专题三 数据的离散程度 讲义2024-2025学年北师大版数学八年级上册

专题三 数据的离散程度 【知识点】 反映一组数据波动大小的量包括极差、方差和标准差. 极差越大表明数据的离散程度越大，极差越小表明数据的离散程度越小，越稳定. 方差和标准差表示的是一组数据的整体相对于这组数据“平均水平”的偏离情况，比极差更能具体地刻画样本的离散程度或波动情况，方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 极差的单位与数据的单位一致：标准差的单位与原数据的单位一致，方差的单位是原数据单位的平方，使用时可不标注单位. 1. 极差的概念： (1) 一组数据中最大数据与最小数据的差称为极差. (2) 计算公式：极差=最大数据一最小数据. 2. 方差的概念： (1) 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数. (2) 方差公式: 其中x是x₁、x₂、x₃、…xₙ的平均数. 3. 标准差的概念： (1) 方差的算术平方根叫做标准差. (2) 标准差公式： 题型1 极差在实际生活中的应用 【例1】甲、乙两台编织机同时编织一种毛衣，在5天中，两台编织机每天编织出的合格品数量(单位：件)如下： 甲: 10 8 7 7 8 乙: 9 8 7 7 9 (1) 分别求出在这5天中甲、乙两台编织机编织毛衣的平均数和极差. (2) 在甲、乙两台编织机中，你认为哪台编织机更易出合格品? 163 举一反三· 1. 我校八年级甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图①，图②的统计图，图②只画出了甲队的比赛成绩折线统计图. 甲、乙两球队比赛成绩折线统计图 (1) 在图②中画出乙队的比赛成绩折线统计图. (2) 分别计算甲、乙两队五场比赛成绩的平均分x+与 (3)如果从甲、乙两队中选派一支球队代表学校参加我市的篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩? 题型2 方差、标准差的计算 【例2】求数据7, 6, 8, 8, 5, 9, 7, 7, 6, 7的方差和标准差. 举一反三。 2. 若一组数据3, 5, 2, --1, x, 1的平均数是2, 求这组数据的方差和标准差. 题型3 已知一组数据的方差求另一组数据的方差 【例3】晓晓在计算数据的方差时发现：把一组数据中的各个数据同时减去一个数后，所得新数据与原数据的方差相同，请你验证： (1) 分别计算数据101, 102, 103, 104, 105和数据1, 2, 3, 4, 5的方差. (2) 如果数据. 的平均数为 方差为 试写出数据 的平均数、方差. (3) 试猜想: 数据 的平均数为 方差为 则数据 的平均数、方差各是多少? 举一反三。 3. 若样本 的平均数为10，方差为2，求样本. 的平均数及方差. 题型4 方差在实际生活中的应用 【例4】为了从甲、乙两名学生中选拔一个参加今年六月份的全县中学生数学竞赛，每个月对它们的学习水平进行一次测验，如图是两人赛前5 次测验成绩的折线统计图. (1) 分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数和方差； (2)如果你是他们的辅导老师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛? 你结合所学统计知识说明理由. 举一反三。 4. 为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时差误的数据如下表(单位：秒)： 编 类 号 型 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲种电子钟 1 -3 -4 4 2 -2 2 -1 -1 2 乙种电子钟 4 -3 -1 2 -2 1 -2 2 -2 1 (1) 计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数； (2) 计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差： (3) 根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优，若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟? 为什么? 题型5 方差与其他统计量的综合应用 【例5】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示： (1) 请填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上次数 甲 7 1.2 1 乙 5.4 (2) 请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看 (分析谁的成绩稳定)； ②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些)： ③从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些)； ④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力). 举一反三。 5. 为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图、统计表： 甲、乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 命中10环的次数 甲 7 0 乙 1 甲、乙射击成绩统计图 (1) 请补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图)； (2) 如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出? 说明你的理由； (3) 如果希望(2)中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制订怎样的评判规则? 为什么? 学科网（北京）股份有限公司 $$