陕西省西安市第二十六中学2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

20242025学年九年级第一学期期中质量检测 数学 注意事项： 1.全卷满分120分，答题时间为120分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.一元二次方程3x2-1=6x的二次项系数和一次项系数分别为() A.3,-6 B.3,6 C.3,-1 D.3x2,-6x 2.下列四组线段中，不成比例的是() A.3,9,2,6 B.1,5,2,6 C.1,2,3,4 D.1,2,4,8 3.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现， 摸到白球的频率稳定在07左右，则布袋中黄球可能有（) A,15个 B.20个 C.30个 D.35个 4.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的点D'处，点C落在点C'处，若∠AD'M=60°， 则∠MNB的度数为() D M D (第4题图) (第5题图) （第8题图) A.65 B.70° C.75 D.80° 5.如图，已知AD∥BE∥CF,那么下列结论正确的是() A.BEDE B.EP-4D DEAB CF一DF C.BE CR D. DEBC AC EF BC 6.已知关于x的一元二次方程x2-2(1-m)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若x1x2=4,则m的值为() A.-2 B.2 C.2或-2 D 7.如图，△ABC中，∠A=76°，AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形 不相似的是() 1 C③扫描全能王 亿人都在用的目播Ap时 0769 769 C 8.如图，菱形ABCD中，EF⊥AC,垂足为点H,分别交AD、AB及CB的延长线于点E、M、F,且AE:FB=2: 3,则AH:AC的值为() A月 B月 c D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 9.若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x-a=0有一个根是x=1,则a的值为 10.若萄5通十子 11.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP> PB),如果AB的长度为8cm,那么BP的长度为 cm. B (第11题图) (第12题图) (第13题图) 12.已知：如图，正方形的顶点A在矩形DEFG的边EF上，矩形DEFG的顶点G在正方形的边BC上，正方形的 边长为4，DG的长为5，则DE的长为 13.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8,BC=17,点P为BC边上任意一点，连接PA,以PA,PC为邻 边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为 三、解答题（本大题共13小题，共81分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14.(本题满分5分) 解方程：(1)2-6x-18=0: 2 CS扫描全能王 3亿人藤在用的目猫AP白 15.(本题满分5分)》 解方程：2(x-3)2=(x-3)(+3). 16.(本题满分5分) 己知△ABC中，∠C=90°，你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线， 保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由. 17.(本题满分5分) 已知△MBC和△DEF中，有合名一是写AMBC和△er的周长之差为15厘米，求△MBC和△DEF的 周长 18.(本题满分5分) 已知关于x的方程x2。(m-3)x+m~5=0.求证：无论m取何值，该方程都有实数根. 19.(本题满分5分) 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E、F、G分别为AD、AO、DO的中点.求证：四边形EFOG 为菱形. 20.(本题满分6分) ETC(Electronic Toll Collection)不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式.安装有ETC的车辆通过路 桥收费站无需停车就能交纳费用.某高速路口收费站有A,B,C,D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通 道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站。 3 CS扫描全能王 亿人都在用的目播APP (1)求小李通过A通道的概率： (2)请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概 率 21.(本题满分6分) 陕西历史悠久，是中华文明的重要发样地之一，秦始皇兵马俑、西岳华山、华清池、黄帝陵、西安城墙、金丝峡景 区、大雁塔、大唐芙蓉园景区、延安革命纪念地景区等，这些都是人们节假日休闲的好去处，我省某旅行社为吸引 市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为2000元：如果超过25人，每增 加1人，人均旅游费用降低40元，但人均旅游费用不得低于1700元.某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社 旅游费用54000元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游？ 22.(本题满分6分)》 如图，在口ABCD中，E是BC上一点，连接AE,在AE上取点F,使得∠DFE=∠C,求证：AD·AB=AEDF 23.(本题满分7分) 如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF.在河对岸有一棵高4.8米的树GF,树GF在河里的倒影为HF, GF=HF,小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点B处时看到岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到 水面EF的距离CE=0.8米，AB=1.6米，BC=2.4米，AB⊥BC,CE⊥EF,FH⊥EF,GF⊥EF,BC∥EF,视线AH 与水面EF的交点为D,请你根据以上测量方法及数据求河的宽度EF, 24.(本题满分8分) 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在网格格点上，且点A、B、C的坐标分别为A(3,0),B(4,2), C(2,4). (1)以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A1B1C1,使△A1B1C与△ABC的相似比为2：I: 4 CS扫描全能王 门亿人都在用的归播APe (2)在(1)的条件下，求△41B1C的面积。 7 .5 4 --9.2..4.5.6..8x 25.(本题满分8分) 如图，△ABC中，AB=7厘米，AC=15厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点2从C同时出 发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为 顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？ 26.(本题满分10分) 【问题提出】 (I)如图O,在Rt△BC中，∠B=90°，点D为BC上一点，且CD;,过RD作DE⊥AC于点E,若AB 2 =4,则DE的长为 【问题探究】 (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边上一点，连接AD,过点D作DE⊥AD交AC于点E, 过点B作BF⊥AC于点F,交AD于点G,试判断△ABG与△DCE是否相似，并说明理由： 【问题解决】 (3)如图③，Rt△ABC是一块菜园平面示意图，∠ABC=90°，BC=2AB,AD是BC边上的中线，BF⊥AC于点 F,交AD于点G,DE⊥AD交AC于点E,经测量，DE=5O米，现欲沿DG修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠 的长度DG. E D D 图0 图② 图③ 5 CS扫描全能王 】亿人都在用的目播Ap时1 2024~2025 学年九年级第一学期期中质量检测 数学答案解析 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求） 1. A 2. C 3. A 4. C 5. D 6. A 7. C 8. D 二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分） 9. -1 10. 1 3 11. 12 4 5− 12. 16 5 13. 120 17 三、解答题（本大题共 13小题，共 81分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14.（本题满分 5 分） 解方程： x2﹣6x﹣18＝0； 解： x2﹣6x＝18 x2﹣6x+9＝18+9 （x﹣3）2＝27 ——————3 分 x﹣3＝ 3 3 所以 x1＝3+ 3 3 ，x2＝3﹣3 3 ——————5 分 15.（本题满分 5 分） 解方程：2（x﹣3）2＝（x﹣3）（x+3）． 解： 2（x﹣3）2﹣（x﹣3）（x+3）＝0 [2（x﹣3）﹣（x+3）]（x﹣3）＝0 （x﹣9）（x﹣3）＝0 ——————3 分 ∴x﹣9＝0 或 x﹣3＝0 ∴x1＝9，x2＝3 ——————5 分 16．（本题满分 5 分） 已知△ABC 中，∠C＝90°．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请 用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由． 2 解：如图，直线 CD 即为所求作． ——————3 分 理由：∵CD⊥AB，∠ACB＝90° ∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90° ∴∠A+∠ACD＝90°，∠B+∠A＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△CDA∽△BDC ——————5 分 17．（本题满分 5 分） 已知△ABC 和△DEF 中，有 2 5 AB BC CA DE EF FD = = = ．且△ABC 和△DEF 的周长之差为 15 厘米， 求△ABC 和△DEF 的周长． 解：设△ABC 和△DEF 的周长分别是 x 厘米和 y 厘米． ∵ 2 5 AB BC CA DE EF FD = = = ∴△ABC∽△DEF ∴ 2 5 AB BC CA x DE EF FD y + + = = + + ① ——————2 分 由题意可得：y﹣x＝15 ② 由①式得 x＝ 2 5 y ③ 将③式代入②式得：y﹣ 2 5 y＝15 ∴y＝25 ——————3 分 将 y＝25 代入③式得：x＝10 ——————4 分 答：△ABC 和△DEF 的周长分别是 10 厘米和 25 厘米． ——————5 分 18．（本题满分 5 分） 已知关于 x 的方程 x2﹣（m﹣3）x+m﹣5＝0．求证：无论 m 取何值，该方程都有实数根. 证明：∵a=1，b=﹣（m﹣3），c= m﹣5 ——————2 分 ∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4（m﹣5）＝m2﹣10m+29＝（m﹣5）2+4≥4 ————4 分 ∴无论 m 取何值，该方程都有实数根 ——————5 分 3 19．（本题满分 5 分） 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，点 E、F、G 分别为 AD、AO、DO 的 中点．求证：四边形 EFOG 为菱形． 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD ∴OA＝OD 又∵点 E、F、G 分别为 AD、AO、DO 的中点 ∴OF＝OG，EF∥OD，且 1 2 EF OD OG= = ——————2 分 同理， 1 2 EG AO OF= = ∴EF＝FO＝OG＝GE ——————4 分 ∴四边形 EFOG 为菱形 ——————5 分 20．（本题满分 6 分） ETC（Electronic Toll Collection）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装 有 ETC 的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有 A，B，C，D 四个 ETC 通道，车辆可任意选择一个 ETC 通道通过，且通过每个 ETC 通道的可能性相同， 一天，小李和小赵分别驾驶安装有 ETC 的汽车经过此收费站． （1）求小李通过 A 通道的概率； （2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和 小赵经过相同通道的概率． 解：（1）小李通过 A 通道的概率为 1 4 ； ——————2 分 （2）画树状图如图： ———4 分 4 由树状图可知：共有 16 种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有 4 种 ∴P（小李和小赵经过相同通道）＝ 4 16 ＝ 1 4 ——————6 分 21．（本题满分 6 分） 陕西历史悠久，是中华文明的重要发祥地之一．秦始皇兵马俑、西岳华山、华清池、黄帝陵、 西安城墙、金丝峡景区、大雁塔、大唐芙蓉园景区、延安革命纪念地景区等，这些都是人们 节假日休闲的好去处．我省某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：如果人 数不超过 25 人，人均旅游费用为 2000 元；如果超过 25 人，每增加 1 人，人均旅游费用降 低 40 元，但人均旅游费用不得低于 1700 元．某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社 旅游费用 54000 元，请问该单位这次共有多少名员工去旅游？ 解：∵2000×25＝50000＜54000 ∴去的人一定超过 25 人 ——————1 分 设该单位这次共有 x 个员工去旅游. 根据题意，得[2000﹣40（x﹣25）]x＝54000 ——————3 分 解之得：x1＝45，x2＝30 ——————4 分 当 x＝45 时，人均费用为 1200 元．因为低于 1700 元，这种情况舍去． 当 x＝30 时，人均费用为 1800 元．符合题意． 答：该单位这次共有 30 名员工去旅游． ——————6 分 22．（本题满分 6 分） 如图，在▱ABCD 中，E 是 BC 上一点，连接 AE，在 AE 上取点 F，使得∠DFE＝∠C．求 证：AD•AB＝AE•DF． 证明：∵AD∥BC ∴∠AEB＝∠DAF ——————1 分 ∵AB∥CD ∴∠B+∠C＝180° ∵∠AFD+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠C ∴∠B＝∠AFD ——————3 分 5 ∴△ABE∽△DFA ——————4 分 ∴ AD DF AE AB = ∴AD•AB＝AE•DF ——————6 分 23. （本题满分 7 分） 如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度 EF．在河对岸有一棵高 4.8 米的树 GF，树 GF 在 河里的倒影为 HF，GF＝HF，小斌在岸边调整自己的位置，当恰好站在点 B 处时看到岸边 点 C 和倒影顶点 H 在一条直线上，点 C 到水面 EF 的距离 CE＝0.8 米，AB＝1.6 米，BC＝ 2.4 米，AB⊥BC，CE⊥EF，FH⊥EF，GF⊥EF，BC∥EF，视线 AH 与水面 EF 的交点为 D， 请你根据以上测量方法及数据求河的宽度 EF． 解：∵BC∥EF，AB⊥BC，CE⊥EF ∴∠ACB＝∠CDE，∠ABC＝∠CED＝90° ∴△ABC∽△CED ——————2 分 ∴ AB BC CE ED = ，即 1.6 2.4 0.8 ED = ∴ED＝1.2 ——————3 分 ∵CE⊥EF，FH⊥EF ∴∠CED＝∠HFD＝90° ∵∠CDE＝∠HDF ∴△CED∽△HFD ——————5 分 ∴ FH DF CE ED = ，即 4.8 0.8 1.2 DF = ∴DF＝7.2 ——————6 分 ∴EF＝ED+DF＝8.4 米 答：河的宽度 EF 为 8.4 米． ——————7 分 24．（本题满分 8 分） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点均在网格格点上，且点 A、B、C 的坐标分别为 A（3，0），B（4，2），C（2，4）． 6 （1）以点 O 为位似中心，在第一象限画出△ABC 的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1 与△ ABC 的相似比为 2：1； （2）在（1）的条件下，求△A1B1C1 的面积． 解：（1）如图所示：△A1B1C1 即为所求； ——————3 分 （2） 1 1 1 (4 8) 4 2 4 2 8 12 2 2 2  +  −   −   = ——————8 分 25．（本题满分 8 分） 如图，△ABC 中，AB＝7 厘米，AC＝15 厘米，点 P 从 A 出发，以每秒 2 厘米的速度向 B 运 动，点 Q 从 C 同时出发，以每秒 3 厘米的速度向 A 运动，其中一个动点到端点时，另一个 动点也相应停止运动，那么，当以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是 多少？ 解：设运动了 ts. 根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，则 AQ＝AC﹣CQ＝15﹣3t（cm） —————1 分 当△APQ∽△ABC 时， AP AQ AB AC = 即 2 15 3 7 15 t t− = 7 解得：t＝ 35 17 ——————3 分 当△APQ∽△ACB 时， AP AQ AC AB = 即 2 15 3 15 7 t t− = 解得：t＝ 225 59 ——————5 分 ∵P 点运动时长为 7 2 s，Q 点运动时长为 5s ∴ 7 0 2 t  ——————6 分 ∴t＝ 35 17 故当以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是 35 17 s． ————7 分 26．（本题满分 10 分） 【问题提出】 （1）如图①，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，点 D 为 BC 上一点，且 1 2 CD AC= ，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，若 AB＝4，则 DE 的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，过点 D 作 DE⊥AD 交 AC 于点 E，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F，交 AD 于点 G，试判断△ABG 与△DCE 是否相似，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，Rt△ABC 是一块菜园平面示意图，∠ABC＝90°，BC＝2AB，AD 是 BC 边上 的中线，BF⊥AC 于点 F，交 AD 于点 G，DE⊥AD 交 AC 于点 E，经测量，DE＝50 米，现 欲沿 DG 修一条灌溉水渠，请你求出灌溉水渠的长度 DG． 解：（1）∵DE⊥AC ∴∠DEC＝90° 8 ∵Rt△ABC ∴∠B＝∠DEC ∵∠C＝∠C ∴△ABC∽△DEC ∴ DE CD AB AC = ∵ 1 2 CD AC= ，AB＝4 ∴ 1 4 2 DE = 解得：DE＝2 故答案为：2． ——————2 分 （2）△ABG 与△DCE 相似，理由如下： ∵BF⊥AC ∴∠AFB＝90° ∵∠ABC＝90° ∴∠C+∠BAC＝∠ABF+∠BAC＝90° ∴∠C＝∠ABF ——————3 分 ∵DE⊥AD ∴∠ADE＝90° ∵∠AGB＝∠FAG+∠AFG＝∠FAG+90°，∠CED＝∠FAG+∠ADE＝∠FAG+90° ∴∠AGB＝∠CED ——————4 分 ∴△ABG∽△DCE ——————5 分 （3）过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，如图所示： ∵AD 是 BC 边上的中线 ∴BD＝CD ∵BC＝2AB ∴AB＝BD＝CD 9 ∵∠ABD＝90° ∴ 1 90 45 2 BAD BDA =  =   =  ∵∠ADE＝90° ∴∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45° ∵∠DHE＝90° ∴△DEH 为等腰直角三角形 ∴ 50 25 2 2 2 DE DH EH= = = = （米） ——————7 分 ∵△ABG∽△DCE ∴∠ABG＝∠C，∠AGB＝∠CED ∵AB＝CD ∴△ABG≌△DCE ∴AG＝DE＝50 米 ∵∠C=∠C，∠CHE=∠CBA ∴△CHE∽△CBA ∴ 1 2 EH AB CH BC = = ∴ 2 50 2CH EH= = 米 ∴ 75 2CD CH DH= + = 米 ∴AB= 75 2BD CD= = 米 ——————9 分 ∵ 2 2 150AD AB BD= + = 米 ∴DG＝AD﹣AG＝150﹣50＝100（米） ——————10 分