专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项与移项解一元一次方程 题型二 去括号解一元一次方程 题型三 去分母解一元一次方程 题型四 解一元一次方程的拓展问题 题型五 一元一次方程的同解问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的含参问题 题型八 一元一次方程中的错看、错解问题 题型九 一元一次方程的遮挡问题 题型十 一元一次方程中的新定义问题 题型十一 含绝对值计算的一元一次方程 题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点一、解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例1】（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）已知是方程的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·开学考试）规定，已知，那么( )． 3．（23-24七年级上·四川巴中·期中） 定义一种新运算“”：．例如，． (1)计算：的值； (2)已知，求的值． 【经典例题二 去括号解一元一次方程】 【例2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 x 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）方程 的解（     ） A． B． C． D．2 2．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：．例如：．根据上述规定解决问题：当满足等式的x是整数时，整数k的所有可能的值的和是 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的方程的解，是关于的方程的解，若满足，则称方程与方程互为“雅礼方程”：例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为“雅礼方程”． (1)请判断方程与方程是否互为雅礼方程．并说明理由． (2)若关于的一元一次方程和关于的方程互为“雅礼方程”，请求出的值． (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使它们不是“雅礼方程”，求的值． 【经典例题三 去分母解一元一次方程】 【例3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）已知关于的方程与的解互为相反数，则（    ） A． B． C．5 D．－5 1．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）下列方程变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（23-24七年级上·湖南常德·期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则= ； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】 【例4】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）在代表按规律不断求和．设．则有，解得．故．类似地的结果是（   ） A． B． C． D．2 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 4 0 A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，且，则称方程是“差解方程”，若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则m的值为 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【经典例题五 一元一次方程的同解问题】 【例5】（23-24七年级上·湖南·期中）关于的方程的解与方程的解相同，则的值是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x的一元一次方程与关于x的一元一次方程的解相同，则a的值为（     ） A． B．9 C．3 D． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（1）若与互为相反数，与互为倒数，，求代数式的值． （2）已知关于的一元一次方程和的解相同，求的值． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 【例6】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知a给定的整数，记．若，则a的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 1．（23-24七年级上·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（23-24七年级上·上海·期中）关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）观察下列式子，定义一种新运算： ；；； (1)这种新运算是：______（用含a，b的代数式表示）； (2)如果，求a的值； (3)若a，b为整数，试判断是否能被3整除． 【经典例题七 一元一次方程的含参问题】 【例7】（24-25七年级上·全国·课后作业）若代数式和的值相同，则x的值是（   ） A．9 B． C． D． 1．（23-24七年级上·江苏·周测）已知关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 2．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是____；数轴上表示x和的两点之间的距离为____； (2)若，则为____； (3)的最小值是____，当，则的值为____； (4)若的最小值为7，则的值为____． 【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例8】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 1．（23-24七年级上·安徽六安·期中）小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为(   ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）同学小明在解关于的方程（　　）时，把（　　）处的数看错，得错解，则小明把（　　）处看成了 ． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：   ① ② ③ ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误． (1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______； (2)请你自己细心地解下面的方程：． 【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】 【例9】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽六安·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】 【例10】（23-24七年级上·安徽六安·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）定义运算“*”为，若，则x为（    ） A． B．1 C． D．5 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】 【例11】（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 1．（23-24七年级上·安徽·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 2．（24-25七年级上·安徽·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 【例12】（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 2．（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．（22·23七年级上·吉林长春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m　 　． (2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为　 　． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．23-24 B．23-24 C．23-24 D．2024 1．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·期中）定义新运算为：，如果，则（　　） A． B． C． D．无法确定 3．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）若关于x的方程的解为正整数，且关于y的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值之积是（    ） A．0 B．2 C． D． 4．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知（，，a是各项的系数，c是常数项）： 我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法： ①已知，则它的伴随多项式； ②已知，它的伴随多项式，则； ③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，则a的整数值有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24七年级上·广东惠州·期末）规定一种新运算：，若，则的值为 ． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对有理数a，b，规定运算“”的意义是，则方程的解是 ． 8．（23-24七年级上·山西大同·期中）对于实数a，b，定义运算“”，，例如：因为，所以，若，则 ． 9．（23-24七年级上·浙江台州·期末）对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示两数中较小的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 11．（24-25七年级上·全国·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果有两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“漂移方程”．例如：方程是方程的“漂移方程”． (1)判断方程是否为方程的“漂移方程”，并说明理由 (2)若关于的方程是关于的方程的“漂移方程”，求的值． 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)当取最大值时，的取值范围是______，最大值为______． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右测，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元一次方程重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 合并同类项与移项解一元一次方程 题型二 去括号解一元一次方程 题型三 去分母解一元一次方程 题型四 解一元一次方程的拓展问题 题型五 一元一次方程的同解问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 一元一次方程的含参问题 题型八 一元一次方程中的错看、错解问题 题型九 一元一次方程的遮挡问题 题型十 一元一次方程中的新定义问题 题型十一 含绝对值计算的一元一次方程 题型十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解 题型十三 一元一次方程解法的综合 知识点一、解一元一次方程 步骤 具体做法 变形依据 去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2 温馨提示： 1. 解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。 2. 在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下： 去分母 （1） 分子是多项式的，去分母后要加括号； （2） 不要漏乘不含分母的项 去括号 （1） 括号前的数要乘括号内的每一项； （2） 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号 移项 （1） 移项时不要漏项； （2） 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号 合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当 系数化为1 （1） 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； （2） 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数 【经典例题一 合并同类项与移项解一元一次方程】 【例1】（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．设，知，据此可得，再进一步求解可得． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ， ， 故选：A 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）已知是方程的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，把是方程代入方程得出关于的一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：把是方程代入方程得： ，解得：． 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·开学考试）规定，已知，那么( )． 【答案】24 【分析】根据定义的新的运算知道等于的3倍减去的2倍，由此用此方法计算的值，进而把写成方程的形式，解方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：24． 【点睛】本题词考查定义新运算，解一元一次方程，解答此题的关键是理解新运算，列出方程． 3．（23-24七年级上·四川巴中·期中） 定义一种新运算“”：．例如，． (1)计算：的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握新运算的法则，是解题的关键． （1）根据新运算，列出算式进行计算即可； （2）根据新运算，列出方程进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴， ∴． 【经典例题二 去括号解一元一次方程】 【例2】（23-24七年级上·山东济宁·期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：， 即 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，定义新计算，解题的关键是弄清题中的新定义． 1．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）方程 的解（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，根据方程的特点，逐步的去分母与去括号即可得到答案． 【详解】解：． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故选A 2．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：．例如：．根据上述规定解决问题：当满足等式的x是整数时，整数k的所有可能的值的和是 ． 【答案】 【分析】原式利用题中的新定义计算，求出整数k的值，从而得出答案． 【详解】解：∵等式的是整数， ∴， ∴， ∴， ∵是整数，∴或， ∴，，2，． ∴整数的所有可能的值的和是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了新定义，解一元一次方程，正确应用新定义得到一元一次方程并正确求解是解题的关键． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的方程的解，是关于的方程的解，若满足，则称方程与方程互为“雅礼方程”：例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为“雅礼方程”． (1)请判断方程与方程是否互为雅礼方程．并说明理由． (2)若关于的一元一次方程和关于的方程互为“雅礼方程”，请求出的值． (3)关于x，y的两个方程与方程，若对于任何数，都使它们不是“雅礼方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程互为雅礼方程，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，理解中新定义的“雅礼方程”是解题关键． （1）先分别求出两方程的解，然后根据“雅礼方程”的定义列式判断即可； （2）先分别求出两方程的解，然后根据“雅礼方程”的定义列出关于a的一元一次方程求解即可； （3）先分别求出两方程的解，然后根据“雅礼方程”的定义结合题意可得即对于任意都成立，确定符合题意的n的值即可解答． 【详解】（1）解：方程与方程互为雅礼方程，理由如下： 解方程和可得， ∴方程与方程互为雅礼方程． （2）解：由可得：，解得， 由，解得：， ∵关于的一元一次方程和关于的方程互为“雅礼方程”， ∴，解得：． （3）解：由和，解得：， ∵它们不是“雅礼方程” ∴无论为何值 ∴即对于任意都成立 ， 当时，对于任何数，都使它们不是“雅礼方程”． 【经典例题三 去分母解一元一次方程】 【例3】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）已知关于的方程与的解互为相反数，则（    ） A． B． C．5 D．－5 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握一元一次方程的解，相反数的定义，即可． 【详解】∵， 解得：， ∵的方程与的解互为相反数， ∴方程的解为：， ∴， 解得：． 故选：B． 1．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）下列方程变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程的每一步的注意事项对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：A、从可得到2x＝5﹣3，故本选项错误； B、去分母时﹣1没有乘以分母的最小公倍数，故本选项错误； C、从得，故本选项错误； D、从得，正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，需要注意，移项要变号，去分母时，没有分母的项也要乘以分母的最小公倍数，去括号时，括号外面的数与括号里面的每一项都要相乘． 2．（23-24七年级上·湖南常德·期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则= ； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为 ． 【答案】 －2 【分析】（1）根据“相伴数对”的定义可得，解此方程即可求解； （2）根据“相伴数对”的定义可得，则可求出，然后先将原式化简，代入计算即可求值． 【详解】解：（1）∵是“相伴数对”， ∴ 解得． 故答案为：． （2）∵是“相伴数对”， ∴， 解得， ∵ ， ∴原式＝． 故答案为：－2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题目中“相伴数对”的定义． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求m的值； (3)若关于x的方程与互为“成双方程”，求关于y的方程的解． 【答案】(1)不是互为“成双方程”，理由见解析： (2)； (3)． 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．掌握“成双方程”的定义，是解题的关键． （1）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“成双方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“成双方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”； 解，得：； 解，得：， ∵， 故方程与方程不是互为“成双方程”； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵方程与方程互为“成双方程”， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵方程与互为“成双方程”， ∴的解为， ∵， ∴， ∴． 【经典例题四 解一元一次方程的拓展问题】 【例4】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）在代表按规律不断求和．设．则有，解得．故．类似地的结果是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，仿照题目中的例题进行解答即可． 【详解】解：设， 则， 解得：， 故， 故选：A． 1．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 4 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由即，解得，根据表格中数据即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，将整式作为整体看成未知数是解题的关键． 2．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，且，则称方程是“差解方程”，若关于x的一元一次方程是“差解方程”，则m的值为 ． 【答案】/2.75 【分析】先解方程，再由“差解方程”的定义列式即可． 【详解】解方程得： ∵关于x的一元一次方程是“差解方程” ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义．理解“差解方程”的定义，运用“差解方程”的规定是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“十全十美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“十全十美方程”． (1)判断下列关于y的方程是否是一元一次方程的“十全十美方程”，在后面的横线上写“是”或“否”： ① ______，②  ______； (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请求出a的值； (3)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“十全十美方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)①否；②是 (2)3或9 (3)或 【分析】本题考查了新定义方程，解方程，熟练掌握定义，正确解方程是解题的关键． （1）根据新定义的要求，解方程验证即可． （2）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出a即可． （3）先求出的解，再根据新定义的内容求出的根，再代入这个根求出，继而得解． 【详解】（1）解：（1）①否；②是，理由如下： 的解为； ①方程的解是，，故不是“十全十美方程”； ②方程的解是或，当时，，是“十全十美方程”． 故答案为：①否；②是； （2）方程的解是或， 一元一次方程的解是，即， 若，，则，解得：； 若，，则，解得：； ∴a的值为3或9． （3）的值为或．理由如下： 由， 解得：， ∵， ∴， 即的解是：， ∴， 整理得：， ∵分母m不能为0， ∴， ∴， ①当时，， ∴，； ②当时，， ∴，； ∴的值为或． 【经典例题五 一元一次方程的同解问题】 【例5】（23-24七年级上·湖南·期中）关于的方程的解与方程的解相同，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程，解方程，将它的解代入方程，求出的值即可．掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 将代入方程， 得：， 解得：， ∴的值是． 故选：D． 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）若关于x的一元一次方程与关于x的一元一次方程的解相同，则a的值为（     ） A． B．9 C．3 D． 【答案】C 【分析】先求出方程的解，然后代入方程，可解出a的值； 【详解】解： 解得： 将代入方程可得：， 解得： 故选：C 【点睛】本题考查了同解方程的知识，属于基础题，解答本题的关键是理解方程解的含义． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）已知方程和方程的解相同，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的解的定义，是解题的关键． 先求出的解，再把x的值代入，求解即可． 【详解】解：∵的解是：， 又∵方程和有相同的解， ∴把，代入，得， 解得：． 则， 故答案是：． 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）（1）若与互为相反数，与互为倒数，，求代数式的值． （2）已知关于的一元一次方程和的解相同，求的值． 【答案】（1）1或；（2） 【分析】（1）根据题意可得：，，，然后把以上代数式整体代入所求代数式即可． （2）分别求出两方程的解，使它们相等，即可求出m的值． 本题考查了相反数、倒数、绝对值的意义，以及解一元一次方程．掌握相反数、倒数、绝对值的意义，以及正确的用含有m的代数式表示出两个一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：（1）∵若与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴． 当时，原式； 当时，原式； ∴的值为1或． （2）解方程， 得； 解方程， 得． 由题意得， 解得． 【经典例题六 一元一次方程的整数解问题】 【例6】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知a给定的整数，记．若，则a的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键．根据绝对值的性质得到当时，，当时，，于是得到结论． 【详解】解：当时，，当时，， ，说明， ， 故选：C． 1．（23-24七年级上·重庆·开学考试）若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为正整数推出是整数，进而得到解得或2或4；再根据多项式次数和项的定义得到且，据此得到所有满足条件的整数a的值为1，4，由此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之积是， 故选：C． 2．（23-24七年级上·上海·期中）关于x的方程的解是正整数，则整数k的值为_______． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程解的情况求参数．正确求出，进而得到或，是解题的关键． 先按照解一元一次方程的方法求出方程的解，再根据方程的解为正整数进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵原方程解是正整数， ∴且为整数， ∴或， 解得：或， 故答案为：8或10． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）观察下列式子，定义一种新运算： ；；； (1)这种新运算是：______（用含a，b的代数式表示）； (2)如果，求a的值； (3)若a，b为整数，试判断是否能被3整除． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 【分析】本题考查解一元一次方程和整式的加减运算，正确理解题意掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键． （1）通过观察发现，； （2）根据定义新运算列方程计算求a； （3）根据定义新运算列式，然后先去括号，合并同类项化简，最后做出判断． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴； 故答案为：； （2）解：∵，又， ∴， 解得：； （3）解：根据题意得： ∵a、b为整数， ∴为整数 ∴能被3整除 即：能被3整除． 【经典例题七 一元一次方程的含参问题】 【例7】（24-25七年级上·全国·课后作业）若代数式和的值相同，则x的值是（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程．根据题意得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：C． 1．（23-24七年级上·江苏·周测）已知关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程是解题的关键． 解得，，将代入，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， 将代入得，， 解得，， 故选：B． 2．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）已知关于x的方程与方程 的解互为相反数，则m 的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可． 先将的解求出，然后将的相反数求出后代入原方程求出的值． 【详解】解：，得， 是方程的解， 由，得， ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是____；数轴上表示x和的两点之间的距离为____； (2)若，则为____； (3)的最小值是____，当，则的值为____； (4)若的最小值为7，则的值为____． 【答案】(1)， (2)或 (3)5；3或 (4)4或 【分析】本题考查了数轴上表示数，两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分，，三种情况讨论即可求解； （4）分当时，则；当时，则；当时，则，三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：，数轴上表示的点与表示的点的距离为2， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：或； （3）解：即数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离， 则的最小值是， 故答案为：； ，即数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离和等于7， 当时，， ∴， 当时，， ∴此情况不存在， 当时，， ∴， 故答案为：3或； （4）解：，表示数轴上表示的点与表示，2和的点的距离之和，且有最小值为7， 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴； 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴此情况不存在； 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4或． 【经典例题八 一元一次方程中的错看、错解问题】 【例8】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）某同学解方程时，把（    ）处的数字看错，得错解，则他把（    ）处看成了 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先设（    ）处为，则原式为，把代入解得，即可作答． 【详解】解：依题意，先设（    ）处为， 则原式为， 把代入，得 解得， 故选：C 1．（23-24七年级上·安徽六安·期中）小明在解方程 (x为未知数)时，误将看作，得方程的解为，则原方程的解为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的概念，正确解一元一次方程是关键；由题意知是方程的解，把解代入此方程则可求得a的值；再a的值代入中并解方程即可． 【详解】解：由题意知，是方程的解， 所以， 解得：， 把代入，得， 解得：； 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）同学小明在解关于的方程（　　）时，把（　　）处的数看错，得错解，则小明把（　　）处看成了 ． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次方程和方程的解．可设（ ）内的数为，则错解得方程为，将代入即可． 【详解】解：设（ ）内的数为，则错解的方程为， 依题将代入得： 解得：． 故答案为：9． 3．（23-24七年级上·安徽滁州·期末）老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：   ① ② ③ ④ ⑤ 老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误． (1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______； (2)请你自己细心地解下面的方程：． 【答案】(1)①； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算． （1）根据小明的解题过程进行判断即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1． 【详解】（1）解：小明在第①步去分母时，1漏乘了12； ， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 故答案为：①；． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【经典例题九 一元一次方程的遮挡问题】 【例9】（23-24七年级上·安徽滁州·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，若被墨水遮盖的数是一个常数，则这个常数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算即可求解，比较简单． 把方程的解代入方程进行计算即可求解． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得． 故选C． 1．（23-24七年级上·安徽六安·期中）小丽在解方程●时，发现一个常数被“●”遮住了，小丽翻开答案，发现方程的解为，则这个被遮住的常数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解得定义以及一元一次方程的解法．设被污染的数字为a，将代入，得到关于a的方程，从而可求得a的值． 【详解】解：设被污染的数字为a． 将代入得：． 解得：． 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）嘉琪在做解方程练习时，发现方程的某一部分在印刷时被油墨遮盖住了，她看到的方程为：．为了弄清被遮盖的数字是多少，嘉琪翻看了后面的答案为，则■处的数字应是 ． 【答案】-7 【分析】设■处的数字为a，把x=2代入方程 得出 ，再求出方程的解即可． 【详解】解：设■处的数字为a， 把x=2代入方程得：， 解得：a=-7， 即■处的数字为-7， 故答案为：-7． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【经典例题十 一元一次方程中的新定义问题】 【例10】（23-24七年级上·安徽六安·期中）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，由题意可得，解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得， 系数化为得，， 故选：． 1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）定义运算“*”为，若，则x为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程，根据将定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选D． 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）定义一种新运算“”，，例如，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，由题意得出，即可得出关于x的方程，解方程即可得出答案，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于x的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的方程和是“兄弟方程”，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，再由“兄弟方程”的定义得到关于x的方程：的解为，据此把代入方程中求出m的值即可； （2）根据“兄弟方程”的定义得到另一个解为，进而得到或，解方程即可； （3）解方程得，解方程得，根据“兄弟方程”的定义得到，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于x的方程：与方程是“兄弟方程”， ∴关于x的方程：的解为， ∴， ∴； （2）解：∵两个“兄弟方程”的两个解中有一个解为n， ∴另一个解为， ∵这两个解的差为6， ∴或， 解得； （3）解：解方程得，解方程得， ∵关于x的方程和是“兄弟方程”， ∴， 解得． 【经典例题十一 含绝对值计算的一元一次方程】 【例11】（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知的绝对值是2，与互为倒数，则的值为（    ） A． B．2 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，倒数和绝对值的定义，代数式求值，根据绝对值的定义得到，解方程可得或；根据倒数的定义可得，解得，据此代值计算即可． 【详解】解；∵的绝对值是2， ∴， ∴或， ∴或； ∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴或 故选：C． 1．（23-24七年级上·安徽·专题练习）已知的绝对值与的绝对值相等，则x的相反数为（    ） A．9 B．1 C．1或 D．9或 【答案】C 【分析】根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，或， ∴或， ∴x的相反数是或1． 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值方程的应用，解一元一次方程，正确理解题意列得方程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽·阶段练习）素材：由绝对值的定义可知，对任意有理数，则，当时，取到最小值为0．则的最小值是 ，要使式子取到最大值，则有理数的值是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据当时，取到最小值为0，据此求解即可． 【详解】解：当时，取到最小值为0．则的最小值是5； 当时，式子取到最大值， ∴， 解得， 故答案为：5；． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题∶ (1)表示和2两点之间的距离是_________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么_________； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为_________； (3)若，求． 【答案】(1)；或 (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值； （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； （2）根据题意对去绝对值即可求解； （3）分数的点位于的左边或的右边两种情况讨论，再分别计算即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或； （2）解：数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：； （3）解：， 数的点位于的左边或的右边， 当数的点位于的左边时，则， 解得； 数的点位于的右边，则， 解得； 综上，或． 【经典例题十二 已知一个一元一次方程的解求另一个一元一次方程的解】 【例12】（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是， 即的解是， ∴ ∴， ∴， 即 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次方程的解为x＝﹣3，则关于y的一元一次方程的解为（　　） A．y＝1 B．y＝﹣2 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的整体替换即可解得． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为 ∴关于y的一元一次方程中， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的的解，解题的关键是会用整体替换的思想． 2．（22·23七年级上·安徽芜湖·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设，则关于y的方程化为：， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了 一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 3．（22·23七年级上·吉林长春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”． 例如：的解为；的解为，所以这两个方程为“友好方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“友好方程”，则m　 　． (2)已知两个一元一次方程为“友好方程”，且这两个“友好方程”的解的差为3．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，则关于y的一元一次方程的解为　 　． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）分别求得两个方程的解，利用“友好方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“友好方程”的定义得出两个“友好方程”的解为，，由两个“友好方程”的解的差为3列出关于k的方程解答即可； （3）求得方程的解，利用“友好方程”的定义得到方程的解，将关于y的一元一次方程变形，利用同解方程的定义即可得到的值，从而求得方程的解； 【详解】（1）解：∵方程的解为， 方程的解为， 而方程与是“友好方程”， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵“友好方程”的一个解为，则另一个解为， 依题意得或， 解得或， 故k的值为或； （3）解：方程的解为， ∵关于x的一元一次方程和是“友好方程”， ∴关于x的方程的解为， ∵关于y的一元一次方程变形得， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【经典例题十三 一元一次方程解法的综合】 【例13】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．23-24 B．23-24 C．23-24 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 1．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的定义，换元法解方程．理解把关于y的方程中的比作关于x的方程中的x是解题关键．关于y的方程可变形为，结合题意可得出，解出y的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴，即关于y的方程的解为． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·安徽六安·期末）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“天心方程”．例如，的解为，而，则该方程就是“天心方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)一元一次方程_______（填“是”或“不是”） “天心方程”． (2)若关于的一元一次方程是“天心方程”，则_______． (3)若关于的一元一次方程是“天心方程”，且它的解为，求的值． (4)若关于的一元一次方程和关于的一元一次方程都是“天心方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)， (4) 【分析】（1）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （2）解得，由“天心方程”的定义得，即可求解； （3）解得：，由“天心方程”的定义得及方程的解为得和，解方程组，即可求解； （4）由“天心方程”得，，从而可得， ，，将此代入代数式得化简即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 不是天心方程， 故答案：不是； （2）解：由解得， 一元一次方程是“天心方程”， ， 解得：， 故答案：； （3）解：由解得： ， 方程的解为， ①， 一元一次方程是“天心方程”， ②， 联立①②，解得， 故，； （4）解：一元一次方程是“天心方程”， ， ①， 关于的一元一次方程是“天心方程”， ， ， ②， 由①②得：③， ④， ⑤， 将③④⑤代入代数式得： 原式 ． 【点睛】本题考查了新定义，方程的解，求代数式的值，解含参数的一元一次方程，理解新定义，能用整体代换的思想求解是解题的关键． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程的解，根据新定义得到关于m的方程是解题的关键．利用题中的新定义化简，然后解一元一次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得：， 即， 解得：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·全国·期中）定义新运算为：，如果，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算，合并同类项，解一元一次方程，根据题中定义新运算转化为一元一次方程，然后解方程即可，读懂题意，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ∴ 故选：． 3．（23-24七年级上·重庆渝北·期末）若关于x的方程的解为正整数，且关于y的不等式组有解，则满足条件的所有整数a的值之积是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，先求出方程的解，和不等式组的解集，根据方程的解为正整数，以及不等式组有解，求出整数的值，即可． 【详解】解：解，得：； ∵方程的解为正整数， ∴， ∴ 解，得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∵， 故选B． 4．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求含参数一元一次方程的值，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键，利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知（，，a是各项的系数，c是常数项）： 我们规定的伴随多项式是，且，如果，则它的伴随多项式，下列说法： ①已知，则它的伴随多项式； ②已知，它的伴随多项式，则； ③已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，则a的整数值有4个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次方程，根据新定义运算即可判断①；根据题意得出，解方程即可判断②；根据题意得出，得到，结合题意得出或或或，求解即可，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：已知，则它的伴随多项式，故①正确； ∵， ∴它的伴随多项式， ∵它的伴随多项式， ∴， 解得：，故②正确； ∵二次多项式， ∴它的伴随多项式是， 由题意得：， ∴， ∵关于x的方程有正整数解， ∴或或或， 解得：或或或，即a的整数值有4个，故③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D． 6．（23-24七年级上·广东惠州·期末）规定一种新运算：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、新定义，根据和，可以写出相应的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对有理数a，b，规定运算“”的意义是，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．理解并掌握新运算法则，是解题的关键．根据给定的新运算法则，列出一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴可化为， 解得， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·山西大同·期中）对于实数a，b，定义运算“”，，例如：因为，所以，若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算、解一元一次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分和两种情况分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：当时，由题意可得：，解得：，不符合题意； 当时，由题意可得：，解得：，符合题意； 综上，． 故答案为：0． 9．（23-24七年级上·浙江台州·期末）对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示两数中较小的数，例如．按照这个规定，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，解题的关键是分两种情况列出方程求解． 根据题意，当时，；当时，，根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【详解】解：当时，， ∵， ， 解得（，舍去）； 当时，， ∵ ， 解得． 综上，可得方程的解为． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）小明在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为，而；的解为，而． 于是，小明将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程的解为，则称之为“奇异方程”．请和小明一起进行以下探究：若关于x的方程为奇异方程，解关于y的方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据题干定义的奇异方程，找到，之间的代数等量关系是解决问题的关键．方程的解为，因为它又是奇异方程，所以解为，两式相等即可找到，之间的代数等量关系，代入关于的方程即可求解． 【详解】解： ， ， 又 为奇异方程， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·期中）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是： （1）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （2）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （3）按照去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． （4）按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解∶原方程变形为， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如果有两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“漂移方程”．例如：方程是方程的“漂移方程”． (1)判断方程是否为方程的“漂移方程”，并说明理由 (2)若关于的方程是关于的方程的“漂移方程”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“漂移方程”的定义是解题的关键． （1）求出两个方程的解，利用“漂移方程”的定义判定即可． （2）分别表示出两个方程的解，根据“漂移方程”的定义列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】（1）解：方程①是方程②的漂移方程，理由如下： 解方程①得，解方程②得， ， 方程是方程的漂移方程； （2）解：，解得， 方程是关于的方程的“漂移方程”， 方程的解为， 把代入，得， 解得． 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下列关于x的方程，并回答问题． ①的解是； ②的解是； ③的解是； … (1)猜想方程的解为______； (2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______； (3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键． （1）观察关于x的方程可得出第n个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案； （2）根据（1）所得规律解答即可； （3）根据（1）所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可． 【详解】（1）解：观察关于x的方程可得出第n个方程为，其解为， 因为，即， 所以该方程的解为； （2）解：由（1）可知第2024个方程的解； （3）解：因为， 所以由（1）可知，该解为第个方程的解， 所以这个方程是，即． 14．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 15．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时的值为______． (2)与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则______． (3)当是______时，代数式． (4)当取最大值时，的取值范围是______，最大值为______． (5)若点表示的数，点与点的距离是5，且点在点的右测，动点P、Q分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，？（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，； (2)，或； (3)或； (4)，； (5)运动秒或秒后，． 【分析】本题考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，解题的关键是掌握绝对值的定义． （1）数轴上到原点距离为的点有两个，分别在原点的左右两边，根据数轴上点的特征即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解． （3）根据的取值范围取绝对值，分①当时；②当时；③当时，三种情况进行讨论求解即可； （4）根据绝对值的性质分类讨论，可得答案； （5）设运动秒后，根据题意求得点表示的数为，得到秒后点表示的数为，点表示的数为，则，整理求解即可． 【详解】（1）解：数轴上到原点距离为的点有两个， 当在原点左边时，的值为， 当在原点右边时，的值为， 故答案为：，； （2）解：与之间的距离表示为：， 若则 解得：或 故答案为：，或； （3）解：①当时，原方程可化为：， 解得：， ②当时，原方程可化为：， 此时方程无解， ③当时，原方程可化为：， 解得：， 综上可得的值为或， 故答案为：或； （4）解：当时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴，即； 当时，，， ∴， 综上可知：当时，取最大值，最大值为， 故答案为：，； （5）解：设运动秒后， ∵点表示的数为，点与点的距离是，且点在点的右侧 ∴点表示的数为：， 由题意可得秒后点表示的数为，点表示的数为， 则， 整理得：， ∴或 解得：或， ∴运动秒或秒后． 学科网（北京）股份有限公司 $$