专题06 动点压轴题2024-2025学年人教版数学七年级上册

压轴题 动点+规律 一、解答题 1．已知数轴上两点对应的数分别是6，，为数轴上三个动点，点从A点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． (1)若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ (2)若点同时都向右运动，求多长时间点到点的距离相等？ (3)若点同时运动，当时间满足时，两点之间（包括两点），两点之间（包括两点），两点之间（包括两点）分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出的值． 2．阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题： (1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 3．已知数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且关于的多项式是二次三项式，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度/秒，的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ． (2)①用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_________，点表示的数为_______． ②当，求的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请求出当满足什么条件时，有最大值，最大值是多少？ 4．已知：是关于x的二次多项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则_____________，_____________，_____________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为1秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当时，点P和点O在折线数轴上相距_____________个单位长度；当时，点P和点Q在折线数轴上相距_____________个单位长度． ②当t为多少时P，Q两点相遇？相遇点M所表示的数是多少？ ③在动点P改变速度前的某一时刻，P，O两点在数轴上的距离与Q，B两点在数轴上的距离相等．求出此时t的值． 5．已知数a，b，c满足，请回答问题： (1)请直接写出a，b，c的值： ______， ______， ______； (2)数轴上a，b，c三个数所对应的点分别为A，B，C，则A，B两点的距离可表示为______，数轴上有一点P，它表示的数为x．若，则点P表示的数x是 _______； (3)点B和点C分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，当时，求的长． 6．已知：a与b互为相反数，b是最小的正整数，且c满足． (1)直接写出a、b、c的值： ， ， ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）． (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为．点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 7．已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． (1)数轴上点B表示的数　 　；点P表示的数　 　（用含t的代数式表示） (2)若M、N分别是AP、BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是　 　． (3)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？ 8．已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝b－a，请回答下列问题． (1)请直接写出a，b，c的值：a＝______，b＝______，c＝______； (2)若a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请画出数轴并在数轴上表示出A，B，C三点； (3)在（2）的情况下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点C以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒6个单位长度的速度向右运动，已知点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．问：AB－BC的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说明理由；若不会，请求出AB－BC的值． 9．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中，a，b互为相反数（如图1）． (1)求a，b，c的值； (2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和m个单位长度向右运动，假设经过t秒后，点A与点B之间距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条”折线数轴”（图中A，C两点在”折线数轴”上的距离为56个单位长度），动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿”折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度均为原来的一半；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中每秒m个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度均为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在”折线数轴”上的距离与Q，B两点在”折线数轴”的距离相等． 10．点A、B、C在数轴上表示的数分别为a，b，c，且a，b，c，满足，多项式是五次四项式． (1)的值为______，b的值为______，c的值为______； (2)若数轴上有三个动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度3个单位长度． ①若点P向左运动，点M向右运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后又回头再向左运动，....，这样直到点P遇到点M时三点都停止运动，求点N所走的路程； ②若点M、N向右运动，点P向左运动，点Q为线段PN中点，在运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由． 11．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：3与5，4与，与．并结合数轴与绝对值的知识，利用数形结合思想回答下列各题： (1)探究归纳：数轴上表示3和5的两点之间的距离是___________；数轴上表示4和的两点之间的距离是_____________；数轴上表示数和的两点之间的距离是_________________． (2)知识应用：若数轴上的点表示的数为，点表示的数为．并且、两点之间的距离为3，求的值． (3)拓展提高：已知，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．点以3个单位/秒的速度向左运动，同时点以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间、两点在数轴上相距40个单位长度． 12．如图，在数轴上A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)点C在线段上一个动点其对应的数为x，请化简式子：．（写出化简过程） (3)点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，请问的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 13．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为，则A的幸福点F所表示的数应该是________； (2)如图1，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和为________； (3)如图2， A、B、C为数轴上三点，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点C所表示的数为8． ①若点P，Q分别从点A，B以每秒2个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过________秒时，点R是P和Q的幸福中心； ②若点P从点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q、R分别从点B、C以每秒3个单位长度和每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 14．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：    （1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？ （2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少； （3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 15．已知a，b满足，分别对应着数轴上的A、B两点    (1)a=_________，b=_________； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，当运动时间为_________时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； (3)数轴上还有一点C对应的数为30，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向x轴正半轴运动，P点到达C点后P点立即停止运动．当P、Q两点之间的距离为4，此时点Q对应的数为_____________． 16．若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 17．若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 18．已知a、b满足：，．且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为 A、B、C． (1)则　 　，　 　，　 　； (2)点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，当点Q到达点A时，两点停止运动．求点P、Q在运动过程中，当t为何值时？ (3)点D是直线上一点，若，则的值为 　 　． 19．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且，A、B之间的距离记为或，请回答问题： (1)直接写出a，b，的值，a＝______，b＝______，______． (2)设点P在数轴上对应的数为x，若，则x＝______． (3)如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为－1，动点P表示的数为x． ①若点P在点M、N之间，则______； ②若，则x＝______； ③若点P表示的数是－5，现在有一蚂蚁从点P出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8？ 20．已知多项式4x6y2- 3x2y- x- 7，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b． （1）a=____________，b=____________ （2）若小蚂蚁甲从点A处以3个单位长度/秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以4单位长度/秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点0处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．（写出解答过程） （3）若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t（s）时的速度为v（mm/s），v与t之间的关系如下图．（其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米） t （s） 0<t≤2 2<t≤5 5<t≤16 v（mm/s） 10 16 8 ①当2<t≤5时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有t的代数式表示）； ②当t为__________________时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．（请直接写出答案） 21．如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣6，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上由A向B运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t秒． （1）求t＝1时点P表示的有理数； （2）在点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，求点P与点A的距离；（用含t的代数式表示） （3）当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，求出所有满足条件的t值． 22．已知，在数轴上点A表示的数是a，点C表示的数是c，A，C两点之间的距离． (1)直接写出a、c的值，______，______； (2)若数轴上有一点D满足，且点D在A，C之间，则D点表示的数为______； (3)点M从原点O出发在O，A之间以的速度沿数轴负方向运动，点N从点C出发在O，C之间以的速度沿数轴负方向运动，运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且，若M，N运动过程中的值固定不变，求的值． 23．如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且满足．    (1)求线段的长． (2)点在数轴上对应的数是，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由． (3)在（1）、（2）的条件下，点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 24．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)4秒 (2)13秒或72秒 (3)秒，秒 【分析】本题主要考查了点在数轴上的移动，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，动点表示的数的表示，列方程，是解题的关键． （1）利用M、N之间的距离为最初的距离加上各自行驶的路程即可得到一个关于t的方程，解方程即可得出答案； （2）先将M，N，P三点在数轴上的位置用含t的代数式表示出来，然后分点N在点P左侧和点N在点P右侧两种情况分别讨论即可； （3）根据M，N，P之间整数点的个数，可以确定出M，N，P三点的位置，从而找到的值． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意可得：， ∴， ∴运动4秒点M与点N相距46个单位； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意可知：M点运动到，N点运动到，P点运动到t， 由，得， 解得或13， ∴运动13秒或72秒时点P到点M，N的距离相等； （3）解：由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动． 当秒时， P在4，M在14，N在， 再往前一点，之间的距离即包含10个整数点，之间有37个整数点； ②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动， 若N点移动到时， 此时N、P之间仍为37个整数点， 若N点过了−33时， 此时N、P之间为38个整数点， 故（秒）， ∴秒，秒． 2．(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用新定义计算解题即可； （2）根据,且,可得,,再根据当时, ；当时, ,即可求解； （3）由于由可得根据是正数可求，再代入求值即可. 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵,且 ∴, ∴ ， 故的值为； （3）∵为正数, ， ， ， 则(负值舍去)， ∴ ∴ ． 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，关键是通过观察得出题目中的规律，并用公式表示出来，注意公式的灵活应用． 3．(1)； (2)①，；② (3)时，取最大值，最大值为10 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，多项式的次数的含义，一元一次方程的应用，整式的加减运算，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）根据多项式的定义可得，解方程可得答案； （2）①利用向右运动用加法列式表示即可；②利用建立方程求解即可； （3）由点表示的数为，表示的数为，表示，，                     ，再分类讨论可得结论． 【详解】（1）解：∵关于的多项式是二次三项式， ∴， 解得：； （2）①点从出发，向右运动，所以点表示的数为． 从出发，向右出发，所以点表示的数为． 故答案为：，． ②，， 当时，， 即或， 当，方程无解， 当， 解得． （3）点为线段的中点，为线段的中点， 点表示的数为，表示的数为，                     ，，                     ，                             当时，． 当时，． ∴ 当时，， ∴当时，取最大值，最大值为．                                 综上所述，时，取最大值，最大值为10． 4．(1)，， (2)的值不随着时间t的变化而改变，其值是； (3)①4，2.5，5；②当t为11.5时P，Q两点相遇，相遇点M所表示的数是；③t的值是2 【分析】（1）根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质即可求得b、c； （2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示AB、BC，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）①由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出对应数和距离； ②由路程、速度、时间三者关系求出P、Q两点相遇的时间为11.5秒，确定相遇点M对应的数是6.5； ③由路程、速度、时间三者关系，根据求出t的值． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式， ∴， ∴， ∵，即， ∴且， ∴，， 故答案为：，，； （2）解：的值不随着时间t的变化而改变，其值是，理由如下： ∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，． ； （3）解：①∵当时，， ∴点P和点O在折线数轴上相距个单位长度； ∵当时，， ∴点P和点O在折线数轴上相距个单位长度； ∵当时，，， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度． 故答案为：4，2.5，5； ②依题意得：， 解得：， 故当t为11.5时P，Q两点相遇，相遇点M所表示的数是； ③依题意得：， 解得：． 故t的值是2． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用． 5．(1)，1，5； (2)2，或3； (3)的长是14，． 【分析】（1）由非负数的性质得，则； （2）由、1对应的点分别为点A、点B，得，由，得，则或，于是得到问题的答案； （3）动点B表示的数是，当时，，则点B表示的数是13，所以；同理可得长、计算即可． 【详解】（1）∵，且， ∴， ∴， 故答案为：，1，5． （2）∵、1对应的点分别为点A、点B， ∴， ∵点P对表示的数是x，且， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：2，或3． （3）由题意可知，动点B表示的数是，动点C表示的数是， 当时，， ∴点B表示的数是11， ∴， ∴的长是14． 当时，， ∴， ． 【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的非负数性，绝对值方程等知识，正确地用代数式表示运动中的点所对应的数是解题的关键． 6．(1)，1，5 (2)，过程见解析 (3)不变，理由见解析 【分析】（1）根据平方具有非负性可得，根据最小的正整数可得，根据相反数可得； （2）根据，得，然后再利用绝对值的性质去绝对值合并同类项即可； （3）根据题意可得A、B、C三点对应的数字，然后表示出、的长，进而可得的值是常数． 【详解】（1）∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， ∵a与b互为相反数， ∴， 故答案为：；1；5； （2）由题意可知：， ∴， ∴ ； （3）的值不随t的变化而改变，理由如下： 由题意得：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵， ∴， ∴的值不变． 【点睛】此题考查相反数，数轴上两点的距离，绝对值等知识，正确理解、的变化情况是本题的关键． 7．(1)-14，8-5t (2)11 (3)2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2 【分析】（1）根据点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，即得点B表示的数为﹣14，由动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t，可得点P表示的数为8﹣5t； （2）根据M、N分别是AP、BP的中点，知M表示的数是8﹣t，N表示的数是﹣3﹣t，即得MN为11； （3）点Q表示的数是﹣14+3t，可得|（﹣14+3t）﹣（8﹣5t）|＝2，即可解得t＝3或t＝． 【详解】（1）解：（1）∵点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22， ∴点B表示的数为﹣14， ∵动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t， ∴点P表示的数为8﹣5t， 故答案为：﹣14，8﹣5t； （2）解：∵M、N分别是AP、BP的中点， ∴M表示的数是＝8﹣t，N表示的数是＝﹣3﹣t， ∴MN＝（8﹣t）﹣（﹣3﹣t）＝11， 故答案为：11； （3）解：点Q表示的数是﹣14+3t，根据题意得： |（﹣14+3t）﹣（8﹣5t）|＝2， ∴|8t﹣22|＝2， ∴8t﹣22＝2或8t﹣22＝﹣2， 解得t＝3或t＝， 答：点P、Q同时出发，3秒或秒时，P、Q之间的距离恰好等于2． 【点睛】本题考查了数轴动点问题以及利用一元一次方程解决实际问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数． 8．(1)－1；1；2 (2)见解析 (3)AB－BC的值在B与C相遇前会改变；相遇后不会随着时间的变化而改变，AB－BC的值为3 【分析】（1）根据最大的负整数及最大的正整数可得到a与b的值，从而可得c的值； （2）画出数轴并表示A、B、C三点表示的数即可； （3）分点B与点C相遇前、相遇后两种情况考虑，分别求得AB、BC，即可求得AB−BC． 【详解】（1）∵a是最大的负整数，b是最小的正整数 ∴，b=1 ∴c＝b－a=1−(−1)=2 故答案为：－1；1；2 （2）画出数轴，在数轴上表示A、B、C如下： （3）AB－BC的值在B与C相遇前会改变，相遇后不会随着时间的变化而改变，理由如下． 经过t秒后，A点表示的数为－2t－1，C点表示的数2－2t，B点表示的数为6t＋1 ①B与C相遇前 ∴， 即 ②B与C相遇后 ∴， 即 ∴AB－BC的值在B与C相遇前会改变；相遇后不会随着时间的变化而改变，AB－BC的值为3． 【点睛】本题考查了有理数在数轴上的表示，数轴上两点间的距离，整式的加减运算，涉及分类讨论． 9．(1)， (2) (3)当或6.7或11或17时，P，B两点在“折线数轴”的距离相等 【分析】（1）令可分别求出a和c的值，又由a，b互为相反数即可求出b的值； （2）分别用含有t的式子表示出的长度，再根据列式计算即可； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等有四种情况，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， 又∵a，b互为相反数， ∴， 综上所述：； （2）经过t秒后，， ∴，， ∴， ∵的值始终保持不变 ∴， 解得； （3）P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在”折线数轴”的距离相等有四种情况： 由题意得：P在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； Q在上运动的速度，在上运动的速度，在上运动的速度； ①P在，Q在上运动时，， ∵ ∴； ②P在，Q在上运动时， ∵， ∴； ③P在，Q在上运动时，，， ∴； ④P在，Q在上运动时， ∴， 综上所述，当或6.7或11或17时，P，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【点睛】本题重点考查如何表示线段的长度，根据题目要求正确列出方程求解是解题的关键，另外还要注意运动过程中速度的变化． 10．(1) (2)①52.5单位长度②的值不发生变化，为． 【分析】（1）利用非负数的性质求出b与c的值，根据多项式为五次四项式求出a的值； （2）①由题意求出点P遇到点M的时间，也就是点N的运动时间，首先求出的距离，设相遇时间为t，分别表示出两点行驶的距离，建立方程解决问题即可； ②设运动的时间为t秒，则，用含t的式子分别表示出点N和点P，进而表示出点Q，由于点N运动的快，且点N运动的初始位置离点O近，故点Q一直位于点O右侧，用减去，化简即可得结论． 【详解】（1）∵， ∴ ∴， ∵多项式是五次四项式， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①点P，M相遇时间秒， ∴N点所走路程：（单位长度）； ②的值不发生变化；理由如下： 设运动的时间为t秒，则， ∵动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，B、C在数轴上表示的数分别为，24， ∴运动t秒时点N、P分别位于数轴上的位置， ∴中点Q位于： ∴ ∴， ∴在运动过程中，的值不发生变化． 【点睛】本题主要考查了方程、多项式、动点在数轴上的表示的数及线段长之间的关系等问题，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，行程问题的数量关系是解题的关键． 11．(1)2；6；（或答） (2)0或 (3)经过12秒或28秒，C、D两点在数轴上相距40个单位长度 【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离直接列式计算即可； （2）利用数轴上两点间的距离公式可得，再利用绝对值的含义解方程即可； （3）先求解，再分两种情况分别列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示3和5的两点之间的距离是， 数轴上表示4和的两点之间的距离是； 数轴上表示数和的两点之间的距离是或． （2）解：由题意得，即， ∴ 当时，解得； 当时，解得 综上所述，的值为0或． （3）解：∵， 相遇前用时：（秒）， 相遇后用时：（秒）． 答：经过12秒或28秒，C、D两点在数轴上相距40个单位长度． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值方程的含义，数轴上的动点问题，有理数的混合运算的实际应用，理解数轴上两点之间的距离公式并灵活应用是解本题的关键． 12．(1) (2) (3)不变，值为40 【分析】（1）根据若几个非负数之和为0，则每一个加数为0计算即可； （2）由题意得出，再根据绝对值的意义化简即可； （3）设点A、B、M运动t秒时的距离分别是2t、3t、5t，分别用含t的式子表示、、，然后计算式子的值，由此判断即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）由题意得，， ∴，，， ∴| ； （3）不变，值是40，理由： 由题意得点A、B、M运动t秒时的距离分别是、、，此时点A、B、M在数轴上的位置对应的数分别是、、， 则，，， ∴ t t ， 即的值不变，总等于40． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，非负数的性质，多项式的定值问题，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 13．(1)或1 (2)7 (3)①或；②当时，的值为定值30 【分析】（1）设点F表示的数为x，根据幸福点的定义列出方程，解方程即可得到答案； （2）设点F表示的数为m，根据幸福中心的定义列出方程，再讨论m的取值范围，去绝对值求出当时，，由此求出满足题意的整数m，再求和即可得到答案； （3）①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，根据幸福中心的定义得到，然后讨论m的取值范围，去绝对值求解即可；②设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为，求出，，，进而求出，再根据的值与t无关，则，解得，进而求出定值的值即可． 【详解】（1）解：设点F表示的数为x， 由题意得，， ∴或， ∴或， ∴A的幸福点F所表示的数应该是或1， 故答案为：或1； （2）解：设点F表示的数为m， 由题意得， ∴， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，，即此时点F和点M和点N的幸福中心， ∴满足题意的整数m有， ∴F所表示的所有数中，整数之和为， 故答案为：7； （3）解：①设经过t秒时，点R是P和Q的幸福中心， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∵点R是P和Q的幸福中心， ∴， ∴， 当时，， 解得，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 综上所述，经过秒或秒，点R是P和Q的幸福中心； 故答案为：或； ②设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵的值为定值， ∴的值与t无关， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值为定值30． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，正确理解幸福中心和幸福点的定义，根据数轴上两点距离公式进行求解是解题的关键． 14．（1）19秒；（2）；（3）t的值为2、6.5、11或17 【分析】（1）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （2）根据相遇时P，Q的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （3）根据PO与BQ的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：（1）点P运动至点C时，所需时间t＝10÷2+10÷1+8÷2＝19（秒）， （2）由题可知，P、Q两点相遇在线段OB上于M处，设OM＝x． 则10÷2+x÷1＝8÷1+（10﹣x）÷2， 解得x＝． 故相遇点M所对应的数是． （3）P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等有4种可能： ①动点Q在CB上，动点P在AO上，则：8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2． ②动点Q在CB上，动点P在OB上，则：8﹣t＝（t﹣5）×1，解得：t＝6.5． ③动点Q在BO上，动点P在OB上，则：2（t﹣8）＝（t﹣5）×1，解得：t＝11． ④动点Q在OA上，动点P在BC上，则：10+2（t﹣15）＝t﹣13+10，解得：t＝17． 综上所述：t的值为2、6.5、11或17． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程. 15．(1)4，16 (2)s或8s (3)20，24，26，34 【分析】（1）利用绝对值和偶次方的非负性求出a，b的值即可解决问题； （2）根据题意可得，构建方程即可解决问题； （3）设运动时间为s，分四种情况进行讨论：①当点P未到达点C处且在Q点左侧时；②当点P未到达点C处且在Q点右侧时；③当点P到达点C处，点Q未到达点C时，④当点P到达点C处，点Q经过点C时． 分别构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：a，b满足， ，， ，， 故答案为：4，16； （2）解：设运动时间为s．则点P表示的数为：， ， ， 或， 解得或， 故答案为：s或8s； （3）解：设运动时间为s，则点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ①当点P未到达点C处且在Q点左侧时，    则， 解得：， 此时，点Q表示的数为； ②当点P未到达点C处且在Q点右侧时，    则， 解得：， 此时，点Q表示的数为； ③当点P到达点C处，点Q未到达点C时，此时点P与点C重合，    此时，点Q表示的数为； ④当点P到达点C处，点Q经过点C时，    此时点Q表示的数为； 综上，当P、Q两点之间的距离为4，此时点Q对应的数为20，24，26，34， 故答案为：20，24，26，34． 【点睛】本题考查了数轴的应用，绝对值和偶次方的非负性，两点间的距离，行程问题，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，注意分类讨论思想的运用． 16．(1)，，； (2)或； (3)存在；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可求出的值； （2）设点表示的数为，分在之间、在点左边、在之间、在点右边四种情况考虑，由利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）表示出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分①当，即时，②当时，进行讨论，分别表示出，再根据是定值，确定出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了绝对值与偶次方的非负性，数轴上两点间的距离的表示，熟练掌握两点间的距离的表示方法是解答本题的关键．注意分类讨论思想的运用． 17．(1)，，； (2)或； (3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 解得：，， ∴线段的长为：， 故答案为：，，； （2）由（）得：， ∴， 设对应的数为， 由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，， 解得: ， 当在、中间时，， 解得: ， 故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 18．(1)；4；0 (2)当t为或时， (3)或6 【分析】（1）利用非负数的意义求得a，b的值，进而利用已知条件求得c值； （2）设P表示的数是，Q表示的数是，利用已知条件列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （3）利用分类讨论的方法分三种情况列出方程，解方程即可得出点D对应的数值，利用点对应的数字表示出线段，的长度，则即可可求． 【详解】（1）解：∵， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：；4；0． （2）解：设P表示的数是，则Q表示的数是， ∵， ∴， 解得或， ∴当t为或时，． （3）解：设D表示的数是x， ①当时， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； ②当时， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 综上分析可知，的值为或6． 故答案为：或6． 【点睛】本题主要考查了数轴，非负数的应用，一元一次方程的应用，利用点在数轴上对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． 19．(1)－3，2，5 (2)8或－2 (3)①5；②－3.5或6.5；③2.5秒或10.5秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性，确定a，b的值，利用距离公式，计算即可； （2）根据|x|=a，则x=a或x=-a，化简计算即可； （3）①根据数轴上的两点间的距离公式，可得绝对值等于右端数减去左端的数，确定好点位置，表示的数，写出结果即可； ②根据10＞5，判定P不在M，N之间，故分点P在M的右边和点P在点N的左侧，两种情形求解即可； ③设经过t秒，则点P表示的数为-5+t，则PN=|-5+t+1|=|-4+t|，PM=|-5+t-4|=|-9+t|， 故分点P在M的右边和点P在点M、点N之间，两种情形求解即可． 【详解】（1）∵， ∴a＋3＝0，b－2＝0， ∴a＝－3，b=2，， 故答案为：－3，2，5． （2）∵， ∴， ∴x＝8或－2； 故答案为：8或－2． （3）①点P在点M、N之间，且M表示4，N表示-1，动点P表示的数为x， ∴点P在定N的右侧，在点M的左侧， ∴PN=|x+1|=x+1，PM=|x-4|=4-x， ∴． 故答案为：5； ②根据10＞5，判定P不在M，N之间， 当点P在M的右边时， ∴PN=|x+1|=x+1，PM=|x-4|=x-4， ∵， ∴x+1+x-4=10， 解得x=6.5； 当点P在点N的左侧时， ∴PN=|x+1|=-1-x，PM=|x-4|=4-x， ∵， ∴-1-x +4-x =10， 解得x=-3.5； 故答案为：6.5或-3.5； ③设经过t秒，则点P表示的数为-5+t，则PN=|-5+t+1|=|-4+t|，PM=|-5+t-4|=|-9+t|， 当点P在M的右边时，∴PN=|-5+t+1|=-4+t，PM=|-5+t-4|=-9+t， ∵PM+PN=8， ∴-4+t-9+t =8， 解得t=10.5； 当点P在点N、点M之间时， ∴PN=|-5+t+1|=-4+t，PM=|-5+t-4|=9-t， ∵PM+PN=8， ∴-4+t+9-t =8， 不成立； 当点P在N的左边时， ∴PN=|-5+t+1|=-1-（t-5）=4-t，PM=|-5+t-4|=4-（t-5）=9-t， ∵PM+PN=8， ∴4-t+9-t =8， 解得t=2.5； 综上所述，经过2.5秒或10.5秒时，蚂蚁所在的点到点M、点N的距离之和是8． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，分类思想，绝对值的化简，正确掌握绝对值化简，灵活运用分类思想是解题的关键． 20．（1）a=-2，b=8；（2）10或者；（3）①32t-14；②1.6秒或14秒. 【分析】（1）根据多项式的次数定义可得b值，再由相反数的定义可得a值； （2）分两种情况讨论：①甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时；②甲向左运动，乙向右运动时，即t＞2时.分别列方程求解即可； （3）①先计算出小蚂蚁甲和乙各自爬行的总路程，据此判断当2<t≤5时，小蚂蚁甲和乙没还有开始返程,列式求解即可； ②先计算出小蚂蚁甲和乙开始返程的时间为第秒时, 然后分四种情况讨论：当0<t≤2时；当2<t≤5时；当5<t≤时；当<t≤16时．分别列方程求解即可. 【详解】解：（1）∵多项式4x6y2- 3x2y- x- 7次数是8， ∴b=8， ∵4a与b互为相反数， ∴4a =-8， ∴a =-2， 故答案是：-2；8. （2）分两种情况讨论： ①甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即0≤t≤2时，此时OA=2+3t，OB=8-4t， ∵OA=OB， ∴2+3t=8-4t 解得，t=； ②甲向左运动，乙向右运动时，即t＞2时， 此时OA=2+3t，OB=4t-8， 依题意得，2+3t=4t-8， 解得，t=10． 答：甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或10秒． （3）①∵小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行， ∴小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于 10×2+16×3+8×11=156（mm）， ∵原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B， ∴小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm, ∴当2<t≤5时，小蚂蚁甲和乙没还有开始返程, ∴甲与乙之间的距离=8-(-2)+ 10×2×2+16×(t-2) ×2= 32t-14, ②设a秒是小蚂蚁甲和乙开始返程,由（3）①知5<a≤16， ∴10×2+16×3+8×（a-5）=78， ∴a=. 下面分四种情况讨论： 当0<t≤2时，小蚂蚁甲和乙没还有开始返程， 8-(-2)+ 10×t×2= 42, 解得，t=1.6； 当2<t≤5时，小蚂蚁甲和乙没还有开始返程， 32t-14=42, 解得，t=<2，不合题意，舍去； 当5<t≤时，小蚂蚁甲和乙没还有开始返程，由2<t≤5时的情况可知，此时小蚂蚁甲乙之间的距离大于42mm，所以不合题意； 当<t≤16时，小蚂蚁甲和乙开始返程， 8-(-2)+ 78×2-8×（t-）×2= 42, 解得，t=14； 综上所述，当t=1.6秒或14秒时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm． 故答案是：1.6秒或14秒. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离，利用方程思想、分类讨论思想解决问题是本题的关键． 21．（1）点P所表示的有理数是﹣3；（2）3t（0≤t＜4），24﹣3t（4≤t≤8）；（3）t的值为1或3或5或7 【分析】（1）根据P点的速度，有理数的加法，可得答案； （2）根据速度乘以时间等于路程，可得答案； （3）根据速度乘以时间等于路程，可得答案． 【详解】解：（1）当t＝1时   3×1＝3，﹣6+3＝﹣3， 所以，点P所表示的有理数是﹣3； （2）点P沿数轴由点A到点B再回到点A的运动过程中，点P与点A的距离分为二种情况： 当点P到达点B前点P与点A的距离是3t（0≤t＜4）； 当点P到达点B再回到点A的运动过程中点P与点A的距离是：24﹣3t（4≤t≤8）； （3）当点P表示的有理数与原点（设原点为O）的距离是3个单位长度时，则有以下四种情况： 当点P由点A到点O时：OP＝AO﹣3t，即：6﹣3t＝3， ∴t＝1； 当点P由点O到点B时：OP＝3t﹣AO，即：3t﹣6＝3， ∴t＝3； 当点P由点B到点O时：OP＝18﹣3t，即：18﹣3t＝3， ∴t＝5； 当点P由点O到AO时：OP＝3t﹣18，即：3t﹣18＝3， ∴t＝7， 即：当点P表示的有理数与原点的距离是3个单位长度时，t的值为1或3或5或7． 【点睛】此题主要考查一元一次方程与数轴的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． 22．(1)；20 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）根据，且点D在A，C之间，求出，求出结果即可； （3）根据题意得出点M表示的数为，点N表示的数为：，设点Q表示的数为q，根据题意得出，求出，表示出，根据为定值，得出为定值，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：；20． （2）解：∵，， ∴， ∵，且点D在A，C之间， ∴， ∴D点表示的数为． 故答案为：． （3）解：∵点M从原点O出发在O，A之间以的速度沿数轴负方向运动，点N从点C出发在O，C之间以的速度沿数轴负方向运动，运动时间为t， ∴点M表示的数为，点N表示的数为：， 设点Q表示的数为q，根据题意得： ， 解得：， ∴， ∵为定值， ∴为定值， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，绝对值的非负性，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式． 23．(1) (2)存在，理由 (3)不随着时间的变化而变化，值为2 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）根据可求出的值，再由数轴上两点间的距离即可求解； （2）根据题意可求出点在数轴上对应的数为2．分类讨论点在点的左侧，点在点之间两种情况即可求解； （3）分别表示出秒钟后在数轴上对应的数，根据数轴上两点间的距离公式表示出，即可进行判断． 【详解】（1）解：， 的长为：． （2）解：存在，理由如下： 是方程的解， ． ． 点在数轴上对应的数为2．    设点对应的数为， ，由图可知，点不可能在点的右侧． 若点在点的左侧，则 ． 若点在点之间，则 ． 在数轴上存在点，点对应的数是或 （3）解：的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：点的位置为：点的位置为：． ． ． 的值不随着时间的变化而变化，值为2． 24．(1)； (2)或或；存在，． 【分析】（）求出的长度和中点，然后求出中点到点的距离即中点到点的重合点的距离，即可求得点的重合点； （）分别以为中点，列出方程求解即可；使的值为定值，列出等式中的含项合并为，从而求出的值． 【详解】（1）， ， ∴的中点表示的数为：， ∵， 点B的重合点为， 故答案为：； （2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：， （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则， 解得； 综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点； 假设存在． ∵在右侧，在右侧， ∴，， ∴， 当即时， ，为定值， 故存在常数使的值为定值． 【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$