黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年黑龙江省齐齐哈尔市克东三中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列y关于x的函数中，是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 5.已知是关于x的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为(    ) A. 9 B. 10 C. 6或10 D. 8或10 6.如图，中，，，≌，若恰好经过点B，交AB于D，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是(    ) A. 图象顶点坐标为，对称轴为直线 B. y的最小值为 C. 当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小 D. 它的图象可由的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到 8.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(    ) A. B. C. D. 9.已知函数其中的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是(    ) A. B. C. D. 10.对称轴为直线的抛物线、b、c为常数，且如图所示，某同学得出了以下结论：①；②；③；④为任意实数；⑤当时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 11.点关于原点的对称点的坐标是______. 12.当______时，关于 x的方程是一元二次方程． 13.已知方程可以配方成的形式，那么______. 14.已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______. 15.如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为x m，若种植花苗的面积为，依题意列方程为______. 16.如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向的夹角为，且，若将线段OA绕点O旋转得到线段，则此时点的坐标为______. 17.如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为______. 三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题10分 解下列方程： ； 19.本小题8分 已知：关于x的方程 若方程总有两个实数根，求m的取值范围； 若两实数根、满足，求m的值． 20.本小题9分 如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点， 将绕着点O逆时针旋转，画出旋转后的并写出的坐标； 画出关于原点对称的； 在x轴上找一点D，使的值最小，请直接写出点D的坐标. 21.本小题10分 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒. 求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； 求每盒猪肉粽售价定为多少元时，每天销售猪肉粽所获利润最大，最大利润是多少？ 22.本小题8分 某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程依次用A，B，C，D表示，为了解学生对这四种课程的喜好情况.校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图. 请根据统计图将下面的信息补充完整： ①参加问卷调查的学生共有______人，并补全条形统计图统计图； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______； 若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？ 23.本小题12分 【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则有，试说明理由； 【迁移应用】如图2，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边BC、CD上，，若，都不是直角，且，试探究EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由； 【联系拓展】如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且，猜想BD、DE、EC满足的等量关系直接写出结论，不需要证明 24.本小题12分 如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点为 求抛物线的解析式：并写出y随x如何变化； 求顶点D的坐标以及的面积； 设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A、当时，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意； B、它符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； C、化简后它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选： 直接根据一元二次方程的定义进行判断即可． 本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程． 2.【答案】A  【解析】解：A、，是二次函数，故A符合题意； B、，是一次函数，故B不符合题意； C、不是二次函数，故C不符合题意； D、，不是二次函数，故D不符合题意； 故选： 根据二次函数的定义，、b、c为常数，，判断即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项正确． 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4.【答案】D  【解析】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即， 平移后的二次函数的顶点坐标为， 故选： 按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可． 本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 5.【答案】B  【解析】解：把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， ， 三角形三边为4、4、2， 的周长为10， 故选： 先利用一元二次方程解的定义把代入方程得，则方程化为，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 6.【答案】B  【解析】解：≌， ，，， ， ， ， ， ， 故选： 首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即，，再得到对应边，再根据等边对等角求出的度数，然后根据三角形内角和定理得到，的度数即可． 此题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的关系． 7.【答案】D  【解析】解：二次函数，， 该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为， 当时，y有最小值， 当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小； 根据平移的规律，的图象向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到， 故选项D说法错误，符合题意． 故选： 根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确． 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8.【答案】C  【解析】解：依题意得八、九月份的产量为、， 故选： 主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量增长率，如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 9.【答案】D  【解析】解：如图，函数其中， 抛物线与x轴的两个交点横坐标分别是m，n，且，， 的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，且在之下， 故选： 根据图象可得出方程的两个实数根为m，n，且一正一负，又，则根据一次函数的图象的性质即可得出答案． 本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10.【答案】B  【解析】解：①抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴交于负半轴， ，，， ， ，结论①不正确； ②抛物线与x轴有两个交点， ， ，结论②正确； ③当时，，抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即，结论③不正确； ④抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为，， ， 即， ， 为任意实数，结论④正确； ⑤抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有②④⑤． 故选： ①由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点的位置，可得出，，，进而可得出；②由抛物线与x轴有两个交点，可得出，即；③由二次函数的对称性结合当时，可得出当时，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出；④由抛物线的开口方向、a，b间的关系及抛物线的顶点总坐标，可得出，进而可得出，即为任意实数；⑤利用二次函数的性质，可得出当时，y随x的增大而增大． 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，逐一分析各结论的正误是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：点关于原点的对称点的坐标是 故答案为： 根据关于原点对称点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答． 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【解答】 解：关于x的方程是一元二次方程， 且 解得 故答案是： 【分析】 根据一元二次方程的定义得到：且由此求得m的值． 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是、b、c是常数，且 13.【答案】1  【解析】解：， ， ， ，， 原式 故答案为： 根据配方法即可求出答案． 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． 14.【答案】2023  【解析】解：，n是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为： 利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，将其代入原式中即可求出结论． 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：设道路的宽为x m，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故答案为： 设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16.【答案】或  【解析】解：如图1，将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转到线段， 过点作轴于点B， ，， 在直角中，，， ，， 点的坐标为 如图2，将线段OA绕点O沿顺时针方向旋转到线段， 过点作轴于点B， ，， 在直角中，，， ，， 点的坐标为 综上，点的坐标为或 故答案为：或 过点作轴于点B，根据旋转的性质可得，，利用平角的定义得出，解直角，求出，OB，进而得到点的坐标． 此题考查的是旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 17.【答案】10096  【解析】解：由图象可知点在x轴上， ，，， ， ，，，… 点横坐标为 故答案为： 由图象可知点在第一象限，求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 18.【答案】解：， ， ， ； ， ， ，  【解析】利用配方法即可求解； 利用因式分解法即可求解． 本题考查求解一元二次方程．掌握解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． 19.【答案】解： ， ； ，， 由得， 解得：，， ，   【解析】由得，解之可得； 由，，结合得，解之可得m的值，依据中的结果取舍即可得． 本题主要考查根的判别式、根与系数的关系，关键是掌握，是方程的两根时，， 20.【答案】解：如图所示，即为所求，的坐标为； 如图所示，即为所求： 如图所示，点D即为所求：   【解析】根据旋转的性质画出图形解答即可； 根据关于原点对称的性质画出图形解答即可； 作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点D，点D即为所求． 本题是三角形综合题，考查旋转的性质和轴对称最短问题，坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.【答案】解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元， 则， 解得：，经检验是方程的解， 猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元； 由题意得，当时，每天可售出100盒， 当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售盒， ， 配方，得：， 时，y随x的增大而增大， 当时，y取最大值，最大值为：元 答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．  【解析】设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可； 由题意得，当时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值． 本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式． 22.【答案】  【解析】解：①参加问卷调查的学生人数为人 故答案为：240； ②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为 故答案为：； 扇形统计图中“D”对应的百分比为， 扇形统计图中“C”对应的百分比为， 人， 该校全体学生中最喜欢C课程的学生约有600人． ①用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的学生人数． ②用乘以本次调查中选择D的学生所占的百分比，即可得出答案． 根据用样本估计总体，用2000乘以本次调查中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 23.【答案】解：如图1， ，， 把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合，如图1， ， ，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中， ， ≌， ； ，理由如下： 如图2， ，， 把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合， ，， ，， ， ， ， ， ，点F、D、G共线， 在和中， ， ≌， ， 即； ，理由如下： 把旋转到的位置，连接DF，如图3，则，， ，， ， 又， ， 在和中， ， ≌， ， 又， ， 是直角三角形， ，   【解析】把绕点A逆时针旋转至，然后利用SAS证明≌，由此可得； 把绕点A逆时针旋转至，然后利用SAS证明≌，由此可得； 把旋转到的位置，连接DF，先根据SAS证明≌，由此可得，，又由可得，因此是直角三角形，由此可得，因此 本题考查几何变换的综合应用，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键． 24.【答案】解：因为点在抛物线上， ， 即 将点、代入，得 解得 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ， 顶点D的坐标为， 的面积； 存在，理由如下： 抛物线的解析式为， 其对称轴为， ， ， ， ①当时： 如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时： 如图， 作于点D， 设，则 在中，由勾股定理得， 即， 解得 此时点P的坐标为 综上所述：点P坐标为或或或  【解析】将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． 把抛物线的解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论； 根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，主要考查求二次函数的解析式、二次函数的应用及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$