吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第二次摸底考试数学试题

2024-2025学年上学期 东北师大附中（数学）科试卷 高三年级第二次摸底考试 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名､班级､考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试题卷上书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第五卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知定义在R上的可导函数，对，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为的面积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上有2个零点 C. 函数的图象关于对称 D. 函数的最小值为 11. 已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的取值可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数满足，则________. 13. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为_____________． 14. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，若． （1）求的大小； （2）若，求的最大值． 16. 已知数列的首项，且满足，设. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最小正整数． 17. 记的内角的对边分别为，已知，是边上的一点，且. （1）证明：； （2）若，求. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记. （1）若，计算； （2）证明：对任意，存在，使得为恒等置换； （3）对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由. 2024-2025学年上学期 东北师大附中（数学）科试卷 高三年级第二次摸底考试 注意事项： 1.答题前，考生需将自己的姓名､班级､考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试题卷上书写的答案无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第五卷（非选择题）两部分.总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AC 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）1 【16题答案】 【答案】（1）证明：由，得， 所以， 又，所以数列为首项为，公比为等比数列. （2）2024 【17题答案】 【答案】（1） 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 在中，， 所以， ， 所以. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：解法一：①若，则为恒等置换； ②若存在两个不同的，使得，不妨设，则. 所以，即为恒等置换； ③若存在唯一的，使得，不妨设，则或. 当时，由（1）可知为恒等置换； 同理可知，当时，也是恒等置换； ④若对任意的， 则情形一：或或； 情形二：或或 或或或； 对于情形一：为恒等置换； 对于情形二：为恒等置换； 综上，对任意，存在，使得为恒等置换； 解法二：对于任意，都有， 所以中，至少有一个满足， 即使得的的取值可能为. 当分别取时，记使得的值分别为， 只需取为的最小公倍数即可. 所以对任意，存在，使得为恒等置换； （3）最少8次就能恢复原来的牌型，理由：不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对作一次如下置换：，即 其中. 注意到各编号在置换中的如下变化： ，， ， ， ， ， ， ， ， 所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个， 注意到的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换， 故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $