第七章平行线的证明专题二 平行线的判定与性质讲义2024-2025学年北师大版八年级数学上册

专题二 平行线的判定与性质 【知识点】 1. 平行线中常用的结论： (1) 在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交； (2) 在同一平面内不相交的两条直线互为平行线； (3)两条平行线被第三条直线所截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，反之也成立； (4) 如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行； (5) 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； (6) 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 2. 平行线中的常见“模型”： (1) 铅笔模型: 若a∥b, 则∠1+∠2+∠3=360° (3) 其他模型:(2)“M”模型: 若a∥b, 则∠1=∠2+∠3 若a∥b, 则∠1=∠2+∠3 若a∥b, 则∠3=∠1+∠2 注意：遇到带有“折线”“拐角”类的题目，解决问题的办法一般是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自然得到解决. 3. 等积变形： (1) 几何图形面积计算问题的题型较多，解题最常用的就是转化思想，即将不规则的组合图形，通过分、合、移、补、转等变形转化为规则的几何图形，然后利用图形的面积公式进行计算. (2) 可以利用平行线间的距离处处相等，同底等高的两三角形面积相等来解决有关面积转化的问题. (3) 蝴蝶模型: 如图①, 已知AB∥CD, 则S△ACD与S△BCD的大小关系是 如图②, 已知AB∥CD, 则S△ACO与S△BDO的大小关系是. 179 题型1 平行线的判定方法 【例1】如图所示，已知. 求证： (试用三种方法证明) 举一反三。 1. 如图所示，已知. 求证 (用两种方法证明) 【例2】如图所示，已知. 试用p,q, y米表示x. 举一反三。 2. 如图所示，已知. 点M、N分别为两直线上的点，点E，F为两直线内部的点，求证： 题型3 平行线的性质和判定的综合应用 【例3】如图所示，已知∠ 求 的度数. 3. 如图所示, 已知∠1=25°, ∠2=45°, ∠3=30°, ∠4=10°, 试说明直线AB∥CD. 题型4 基本图形的变式 【例4】如图所示, AB∥CD, EM是∠AMF的平分线, NF是∠CNE的平分线, EN, MF交于O点. (1) 若∠AMF=50°, ∠CNE=40°, 分别求∠E, ∠F的度数; (2) 若图中∠E+60°=2∠F, 求∠AMF的度数; (3) 探究∠E, ∠F与∠MON之间的数量关系. 举一反三。 4. (1)如图①所示, AB∥CD, ∠DCE=60°, ∠E=20°, 求∠ABE的度数; (2) 如图②所示, 已知AB∥CD, ∠EBF=2∠ABF, CF平分∠DCE, 若2∠F--∠E=10°, 求∠ABE的度数. 题型5 设未知数求定角 【例5】如图①所示, 直线MN与直线AB, CD分别交于点E, F, AB∥CD,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P, EP的延长线与CD交于点G, 点 H是MN上一点, 且GH⊥EG. (1) 求证: (2) 如图②所示, 连接PH, K是GH上一点, 作PQ平分∠EPK, 问. 的大小是否发生变化? 若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由. 举一反三。 5. 如图所示，已知 点 P 是射线AM 上一动点 (与点 A 不重合)， 和 的平分线分别交射线 AM 于点C，D. 的平分线与 的平分线交于点 H，在点 P运动的过程中， 与 的比值是否变化? 若不变，请求出这个比值； 若变化，请找出其变化规律. 题型6 求角的和、差、倍、分为定值 【例6】如图所示， 与 的角平分线交于点 G， 已知 求 的值. 举一反三。 6. 已知点A, C为射线l上两点, 且. (1) 如图①所示, 点E在线段AC上, 求证: (2) 如图②所示, 若点E, F在线段AC 上, 且. DE 平分 求 的度数. 题型7 按照点的不同位置关系分类讨论求角 【例7】(1) 如图①所示, F是OC边上一点, 求证: (2) 如图②所示, OC平分 点 D, E在射线 OA, OC 上, 点 P 是射线 OB 上的一个动点，连接DP交射线OC于点 F，设 若 是否存在这样的x的值，使得 若存在，求出x的值； 若不存在，说明理由. 举一反三。 7.(1) 如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的两倍少 求这两个角的度数. (2) 如图所示, 直线 EF 与直线 AB, CD 分别交于点 E, F, 点 P 为直线EF左侧平面上一点，且. 求 的度数. 185 题型8 分类讨论求角之间的关系 【例8】如图①所示, 已知AB∥CD, BE平分∠ABD, DE平分∠BDC. (1) 求证: BE⊥DE; (2) H是直线CD上一动点(不与点D重合), BI平分∠HBD交CD 于点I, 在图②或图③中, 请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由. 举一反三。 8. 已知 点 P在直线AD 上, E 为 CD上一点. (1) 如图①所示，当点 P在线段AD延长线上时，求证： (2) 如图②所示，当点P在直线AD上运动时(不与点A，D重合)，求 与 之间的数量关系. 题型9 结论探索题 【例9】阅读理解，填写部分理由，探索新的结论. (1) 如图①所示, AB∥CD, 求证: ∠B+∠C=∠BEC. 理由如下: 过E点作EF∥AB, 则∠1=∠B( ), ∵EF∥AB、AB∥CD(已知), ∴FF∥CD( ). ∴∠2=∠C( ). ∵∠BEC=∠1+∠2, ∴∠BEC=∠B+∠C( ); (2)如图②所示, 图中的∠B, ∠E,∠G, ∠F, ∠C的数量关系是 , 证明你的结论; (3)如图③所示, 图中的∠B, ∠E,∠F, ∠G, ∠H, ∠M,∠C的数量关系是 . 举一反三。 9. 如图①, 图②, 图③所示, 若 试求： 的度数； 的度数； 的度数； (4) 猜测 的度数，并说明理由. 187 题型10“蝴蝶模型”的应用 【例10】如图①所示, 已知直线m∥n, A, B为直线n上的两点, C, D为直线m上的两点. (1)写出图中面积相等的各对三角形 ； (2)如果A，B，C为三个定点，点D在m上移动，那么无论D 点移动到任何位置，总有 与△ABC的面积相等，理由是 ： 解决以下问题：如图②所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图中折线CDE)还保留着.张大爷想过E点修一条直路，使直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦荒地面积一样多，请你用相关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案.(不计分界小路与直路的占地面积) (3) 写出设计方案，并在图③中画出相应的图形； (4) 说明方案设计的理由. 举一反三。 10. 如图①所示, 直线m∥n, A, B为直线n上的点, C, P为直线m上的点, 如果A, B, C三个定点，点P在m上移动，那么无论点 P移动到何位置，△ABP与 的面积总相等，说明理由. 应用： (1)如图②所示, △ABC和△DCE都是等边三角形,若 的边长为1，则.△BAE的面积是 . (2)如图③所示，四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求 的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$