精品解析：江西省抚州市南城县第二中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

南城二中2024-2025学年上学期第一次月考 高一 数学试卷 一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.) 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义表示阴影部分的集合.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦恩图分析出表示的含义，再根据集合间的运算关系求出答案即可 【详解】由韦恩图可得， 因为，， 所以， 所以= 故选：D． 2. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断即可 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以，所以D正确， 故选：D 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ，使得 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义判断. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 故命题，的否定是，使得. 故选：D． 4. 设、是非空集合，定义且，若，，则等于（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【详解】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 5. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可. 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 6. “”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据选项条件逐项分析找出满足充分不必要条件即可. 【详解】选项A，由有，或，故不满足充分条件， 所以A错误； 选项B，由等价得到，即为充要条件，不满足题意， 所以B项错误； 选项C，由 ， 因为，所以为充要条件不满足题意，故C错误， 选项D，由，充分性成立， 当时，不成立，故必要性不成立，满足题意， 故选：D. 7. 某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人.没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，画出韦恩图，设同时提交隶书作品和行书作品的有人，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，画出韦恩图，如图所示， 设同时提交隶书作品和行书作品的有人，则，解得， 即同时提交隶书作品和行书作品的有人. 故选：C 8. 若，，且，则的最小值是（ ） A. 43 B. 49 C. 39 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】通过已知条件等式，结合“1”的代换，利用基本不等式求解最值. 【详解】因为，所以， 已知， 由，得， 则 ， 当且仅当，则由，解得， 即当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若且，则至少有一个大于1 B. C. 的充要条件是 D. 命题“”的否定形式是“” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，以及实数的运算性质，以及含有一个量词的否定的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若实数都小于等于1，那么可以推出，所以A正确； 对于B中，当时，，所以B错误； 对于C中，当时，满足，但不成立，所以C错误； 对于D中，由含有一个量词的否定的概念，可得命题“”的否定形式是“”，所以D是正确的. 故选：AD. 10. 已知集合 ，若 B ⊆ A，则实数a的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AB 【解析】 【分析】根据B ⊆ A，可得，列出不等式求得，可得答案. 【详解】因为B ⊆ A，所以，所以 ， 解得, 故选:AB 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【解析】 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知命题：，，若命题的否定为真命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先写出命题的否定，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】命题：，的否定为：，， 因为命题的否定为真命题，即命题“，”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 13. 已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】判断在上的单调性，可求得集合A，进而由“”是“”的充分不必要条件，可得，求解即可． 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上递增， 当时，；当时，．所以． ，由于“”是“”的充分不必要条件， 所以，，解得或， 所以m的取值范围是． 故答案为：． 14. 若集合，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得恒成立，当时，满足题意；当时，则需.结合上面两种情况即可求解. 【详解】因为， 所以恒成立， 当，即时，原不等式可化为恒成立，符合题意； 当时，由恒成立， 可得即解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题． 若______，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）选择条件①或②，均可推得实数a的取值范围为 【解析】 【分析】（1）当时，集合，则可求出； （2）任选一个条件都可得，讨论集合是否为空集，即可求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合， 又， 所以； 【小问2详解】 方案一 选择条件①． 由，得． 当时，，得，此时，符合题意； 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． 方案二 选择条件②． 由，得． 当时，，得，此时，符合题意． 当时，得，解得． 综上，实数a的取值范围是． 16. （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）令，求出、的值，即可得到，再利用不等式的性质计算可得； （2）由，再利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）令，则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 所以，即， 所以的取值范围为. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 17. 已知集合的子集个数为. （1）求的值； （2）若的三边长为，证明：为等边三角形的充要条件是. 【答案】（1）2 （2）证明：①充分性：由①得， 所以可化为， 即，所以， 则， 所以，即为等边三角形， 充分性得证. ②必要性：因为为等边三角形，所以， 由（1）得，所以， 则， 所以，必要性得证. 故为等边三角形的充要条件是. 第（2）问中充分性的证明， 方法一：因为，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，即为等边三角形， 充分性得证. 方法二：因为，所以， 则， 所以，即为等边三角形，充分性得证. 所以为等边三角形的充要条件是. 【解析】 【分析】（1）解方程组可得答案； （2）①先证充分性：由①得，代入化简可得答案；②再证必要性：根据为等边三角形，可得，代入可得答案；或第（2）问中充分性方法一：利用基本不等式得，可得答案；方法二：由得，可得答案. 【小问1详解】 由方程组，解得， 所以， 则只有1个元素，所以有2个子集，即； 【小问2详解】 略 18. 沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉.当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花节.2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边（墙不需要隔离带），并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米. （1）设所用隔离带的总长度为米，垂直于墙的边长为米.试将表示成的函数，并确定这个函数的定义域； （2）当为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？ 【答案】（1），定义域；（2）当时所用隔离带的总长度最小，最小值是. 【解析】 【分析】 （1）设垂直于墙的边长为米，则每个长方形平行于墙的边的长度为米，表示出，由且，求出函数的定义域； （2）利用基本不等式求函数的最值，即所用隔离带的总长度最小，从而求解. 【详解】（1）设垂直于墙的边长为米，则每个长方形平行于墙的边的长度为米， 则 又由题设知且，即 所以表示成的函数为：，定义域 （2）由， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时所用隔离带的总长度最小，隔离带的总长度最小值是. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 19. 已知集合. （1）若，求的取值范围. （2）若的子集个数为4，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在最大值为2 【解析】 【分析】（1）因为，将代入求解即可. （2）对进行因式分解，可得和是方程的两根，由题意知集合中只有2个元素，进而得到，求出的范围，进而求即可. 【小问1详解】 因为，， 所以不满足，所以，解得. 【小问2详解】 因式分解可得， 则和是方程的两根， 因为的子集个数为4，所以集合中只有2个元素， 所以，解得或， 所以或， 所以存在最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南城二中2024-2025学年上学期第一次月考 高一 数学试卷 一、选择题：(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.) 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图所示的韦恩图中，已知A，B是非空集合，定义表示阴影部分的集合.若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ，使得 D. ，使得 4. 设、是非空集合，定义且，若，，则等于（ ） A. ，或 B. ，或 C. D. 5. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 6. “”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人.没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有（ ） A. 4人 B. 3人 C. 2人 D. 1人 8. 若，，且，则的最小值是（ ） A. 43 B. 49 C. 39 D. 36 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. 若且，则至少有一个大于1 B. C. 的充要条件是 D. 命题“”的否定形式是“” 10. 已知集合 ，若 B ⊆ A，则实数a的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. ，是一个戴德金分割 B. M没有最大元素，N有一个最小元素 C. M有一个最大元素，N有一个最小元素 D. M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知命题：，，若命题的否定为真命题，则实数的取值范围是________. 13. 已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 14. 若集合，则的取值范围为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题． 若______，求实数a的取值范围． 16. （1）已知，，求的取值范围； （2）已知，求的最小值. 17. 已知集合的子集个数为. （1）求的值； （2）若的三边长为，证明：为等边三角形的充要条件是. 18. 沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉.当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花节.2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边（墙不需要隔离带），并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米. （1）设所用隔离带的总长度为米，垂直于墙的边长为米.试将表示成的函数，并确定这个函数的定义域； （2）当为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？ 19. 已知集合. （1）若，求的取值范围. （2）若的子集个数为4，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $