精品解析：2024-2025学年华东师大版九年级上册数学期中练习试卷

2024-2025学年华东师大新版九年级上册数学期中练习试卷 一．选择题 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. ax2＋bx＋c＝0 B. 2（x﹣9）2-（x＋1）2＝1 C. x2＋＋5＝0 D. x2＋5x﹣6＝x2 2. 下列二次根式中，不能和其他二次根式进行合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，那么下列各式中不成立的是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形不是相似图形的是（ ） A. 同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C. 某人的侧身照片和正面照片 D. 大小不同的两张中国地图 6. 如图，在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数(为常数)图象不经过第三象限，当≤3时，的最大值为，则的值是(　　) A B. C. D. 8. 如图，、分别在△ABC的边和上，下列不能说明和相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（） A. 5 B. 3 C. −5 D. −3 10. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，则的值（ ） A. 2 B. C. D. 二．填空题 11. 计算的结果是_____． 12. 已知，则代数式的值等于 ___． 13. ＝_____；＝____． 14. 化简：________． 15. 为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为______． 16. 关于x的方程（a﹣1）+x﹣3＝0是一元二次方程，则a＝_____． 三．解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算：（1） （2） 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 20 计算题： （1）； （2）． 21. 我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？ 22. 已知一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若的两边、的长是原方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求该三角形的周长． 23. 在中，，，．动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为秒，点Q的速度为秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动． （1）多长时间后，能使的面积为? （2）多长时间后，点P ，Q之间距离是? 24. 先观察下列的等式，再回答问题： ； ； ； （1）请你直接写出结果： ， ； （2）根据你的观察猜想： （n为正整数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年华东师大新版九年级上册数学期中练习试卷 一．选择题 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. ax2＋bx＋c＝0 B. 2（x﹣9）2-（x＋1）2＝1 C. x2＋＋5＝0 D. x2＋5x﹣6＝x2 【答案】B 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答． 详解】解：A、ax2＋bx＋c＝0（），故该项不符合题意； B、2（x﹣9）2-（x＋1）2＝1符号定义，故该项符号题意； C、x2＋＋5＝0中含有分式，故该项不符合题意； D、x2＋5x﹣6＝x2化简后为5x﹣6＝0，故该项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 2. 下列二次根式中，不能和其他二次根式进行合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化成最简二次根式后被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以进行合并，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先把各二次根式化简为最简二次根式，根据能合并即是同类二次根式，找出不是同类二次根式的选项即可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴、、是同类二次根式，可以合并，与其它项不是同类二次根式，不能合并， 故选：B． 3. 如果，那么下列各式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例，解题的关键是利用比例的性质分别判断． 【详解】解：A．由，得，那么A正确，不符合题意． B．由，得，那么B不正确，符合题意． C．由，得，那么C正确，不符合题意． D．由，得，那么D正确，不符合题意． 故选：B． 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据二次根式的性质和运算法则，化简计算即可． 【详解】解：A、，计算正确，故符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 下列图形不是相似图形的是（ ） A. 同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有放大过程中原有图案和放大图案 C. 某人的侧身照片和正面照片 D. 大小不同的两张中国地图 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似图形的定义．利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意； B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意； C、某人侧身照片和正面照片，不是形状相同的图形，符合题意； D、大小不同的两张中国地图，是形状相同的图形，不合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的意义直接得出答案． 【详解】在Rt△ABC中， ∴sinB=． 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的意义是正确解答的关键． 7. 二次函数(为常数)的图象不经过第三象限，当≤3时，的最大值为，则的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】∵二次函数＝a（x−4）2−16a， ∴该函数的对称轴是直线x＝4， 又∵二次函数（a为常数）的图象不经过第三象限， ∴a＞0， ∵当2≤x≤3时，y的最大值为−3， ∴当x＝2时，a×22−8a×2＝−3， 解得a＝． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8. 如图，、分别在△ABC的边和上，下列不能说明和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键．根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，不能说明和相似，符合题意， 当时，能说明和相似，不符合题意， 当时，能说明和相似，不符合题意， 当时，能说明和相似，不符合题意， 故选：A． 9. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是（） A. 5 B. 3 C. −5 D. −3 【答案】B 【解析】 【分析】先把化成最简二次根，再根据同类二次根式的定义得出，然后求解即可得出答案． 【详解】解∶由题意可知：， 则， ， 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型． 10. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，，则的值（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，，则，；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，即可求出、的值，即可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 二．填空题 11. 计算的结果是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 12. 已知，则代数式的值等于 ___． 【答案】5 【解析】 【分析】根据完全平方公式把原式变形，吧ax的值代入计算即可． 【详解】解： = = 当时，原式==4+1=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 13. ＝_____；＝____． 【答案】 ①. ②.  ## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简规则是解题关键．根据二次根式的性质化简逐一化简即可． 【详解】解：， ， 故答案为：， ． 14. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】】解：∵x＞0，y＞0， ∴ 故答案：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 15. 为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆．自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆872人次．若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：． 【详解】设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为: ， 故答案为：． 16. 关于x的方程（a﹣1）+x﹣3＝0是一元二次方程，则a＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出a2+1＝2且a﹣1≠0，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程（a﹣1）x+x﹣3＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】此题考查的是求一元二次方程中的参数问题，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键. 三．解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，同时把除化乘，再利用乘法，合并同类项即可； （2）先根据二次根式的乘法法则计算，约分计算，再计算二次根式的除法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 计算：（1） （2） 【答案】（1）3；（2）4 【解析】 【分析】（1）二次根式的混合运算，先算乘方，然后算乘法，最后算加减； （2）二次根式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题基础． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式处理，可证； （2）将根代入方程求得参数； 【小问1详解】 证明：， ∵不论为何值， ∴ ∴方程总有两个实数根. 【小问2详解】 解：把代入关于的一元二次方程，得， 解得 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，方程根的定义；掌握根的判别式是解题的关键． 20. 计算题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式及绝对值的意义，正确化简二次根式并熟练掌握运算法则是解题关键． （1）化简二次根式并利用平方差公式计算后再合并即可得出答案； （2）化简二次根式并利用绝对值意义去掉绝对值后再合并即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 21. 我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？ 【答案】20元 【解析】 【分析】先设每件纪念品应降价x元，然后根据题意可列出方程，解出即可． 【详解】设每件纪念品应降价x元，则：(40-x)(20+ 化简得：x2﹣30x+200=0 解得：x1=20，x2=10 ∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大 ∴x=20 答：每件纪念品应降价20元． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意得出降价后每天的销量及每件的盈利． 22. 已知一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）若的两边、的长是原方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求该三角形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）该三角形的周长为或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的定义及三角形三边关系，对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题关键． （1）先计算判别式，得出即可得答案； （2）首先用表示出方程的两个实数根，然后根据等腰三角形的定义及三角形三边关系，结合分类讨论的数学思想逐一计算即可得答案． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程 ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 解得：，， ∵的两边、的长是原方程的两个实数根， ∴的两边长为，， ∵是等腰三角形，第三边的长为5，且， ∴或， 当时，三边长为、、，符合三角形三边关系，周长为， 当时，三边长为、、，符合三角形三边关系，周长为， ∴该三角形的周长为或． 23. 在中，，，．动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为秒，点Q的速度为秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动． （1）多长时间后，能使的面积为? （2）多长时间后，点P ，Q之间的距离是? 【答案】（1）3秒 （2）秒或2秒 【解析】 【分析】（1）当运动时间为t秒时，，，，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）当运动时间为t秒时，点P，Q之间的距离是，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【小问1详解】 解：当运动时间为t秒时，，， ∴， 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：当的面积为时，点P运动的时间是3秒． 【小问2详解】 当运动时间为t秒时，点P，Q之间的距离是， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴， ∴， 答：或2秒时间后，点P，Q之间的距离是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 先观察下列的等式，再回答问题： ； ； ； （1）请你直接写出结果： ， ； （2）根据你的观察猜想： （n为正整数）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化的方法进行求解即可； （2）分析所给的式子的特点，进行求解即可． 【小问1详解】 解：； ． 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，平方差公式，解答的关键是掌握分母有理化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$