读并解决问题： 对于任何数，我们规定符号的意义是． 例如：． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，求的值即可； （2）先利用运算法则化简，再将，代入求解即可； （3）先利用运算法则得到方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， ． （2）解： ， ， ，， 原式 ． （3）解：∵ ∴， 解得， 的值为． 【点睛】本题考查整式的加减——化简求值、有理数的混合运算和解一元一次方程，正确理解题目定义的新运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 10．（23-24七年级上·福建福州·期末）若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可； （2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可； （3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程：的解是， ∴将代入一元一次方程：得： ，解得：． 故答案为：． （2）解：当时，代入方程得， 整理得：， 把代入得， ， ∵m是整数，k为正整数， ∴、3， ∴或2 ． （3）解：整理方程得：， ∵无解， ∴，即， 把代入得， 整理方程得， 把代入得，解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$