2025届高考物理一轮复习精讲精练：41动量守恒定律中的典型模型问题

动量守恒定律中的典型模型 模型(一)　包含弹簧的碰撞模型 广义地讲，“碰撞”就是一种相互作用，弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于“碰撞”，如果相互作用前后系统满足动量守恒、动能不变，具备了这一特征的物理过程，就可理解为“弹性碰撞”过程，就可以类比弹性碰撞的规律解题。 如图所示，光滑水平地面上静止放置由弹簧相连的木块 和 ，开始时弹簧处于原长，现给 一个向右的瞬时冲量，让 开始以速度 向右运动，若 ，则当弹簧再次恢复原长时，木块 和 通过弹簧相互作用，系统动量守恒，机械能守恒， 和 之间的相互作用可以视为弹性碰撞，弹簧再次恢复原长时，相当于木块 与木块 之间的弹性碰撞结束，则此时 、 的速度分别为 ， ， 由于 ，所以此时 的速度向右，且 的速度小于 的速度。 模型图例 m1、m2与轻弹簧(开始处于原长)相连，m1以初速度v0运动 两种情景 1.当弹簧处于最短(最长)状态时两物体瞬时速度相等，弹性势能最大： (1)系统动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v共。 两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒 (2)系统机械能守恒：m1v02＝(m1＋m2)v共2＋Epm。 系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒 2. 弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)． (1)系统动量守恒： m1v0＝m1v1＋m2v2，(2)系统机械能守恒：m1v＝m1v＋m2v。 【典例】如图所示，A、B两个小球静止在光滑水平地面上，用轻弹簧连接，A、B两球的质量分别为0.4kg和1.2kg。现使A球获得向右的瞬时速度。已知弹簧始终在其弹性限度之内，则在A、B两球运动的过程中（　　） A．B球的最大速度大小为1.5m/s B．B球速度最大时，A球的速度大小为3m/s，方向水平向左 C．A球速度为0时，A、B组成的系统动能损失最大 D．A球加速度为0时，B球的速度最大 【答案】B 【解析】AB．当B球速度最大时，弹簧处于原长，以向右为正方向，设此时A、B速度为v1、v2，由动量守恒和机械能守恒有 解得v1=-3m/s，v2=3m/s A错误，B正确； C．由能量守恒可知，A、B组成的系统动能损失最大时，弹簧弹性势能达到最大值，此时A、B速度相同，设为，由动量守恒解得C错误； D．A球加速度为0时，弹簧处于原长，当弹簧从压缩状态逐渐恢复原长过程中，B球的速度逐渐增大，弹簧恢复原长时B速度达到最大；当弹簧从伸长状态逐渐恢复原长过程中，B球的速度逐渐减小，弹簧恢复原长时B速度达到最小值，D错误。故选B。 【巩固练习1】如图，质量为m2＝4 kg和m3＝3 kg的物体静止放在光滑水平面上，两者之间用轻弹簧拴接。现有质量为m1＝1 kg的物体以速度v0＝8 m/s向右运动，m1与m3碰撞(碰撞时间极短)后粘合在一起。试求： (1)m1和m3碰撞过程中损失的机械能是多少？ (2)弹簧能产生的最大弹性势能是多少？ (3)弹簧在第一次获得最大弹性势能的过程中，对m3冲量的大小是多少？ 【答案】　(1)24 J　(2)4 J　(3)4 kg·m/s 【解析】　(1)设m1与m3碰撞后的速度为v1，碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向 由动量守恒定律得m1v0＝(m1＋m3)v1 由能量守恒定律得m1v＝(m1＋m3)v＋ΔE代入数据解得ΔE＝24 J。 (2)三物体组成的系统动量守恒，以向右为正方向 由动量守恒定律得(m1＋m3)v1＝(m1＋m2＋m3)v共代入数据解得v共＝1 m/s 由能量守恒定律得(m1＋m3)v＝(m1＋m2＋m3)v＋ΔEp代入数据解得ΔEp＝4 J。 (3)设弹簧对m2的冲量为I2，对m2由动量定理得I2＝m2v共－0＝4 kg·m/s 所以弹簧对m3冲量的大小是I3＝I2＝4 kg·m/s。 【巩固练习2】如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　) A.两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1 B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值 C.t1～t2时间内，弹簧的长度大于原长 D.t2～t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小 【答案】B 【解析】以m1的初速度方向为正方向，t1时刻A、B共速，由动量守恒定律得m1v1＝(m1＋m2)v共，将v1＝3 m/s，v共＝1 m/s代入解得m1∶m2＝1∶2，故A错误；根据系统能量守恒可知在t1时刻和t3时刻，系统的动能最小，弹簧的弹性势能达到最大值，故B正确；在t1时刻弹簧压缩至最短，所以t1～t2时间内，弹簧的长度小于原长，故C错误；t2～t3时间内，弹簧处于拉伸阶段，弹力逐渐增大，故D错误。 【巩固练习3】（多选）如图所示，两物块A、B用轻弹簧相连（与A不拴接），物块A、B质量均为m，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v0的速度在光滑的水平地面上运动，质量为2m的物块C静止在前方，物块B与物块C碰撞后并粘在一起共同运动。在以后的运动中，下列说法正确的是（　　） A．B与C碰撞后，二者共同的速度为 B．当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为 C．整个过程中，弹簧弹性势能的最大值为 D．最终物块A的速度为零 【答案】AD 【解析】A．物块B与物块C碰撞过程，A不参与，碰撞后，设物块B、C的共同速度为vBC，由动量守恒定律有 可得碰后共同速度为故A正确； BC．当物块A、B、C三者的速度相同时弹簧的弹性势能最大，设物块A、B、C三者的共同速度为，由物块A、B、C三者组成的系动量守恒，由动量守恒定律有解得 由能量守恒定律可知Ep故BC错误； D．最终物块A与弹簧分离，分离时物块A的速度为v1，物块B、C的速度为v2，由动量守恒定律有 由能量关系得解得v1=0，故D正确。故选AD。 【巩固练习4】（2022秋·黑龙江牡丹江·高三阶段练习）在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为的、两物块都以的速度向右匀速运动，弹簧处于原长，质量为的物块静止在前方，如图所示。与碰撞后二者粘在一起运动，在以后的运动中，当弹簧的弹性势能达到最大为____时，物块的速度是______。 【答案】     【详解】[1][2]与碰撞瞬间，整体动量守恒 此时整体总能量为代入数据得 当弹簧的弹性势能达到最大时，三者共速，此时与之间距离最短（或最长）。则 根据整体动量守恒得即此时A的速度为 根据能量守恒定律，弹簧的弹性势能最大为 【巩固练习5】（2023·湖北·模拟预测）如图，质量均为的物块A、B用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，B与竖直墙面紧靠。另一个质量为的物块C以某一初速度向A运动，C与A碰撞后粘在一起不再分开，它们共同向右运动并压缩弹簧，弹簧储存的最大弹性势能为6.0J，最后弹簧又弹开，A、B、C一边振动一边向左运动。那么下列说法错误的是（　　）    A．从C触到A，到B离开墙面这一过程，系统的动量不守恒，机械能损失 B．B离开墙面以后的运动过程中，B的最大速度为 C．C的初动能为9J D．B离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为1.5J 【答案】B 【解析】AC．从C触到A，到B离开墙面这一过程，C与A碰撞后粘在一起不再分开，是非弹性碰撞，机械能有损失，C、A共同向右运动并压缩弹簧过程中，B受到墙面的作用力，系统的动量不守恒；设C的初速度为v0，初动能为，对C与A碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得 C、A向右压缩弹簧的过程，由机械能守恒得得 初动能为联立解得，，机械能损为AC正确； B．当B刚离开墙壁时C、A的速度大小等于v1，方向向左。当弹簧由拉伸第二次恢复原长时B的速度最大，取向左为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得， 解得B的最大速度为B错误； D．B离开墙面后，当三个物体的速度相同时弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒定律和 机械能守恒定律得， 联立解得B离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为D正确。本题选择错误的，故选B。 【巩固练习6】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，一轻质弹簧的两端分别与质量是、的A、B两物块相连，它们静止在光滑水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度并从此时刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知，下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为3kg B．弹簧的最大弹性势能为4.5J C．时刻A、B的动能之比为 D．从到时刻弹簧由伸长状态恢复到原长 【答案】D 【解析】A．由图乙可知，时刻两物块速度相同，均为 根据动量守恒可得解得物块B的质量为故A错误； B．当两物块速度相同时，弹簧弹性势能最大，根据能量守恒可得故B错误； C．时刻，由图乙可知A、B速度分别为， A、B的动能之比为故C错误； D．由图乙可知，B的速度在时刻最大，可知此时弹簧恢复原长，此后B开始做减速运动，弹簧处于拉伸状态；时刻，两物块速度再一次相同，此时弹簧伸长量最大，时刻，弹簧刚好再次恢复原长，则从到时刻弹簧由伸长状态恢复到原长，故D正确。故选D。 【巩固练习7】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上，现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度时间图像如图乙，则有（　　） A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态 B．从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复原长 C．两物块的质量之比为m1:m2=1:2 D．从t3到t4时刻两物块动量变化量相同 【答案】BC 【解析】AB．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，在t1时刻弹簧处于压缩状态，在t3时刻弹簧处于拉伸状态，从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复原长，恢复到初始状态，选项A错误，B正确； C．在t2时刻弹簧处于原长状态，则在0~t2时间内，根据动量守恒和能量守恒关系可知 其中v0=3m/s，v1=-1m/s，v2=2m/s解得：两物块的质量之比为m1:m2=1:2选项C正确； D．从t3到t4时刻A的动量增加2kg∙m/s，B的动量减小2kg∙m/s，则两物块动量变化量不相同，选项D错误。 故选BC。 【巩固练习8】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图甲所示，物块A、B的质量分别是和，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在时刻以一定速度向右运动，在时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　）      A．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为48J B．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为，方向向右 C．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为10J D．物块B离开墙壁后，物块B的最大速度大小为 【答案】AD 【解析】A．AC碰撞过程中由动量守恒可得 ，，解得 当AC速度减为零时弹簧压缩至最短，此时弹性势能最大故A正确； B．4s到12s的时间内弹簧对AC的冲量为 由能量守恒可知12s B的速度为零，4s到12s的时间内对B由动量定理可得得 即大小为，方向向左，故B错误； C．当B的速度与AC相等时由动量守恒可得解得 所以弹簧的最大弹性势能为故C错误； D．当弹簧为原长时B的速度达到最大，由动量守恒和能量守恒可得 解得故D正确。故选AD。 模型(二)　子弹打木块模型 模型图例 模型规律 （1）地面光滑，系统的动量守恒。 （2）系统的机械能有损失，一般应用能量守恒定律。 两种情况 （1）子弹未穿出木块：两者最终速度相等，机械能损失最多 ①动量守恒：mv0＝（m＋M）v ②能量守恒：Q＝f·x＝m－（M＋m）v2 （2）子弹穿出木块：两者速度不相等，机械能有损失 ①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 ②能量守恒：Q＝f·l＝m－ 三个角度求解子弹打木块过程中损失的机械能 （1）利用系统前、后的机械能之差求解； （2）利用Q＝f·x相对求解； （3）利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。 [典例]　如图所示，质量为m＝245 g的物块(可视为质点)放在质量为M＝0.5 kg的木板左端，足够长的木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.4。质量为m0＝5 g的子弹以速度v0＝300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10 m/s2。子弹射入后，求： (1)子弹进入物块后子弹和物块一起向右滑行的最大速度v1。 (2)木板向右滑行的最大速度v2。 (3)物块在木板上滑行的时间t。 [解析]　(1)子弹进入物块后一起向右滑行的初速度即为物块的最大速度，由动量守恒可得： m0v0＝(m0＋m)v1，解得v1＝6 m/s。 (2)当子弹、物块、木板三者同速时，木板的速度最大，由动量守恒定律可得：(m0＋m)v1＝(m0＋m＋M)v2，解得v2＝2 m/s。 (3)对物块和子弹组成的整体应用动量定理得： －μ(m0＋m)gt＝(m0＋m)v2－(m0＋m)v1，解得：t＝1 s。 [答案]　(1)6 m/s　(2)2 m/s　(3)1 s [延伸思考] (1)子弹射入物块并留在其中(时间极短)，其中的含义是什么？ (2)足够长的木板会使子弹、物块、木板的运动有怎样的结果？ (3)当木板的速度v板＝1 m/s时，子弹和物块的速度v物是多大？在此过程中物块相对于木板滑行了多远？ 提示：(1)子弹射入物块并留在其中，说明子弹最终与物块同速。时间极短，说明子弹与物块从相互作用到二者同速的过程中，物块在木板上没来得及移动，而木板此时的速度仍为零。 (2)木板足够长，说明物块最终没有滑出木板，三者最终同速，此时木板速度最大。 (3)由动量守恒定律可得：(m0＋m)v1＝Mv板＋(m0＋m1)v物，可求得v物＝4 m/s由μ(m0＋m)g＝(m0＋m)a， v物＝v1－at′可得t′＝0.5 s 所以物块相对于木板滑行的距离d＝t′－t′＝2.25 m。 【变式练习】如图所示，一质量m1＝0.45 kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上。车顶右端放一质量m2＝0.5 kg的小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数μ＝0.5。现有一质量m0＝0.05 kg的子弹以v0＝100 m/s的水平速度射中小车左端，并留在车中，子弹与车相互作用时间很短。g取10 m/s2，求： (1)子弹刚刚射入小车时，小车的速度大小v1； (2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少？ [解析]　(1)子弹射入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得m0v0＝(m0＋m1)v1，解得v1＝10 m/s。 (2)子弹、小车、小物块组成的系统动量守恒，设当小物块与车共速时，共同速度为v2，两者相对位移大小为L，由动量守恒定律和动能定理有： (m0＋m1)v1＝(m0＋m1＋m2)v2 μm2gL＝(m0＋m1)v12－(m0＋m1＋m2)v22 解得L＝5 m 故要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为5 m。 [答案]　(1)10 m/s　(2)5 m [反思归纳]　“子弹打木块”是常见的“碰撞”模型，其突出特征是动量守恒、机械能有损失，解题关键点如下： (1)弄清楚子弹是最终停留在木块中与木块一起运动，还是穿透木块后各自运动； (2)对子弹打击木块过程中损失的机械能，根据题目条件选择通过打击前、后系统的机械能之差计算，或利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。 【巩固练习1】（（2023·陕西西安·校考三模）如图所示，质量为m的长木板B放在光滑的水平面上，质量为的木块A放在长木板的左端，一颗质量为的子弹以速度v0射入木块并留在木块中，当木块滑离木板时速度为，木块在木板上滑行的时间为t，则下列说法错误的是（　　）    A．木块获得的最大速度为 B．木块滑离木板时，木板获得的速度大小为 C．木块在木板上滑动时，木块与木板之间的滑动摩擦力大小为 D．因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差 【答案】B【解析】A．对子弹和木块A组成的系统，根据动量守恒定律=() 解得此后木块A与子弹一起做减速运动，则此时木块的速度最大，选项A正确； B．木块滑离木板时，对木板和木块包括子弹系统解得选项B错误； C．对木板，由动量定理：解得选项C正确； D．由能量守恒定律可知，木块在木板上滑动时，因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差，选项D正确。本题选错误的，故选B。 【巩固练习2】（2023秋·黑龙江鸡西·高三校考期末）如图所示，质量为M=9kg的木块静止于光滑水平面上，一质量为m=1kg的子弹以水平速度打入木块并停在木块中，此过程中下列说法正确的是（　　） A．子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为 B．子弹对木块做的功 C．木块和子弹系统机械能守恒 D．子弹打入木块过程中产生的热量 【答案】 A 【解析】A．根据动量守恒可得 解得子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为 故A正确； B．根据动能定理可知，子弹对木块做的功为 故B错误； CD．根据能量守恒可知，子弹打入木块过程中产生的热量为 可知木块和子弹系统机械能不守恒，故CD错误。故选A。 【巩固练习3】（多选）（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，有一个质量为的物体A和一个质量为M的物体B用轻弹簧连接，放在光滑的水平地面上。二者初始静止，弹簧原长为，劲度系数为k，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量）。现用一质量为m的子弹沿水平方向以初速度打中物体A，并留在物体A中（子弹与物体A达到相对静止的时间极短），然后压缩弹簧至最短，之后弹簧恢复原长，最后被拉长至最长。则下列说法正确的是（　　）    A．整个过程中子弹、物体A、物体B三者组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．弹簧被压缩至最短时物体B的速度大小为 C．整个过程中弹簧的最大弹性势能为 D．物体B的最大加速度大小为 【答案】BD 【详解】A．水平地面光滑，子弹、物体A、物体B三者组成的系统所受合外力为零，因此动量守恒，子弹打入物体A过程中，由于摩擦生热，故机械能不守恒，选项A错误； B．当三者共速时，弹簧被压缩至最短，设共同速度为，根据动量守恒定律有，解得，选项B正确； C．当弹簧压缩至最短或伸长至最长时，弹性势能最大，此时三者共速，子弹打入物体A并留在A中时，设此时A的速度大小为，对子弹与物体A，根据动量守恒定律，解得 从子弹打入物体A后至AB共速，弹性势能增加量等于系统动能减少量，故最大弹性势能为，选项C错误； D．当弹簧形变量最大时，弹力最大，物体B的加速度最大 根据牛顿第二定律得，联立二式得，选项D正确。 故选BD。 【巩固练习4】（2018秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学周测）如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．子弹射入木块后的瞬间，速度大小为 B．木块摆至最高点时，速度大小为 C．子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力等于（M+m+m0）g D．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒 【答案】B 【分析】子弹射入木块的过程遵守动量守恒，由动量守恒定律求出子弹穿入木块中时子弹和木块的共同速度，由向心力公式求绳子拉力．子弹射入木块后的瞬间，对圆环，根据平衡知识分析环对轻杆的压力大小； 【详解】A、子弹射入木块后的瞬间，取水平向右为正方向，由子弹和木块系统的动量守恒，则，解得速度大小为，故A错误； B、当木块摆至最高点时，子弹、木块以及圆环三者速度相同，以三者为系统水平方向动量守恒，则：，即，故选项B正确； C、子弹射入木块后的瞬间，设绳对木块和子弹的拉力为T，则对木块和子弹整体根据牛顿第二定律可得：，可知绳子拉力； 子弹射入木块后的瞬间，对圆环，有：，则由牛顿第三定律知，环对轻杆的压力大于，故C错误； D、子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统只在水平方向动量守恒，故D错误． 【点睛】本题是连接体水平方向动量守恒问题，关键要正确选择研究对象，明确研究的过程． 模型(三)　子弹打木块模型 模型图例 模型规律 木板M放在光滑的水平地面上，滑块m以速度v0滑上木板，两者间的摩擦力大小为f。 ①系统的动量守恒； ②系统减少的机械能等于摩擦力与两者相对位移大小的乘积，即摩擦生成的热量。 两种情况 （1）若滑块未滑离木板，则类似于子弹打木块模型中子弹未穿出的情况。 ①系统动量守恒：mv0＝（M＋m）v； ②系统能量守恒：Q＝f·x＝m－（M＋m）v2。 （2）若滑块滑离木板，则类似于子弹穿出的情况。 ①系统动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； ②系统能量守恒：Q＝fl＝m－。 【特别提醒】 “滑块—木板”模型的解题思路 ①系统的动量守恒。 ②在涉及滑块或木板的运动时间时，优先考虑用动量定理。 ③在涉及滑块或木板的位移时，优先考虑用动能定理。 ④在涉及滑块与木板的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。 ⑤滑块与木板不相对滑动时，两者达到共同速度 【典例1】如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg，mC＝2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。 审题指导： 题干关键 获取信息 A与C碰撞时间极短 系统A、C动量守恒 A、B再次同速，恰好不与C碰撞 最后三者同速 [解析]　长木板A与滑块C处于光滑水平轨道上，两者碰撞时间极短，碰撞过程中滑块B与长木板A间的摩擦力可以忽略不计，长木板A与滑块C组成的系统在碰撞过程中动量守恒，则mAv0＝mAvA＋mCvC。两者碰撞后，长木板A与滑块B组成的系统在两者达到同速之前所受合外力为零，系统动量守恒，则mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)v。长木板A和滑块B达到共同速度后，恰好不再与滑块C碰撞，则最后三者速度相等，vC＝v。 联立以上各式，代入数据解得vA＝2 m/s。 [答案]　2 m/s [拓展]　在上例中(1)若A与C发生碰撞后粘在一起，则三个物体最终的速度是多少？ (2)在(1)的条件下，相互作用的整个过程中，系统的机械能损失了多少？ [解析]　(1)整个作用过程中，A、B、C三个物体组成的系统动量守恒，最终三者具有相同的速度，根据动量守恒 (mA＋mB)v0＝(mA＋mB＋mC)v代入数据可得v＝3 m/s。 (2)三者最后的速度v＝3 m/s 相互作用前E1＝(mA＋mB)v＝37.5 J A、B再次达到共同速度时E2＝(mA＋mB＋mC)v2＝22.5 J 机械能损失ΔE＝E1－E2＝15 J。[答案]　(1)3 m/s　(2)15 J [典例2]质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有一质量为m2＝0.2 kg、可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝2 m/s从左端滑上小车，如图所示，最后在小车上某处与小车保持相对静止，物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，求： (1)物块与小车的共同速度大小v； (2)物块相对小车滑行的时间t； (3)从开始到共速，小车运动的位移大小x1； (4)从开始到共速，物块运动的位移大小x2； (5)在此过程中系统产生的内能； (6)若物块不滑离小车，物块的速度不能超过多少。 【答案】　(1)0.8 m/s　(2)0.24 s　(3)0.096 m (4)0.336 m　(5)0.24 J　(6)5 m/s 【解析】　(1)设物块与小车的共同速度为v，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有m2v0＝(m1＋m2)v， 解得v＝＝0.8 m/s (2)对物块由动量定理有－μm2gt＝m2v－m2v0解得t＝＝0.24 s (3)对小车，根据动能定理有μm2gx1＝m1v2－0，解得x1＝＝0.096 m (4)x2＝t＝×0.24 m＝0.336 m (5)方法一　Δx＝x2－x1＝0.24 m Q＝μm2g·Δx＝0.24 J 方法二　Q＝ΔE＝m2v02－(m1＋m2)v2＝0.24 J (6)m2v0′＝(m1＋m2)v′ m2v0′2－(m1＋m2)v′2＝μm2gL联立解得v0′＝5 m/s。 【巩固练习1】如图所示，质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，则(　　) A.物块滑上小车后，系统动量守恒、机械能守恒 B.增大物块与车面间的动摩擦因数，摩擦生热变大 C.若v0＝2.5 m/s，则物块在车面上滑行的时间为0.24 s D.若要保证物块不从小车右端滑出，则v0不得大于5 m/s 【答案】　D 【解析】　物块与小车组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒、物块相对小车滑动过程中克服摩擦力做功，部分机械能转化为内能，系统机械能不守恒，A错误；以向右为正方向，由动量守恒定律得m2v0＝(m1＋m2)v，系统产生的内能Q＝m2v－(m1＋m2)v2＝，则增大物块与车面间的动摩擦因数，摩擦生热不变，B错误；若v0＝2.5 m/s，由动量守恒定律得m2v0＝(m1＋m2)v，解得v＝1 m/s，对物块，由动量定理得－μm2gt＝m2v－m2v0，解得t＝0.3 s，C错误；要使物块恰好不从小车右端滑出，需物块到车面右端时与小车有共同的速度v′，以向右为正方向，由动量守恒定律得m2v0′＝(m1＋m2)v′，由能量守恒定律得m2v0′2＝(m1＋m2)v′2＋μm2gL，解得v0′＝5 m/s，D正确。 【巩固练习2】如图所示，质量m1=3kg且足够长的小车静止在光滑的水平面上，现有质量m2=2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车，物块与车上表面间的动摩擦因数μ=0.5，最后恰好不掉下小车且与小车保持相对静止，g取10m/s2。在这一过程中，下列说法正确的是（  ）    A．系统最后共同运动的速度为1.2m/s B．系统损失的机械能为4.8J C．小车获得的最大动能为0.96J D．物块克服摩擦力做的功为4J 【答案】C 【解析】A．由物块与小车组成的系统动量守恒得则故A错误； B．由能量守恒可知，系统损失的机械能为B错误； C．当物块与小车到达共速时，小车的速度最大，动能最大，为故C正确； D．整个过程中对物块由动能定理可知故D错误。故选C。 【巩固练习3】（2021·海南·高考真题）如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v0向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m，它们之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。 （1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小； （2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离； （3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。 【答案】 （1）v共 =v0；（2）x= ；（3）t = ，W = mv02 【解析】（1）由于地面光滑，则木板与滑块组成的系统动量守恒，有2mv0 = 3mv共解得v共 =v0 （2）由于木板速度是滑块的2倍，则有v木 = 2v滑 再根据动量守恒定律有2mv0 = 2mv木 + mv滑联立化简得v滑 =v0，v木 =v0 再根据功能关系有-μmgx = ×2mv木2 + mv滑2 - × 2mv02经过计算得 （3）由于木板保持匀速直线运动，则有F =μmg 对滑块进行受力分析，并根据牛顿第二定律有a滑 =μg 滑块相对木板静止时有v0 =a滑t解得t= 则整个过程中木板滑动的距离为x′= v0t = 则拉力所做的功为W = Fx′= mv02 【巩固练习4】（2023春·福建省福州第一中学校考期末）如图所示，光滑水平地面上并排放置着质量分别为m1=1kg、m2=2kg的木板A、B，一质量M=2kg的滑块C（视为质点）以初速度v0=10m/s从A左端滑上木板，C滑离木板A时的速度大小为v1=7m/s，最终C与木板B相对静止，则（　　） A．木板B与滑块C最终均静止在水平地面上 B．木板B的最大速度为2m/s C．木板A的最大速度为1m/s D．整个过程，A、B、C组成的系统机械能减少了57.5J 【答案】 D 【解析】ABC．整个系统水平方向动量守恒，C滑离木板A时 解得木板A的最大速度为 滑上B后，对B、C整体水平动量守恒 解得木板B的最大速度为 并且B、C一起匀速运动，故ABC错误； D．整个过程，A、B、C组成的系统机械能减少了 故D正确。故选D。 小结：(1)若子弹未射穿木块或滑块未从木板上滑下，当两者速度相等时木块或木板的速度最大，两者的相对位移(子弹为射入木块的深度)取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型) (2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能 (3)根据能量守恒，系统损失的动能ΔEk＝ Ek0，可以看出，子弹(或滑块)的质量越小，木块(或木板)的质量越大，动能损失越多 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于非弹性碰撞拓展模型，也可以从力和运动的角度借助图示求解 模型(四)　小球与曲面体的“碰撞”模型 模型图例 模型规律 光滑的曲面体开始时静止在水平地面上，滑块以速度v0滑上曲面体 1.系统水平方向动量守恒；2.系统的机械能守恒。 两个位置 (1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)。 (2)返回最低点：水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)。 [典例]如图所示，光滑弧形滑块P锁定在光滑水平地面上，其弧形底端切线水平，小球Q(视为质点)的质量为滑块P的质量的一半，小球Q从滑块P顶端由静止释放，Q离开P时的动能为Ek1。现解除锁定，仍让Q从滑块顶端由静止释放，Q离开P时的动能为Ek2，Ek1和Ek2的比值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设滑块P的质量为2m，则小球Q的质量为m，弧形顶端与底端的竖直距离为h；P锁定时，Q下滑过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh＝Ek1，P解除锁定，Q下滑过程中，P、Q组成的系统在水平方向动量守恒，以水平向左为正方向，由动量守恒定律得mvQ－2mvP＝0，由机械能守恒定律得mgh＝mv＋×2mv，Q离开P时的动能Ek2＝mv，联立解得＝，故C正确。 【巩固练习1】(多选)如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R＝0.8 m的光滑圆弧斜劈B，斜劈的质量是M＝3 kg，底端与水平面相切，左边有质量是m＝1 kg的小球A以初速度v0＝4 m/s从切点C(是圆弧的最低点)冲上斜劈，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.小球A不能从斜劈顶端冲出 B.小球A能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈 C.小球A冲上斜劈过程中经过最低点C时对斜劈的压力大小是30 N D.小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2 m/s，方向向左 【答案】　ACD 【解析】　小球A向右运动到斜劈最低点C时，设此时斜劈对小球的支持力为F1，则F1－mg＝m，代入数据得 F1＝30 N，由牛顿第三定律知，小球A对斜劈的压力是30 N，选项C正确；假设小球能运动到斜劈顶端，此时小球和斜劈水平速度相等为v1，小球竖直速度为v2，水平方向由动量守恒定律有mv0＝(m＋M)v1，小球和斜劈组成的系统机械能守恒，则有mv＝m(v＋v)＋Mv＋mgR，联立解得v1＝1 m/s，v＝－4 m2/s2<0，故小球A不能从斜劈顶端冲出，选项A正确，B错误；当小球A在斜劈上返回最低点C时，设小球A和斜劈的速度分别为v3、v4，则根据动量守恒定律和机械能守恒定律得mv0＝mv3＋Mv4，mv＝mv＋Mv，联立得v3＝－2 m/s，v4＝2 m/s，小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2 m/s，方向向左，选项D正确。 【巩固练习2】(多选)(2024·黑龙江牡丹江市二中月考)如图所示，质量为4m的光滑物块a静止在光滑水平地面上，物块a左侧面为圆弧面且与水平地面相切，质量为m的滑块b以初速度v0向右运动滑上a，沿a左侧面上滑一段距离后又返回，最后滑离a，不计一切摩擦，滑块b从滑上a到滑离a的过程中，下列说法正确的是(　　) A.滑块b沿a上升的最大高度为 B.物块a运动的最大速度为 C.物块a对滑块b的冲量大小mv0 D.物块a对滑块b所做的功－mv 【答案】　BD 【解析】　b沿a上升到最大高度时，两者速度相等，取向右为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得mv0＝(m＋4m)v，由机械能守恒定律得mv＝(m＋4m)v2＋mgh，解得h＝，A错误；滑块b从滑上a到滑离a后，物块a运动的速度最大，系统在水平方向动量守恒，对整个过程，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv0＝mvb＋4mva，由机械能守恒定律得mv＝mv＋×4mv，解得va＝v0，vb＝－v0，B正确；对b由动量定理得 I＝－mv0－mv0＝－mv0，C错误；对b由动能定理得W＝m－mv＝－mv，D正确。 【巩固练习3】在光滑水平面上静置有质量均为m的木板AB和滑块CD，木板AB上表面粗糙，与物块间的动摩擦因数为μ，滑块CD上表面是光滑的圆弧，其始端D点切线水平且与木板AB上表面相平，它们紧靠在一起，如图所示。一可视为质点的物块P，质量也为m，从木板AB的右端以初速度v0滑上木板AB，过B点时速度为，又滑上滑块CD，最终恰好能滑到滑块CD圆弧的最高点C处，求： (1)物块P滑到B处时木板AB的速度vAB； (2)滑块CD圆弧的半径R。 [解析]　(1)物块P由A处到B处，取向左为正方向，由动量守恒定律得mv0＝m·＋2mvAB，解得vAB＝。 (2)物块P由D处到C处，滑块CD与物块P在水平方向动量守恒，机械能守恒，则m·＋m·＝2mv共 mgR＝m2＋m2－×2mv共2解得R＝。[答案]　(1)　(2) [反思归纳]　物块P与光滑的圆弧滑块CD相互作用的过程，二者组成的系统机械能守恒，由于竖直方向合外力不为零，系统仅在水平方向上动量守恒。物块P恰好能滑到圆弧轨道最高点C，此时物块P与滑块CD有相同的速度。如果物块P从最高点C滑出圆弧轨道，则滑出轨道后，P在水平方向上的分速度与CD的速度相同，P返回时仍然从C点落入圆弧轨道。如果圆弧轨道不光滑，则P与CD组成的系统机械能不守恒，且仍然仅在水平方向上动量守恒。总之，对物体及系统正确进行受力分析和运动分析，是碰撞模型乃至所有动量问题、能量问题的解题前提。 【巩固练习4】（多选）（2023·河南开封·统考三模）如图所示，一辆质量的小车静止在光滑水平面上，小车左边部分为半径的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端平滑连接一长度的水平粗粘面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为的小物块（可视为质点）从小车左侧圆弧轨道顶端A点由静止释放，小物块和小车粗糙区域的动摩擦因数，重力加速度取，则（　　）    A．小物块滑到圆弧末端时的速度大小为 B．小物块滑到圆弧末端时小车的速度大小为 C．小物块与右侧挡板碰撞前瞬间的速度大小为 D．小物块最终距圆弧轨道末端的距离为 【答案】BC 【详解】AB．小物块滑到圆弧轨道末端时，由能量守恒和水平方向动量守恒得，联立解得，，故A错误、B正确； C．小物块与右侧挡板碰撞前，由能量守恒和水平方向动量守恒得， 联立解得，，故C正确；， D．由水平方向动量守恒知，小物块和小车最终都静止，由能量守恒得 解得，则小物块最终距圆弧末端的距离，故D错误。故选BC。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 动量守恒定律中的典型模型 模型(一)　包含弹簧的碰撞模型 广义地讲，“碰撞”就是一种相互作用，弹性碰撞模型的应用不仅仅局限于“碰撞”，如果相互作用前后系统满足动量守恒、动能不变，具备了这一特征的物理过程，就可理解为“弹性碰撞”过程，就可以类比弹性碰撞的规律解题。 如图所示，光滑水平地面上静止放置由弹簧相连的木块 和 ，开始时弹簧处于原长，现给 一个向右的瞬时冲量，让 开始以速度 向右运动，若 ，则当弹簧再次恢复原长时，木块 和 通过弹簧相互作用，系统动量守恒，机械能守恒， 和 之间的相互作用可以视为弹性碰撞，弹簧再次恢复原长时，相当于木块 与木块 之间的弹性碰撞结束，则此时 、 的速度分别为 ， ， 由于 ，所以此时 的速度向右，且 的速度小于 的速度。 模型图例 m1、m2与轻弹簧(开始处于原长)相连，m1以初速度v0运动 两种情景 1.当弹簧处于最短(最长)状态时两物体瞬时速度相等，弹性势能最大： (1)系统动量守恒：m1v0＝(m1＋m2)v共。 两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒 (2)系统机械能守恒：m1v02＝(m1＋m2)v共2＋Epm。 系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒 2. 弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)． (1)系统动量守恒： m1v0＝m1v1＋m2v2，(2)系统机械能守恒：m1v＝m1v＋m2v。 【典例】如图所示，A、B两个小球静止在光滑水平地面上，用轻弹簧连接，A、B两球的质量分别为0.4kg和1.2kg。现使A球获得向右的瞬时速度。已知弹簧始终在其弹性限度之内，则在A、B两球运动的过程中（　　） A．B球的最大速度大小为1.5m/s B．B球速度最大时，A球的速度大小为3m/s，方向水平向左 C．A球速度为0时，A、B组成的系统动能损失最大 D．A球加速度为0时，B球的速度最大 【巩固练习1】如图，质量为m2＝4 kg和m3＝3 kg的物体静止放在光滑水平面上，两者之间用轻弹簧拴接。现有质量为m1＝1 kg的物体以速度v0＝8 m/s向右运动，m1与m3碰撞(碰撞时间极短)后粘合在一起。试求： (1)m1和m3碰撞过程中损失的机械能是多少？ (2)弹簧能产生的最大弹性势能是多少？ (3)弹簧在第一次获得最大弹性势能的过程中，对m3冲量的大小是多少？ 【巩固练习2】如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3 m/s，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是(　　) A.两物块的质量之比为m1∶m2＝2∶1 B.在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值 C.t1～t2时间内，弹簧的长度大于原长 D.t2～t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小 【巩固练习3】（多选）如图所示，两物块A、B用轻弹簧相连（与A不拴接），物块A、B质量均为m，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v0的速度在光滑的水平地面上运动，质量为2m的物块C静止在前方，物块B与物块C碰撞后并粘在一起共同运动。在以后的运动中，下列说法正确的是（　　） A．B与C碰撞后，二者共同的速度为 B．当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为 C．整个过程中，弹簧弹性势能的最大值为 D．最终物块A的速度为零 【巩固练习4】（2022秋·黑龙江牡丹江·高三阶段练习）在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为的、两物块都以的速度向右匀速运动，弹簧处于原长，质量为的物块静止在前方，如图所示。与碰撞后二者粘在一起运动，在以后的运动中，当弹簧的弹性势能达到最大为____时，物块的速度是______。 【巩固练习5】（2023·湖北·模拟预测）如图，质量均为的物块A、B用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，B与竖直墙面紧靠。另一个质量为的物块C以某一初速度向A运动，C与A碰撞后粘在一起不再分开，它们共同向右运动并压缩弹簧，弹簧储存的最大弹性势能为6.0J，最后弹簧又弹开，A、B、C一边振动一边向左运动。那么下列说法错误的是（　　）    A．从C触到A，到B离开墙面这一过程，系统的动量不守恒，机械能损失 B．B离开墙面以后的运动过程中，B的最大速度为 C．C的初动能为9J D．B离开墙面后，弹簧的最大弹性势能为1.5J 【巩固练习6】（2023·广东·模拟预测）如图甲所示，一轻质弹簧的两端分别与质量是、的A、B两物块相连，它们静止在光滑水平面上。现使A瞬时获得水平向右的速度并从此时刻开始计时，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，已知，下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为3kg B．弹簧的最大弹性势能为4.5J C．时刻A、B的动能之比为 D．从到时刻弹簧由伸长状态恢复到原长 【巩固练习7】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接并静止在光滑的水平地面上，现使A以3m/s的速度向B运动压缩弹簧，速度时间图像如图乙，则有（　　） A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态 B．从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复原长 C．两物块的质量之比为m1:m2=1:2 D．从t3到t4时刻两物块动量变化量相同 【巩固练习8】（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图甲所示，物块A、B的质量分别是和，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙相接触。另有一物块C在时刻以一定速度向右运动，在时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不再分开，物块C的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　）      A．物块B离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为48J B．4s到12s的时间内，墙壁对物块B的冲量大小为，方向向右 C．物块B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能为10J D．物块B离开墙壁后，物块B的最大速度大小为 模型(二)　子弹打木块模型 模型图例 模型规律 （1）地面光滑，系统的动量守恒。 （2）系统的机械能有损失，一般应用能量守恒定律。 两种情况 （1）子弹未穿出木块：两者最终速度相等，机械能损失最多 ①动量守恒：mv0＝（m＋M）v ②能量守恒：Q＝f·x＝m－（M＋m）v2 （2）子弹穿出木块：两者速度不相等，机械能有损失 ①动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2 ②能量守恒：Q＝f·l＝m－ 三个角度求解子弹打木块过程中损失的机械能 （1）利用系统前、后的机械能之差求解； （2）利用Q＝f·x相对求解； （3）利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。 [典例]　如图所示，质量为m＝245 g的物块(可视为质点)放在质量为M＝0.5 kg的木板左端，足够长的木板静止在光滑水平面上，物块与木板间的动摩擦因数为μ＝0.4。质量为m0＝5 g的子弹以速度v0＝300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短)，g取10 m/s2。子弹射入后，求： (1)子弹进入物块后子弹和物块一起向右滑行的最大速度v1。 (2)木板向右滑行的最大速度v2。 (3)物块在木板上滑行的时间t。 [延伸思考] (1)子弹射入物块并留在其中(时间极短)，其中的含义是什么？ (2)足够长的木板会使子弹、物块、木板的运动有怎样的结果？ (3)当木板的速度v板＝1 m/s时，子弹和物块的速度v物是多大？在此过程中物块相对于木板滑行了多远？ 【变式练习】如图所示，一质量m1＝0.45 kg的平板小车静止在光滑的水平轨道上。车顶右端放一质量m2＝0.5 kg的小物块，小物块可视为质点，小物块与小车上表面之间的动摩擦因数μ＝0.5。现有一质量m0＝0.05 kg的子弹以v0＝100 m/s的水平速度射中小车左端，并留在车中，子弹与车相互作用时间很短。g取10 m/s2，求： (1)子弹刚刚射入小车时，小车的速度大小v1； (2)要使小物块不脱离小车，小车的长度至少为多少？ [反思归纳]　“子弹打木块”是常见的“碰撞”模型，其突出特征是动量守恒、机械能有损失，解题关键点如下： (1)弄清楚子弹是最终停留在木块中与木块一起运动，还是穿透木块后各自运动； (2)对子弹打击木块过程中损失的机械能，根据题目条件选择通过打击前、后系统的机械能之差计算，或利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。 【巩固练习1】（（2023·陕西西安·校考三模）如图所示，质量为m的长木板B放在光滑的水平面上，质量为的木块A放在长木板的左端，一颗质量为的子弹以速度v0射入木块并留在木块中，当木块滑离木板时速度为，木块在木板上滑行的时间为t，则下列说法错误的是（　　）    A．木块获得的最大速度为 B．木块滑离木板时，木板获得的速度大小为 C．木块在木板上滑动时，木块与木板之间的滑动摩擦力大小为 D．因摩擦产生的热量等于子弹射入木块后子弹和木块减少的动能与木板增加的动能之差 【巩固练习2】（2023秋·黑龙江鸡西·高三校考期末）如图所示，质量为M=9kg的木块静止于光滑水平面上，一质量为m=1kg的子弹以水平速度打入木块并停在木块中，此过程中下列说法正确的是（　　） A．子弹打入木块后子弹和木块的共同速度为 B．子弹对木块做的功 C．木块和子弹系统机械能守恒 D．子弹打入木块过程中产生的热量 【巩固练习3】（多选）（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，有一个质量为的物体A和一个质量为M的物体B用轻弹簧连接，放在光滑的水平地面上。二者初始静止，弹簧原长为，劲度系数为k，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量）。现用一质量为m的子弹沿水平方向以初速度打中物体A，并留在物体A中（子弹与物体A达到相对静止的时间极短），然后压缩弹簧至最短，之后弹簧恢复原长，最后被拉长至最长。则下列说法正确的是（　　）    A．整个过程中子弹、物体A、物体B三者组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．弹簧被压缩至最短时物体B的速度大小为 C．整个过程中弹簧的最大弹性势能为 D．物体B的最大加速度大小为 【巩固练习4】（2018秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学周测）如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量为M的木块，现有质量为m0的子弹以大小为v0的水平速度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．子弹射入木块后的瞬间，速度大小为 B．木块摆至最高点时，速度大小为 C．子弹射入木块后的瞬间，环对轻杆的压力等于（M+m+m0）g D．子弹射入木块之后，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒 模型(三)　子弹打木块模型 模型图例 模型规律 木板M放在光滑的水平地面上，滑块m以速度v0滑上木板，两者间的摩擦力大小为f。 ①系统的动量守恒； ②系统减少的机械能等于摩擦力与两者相对位移大小的乘积，即摩擦生成的热量。 两种情况 （1）若滑块未滑离木板，则类似于子弹打木块模型中子弹未穿出的情况。 ①系统动量守恒：mv0＝（M＋m）v； ②系统能量守恒：Q＝f·x＝m－（M＋m）v2。 （2）若滑块滑离木板，则类似于子弹穿出的情况。 ①系统动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； ②系统能量守恒：Q＝fl＝m－。 【特别提醒】 “滑块—木板”模型的解题思路 ①系统的动量守恒。 ②在涉及滑块或木板的运动时间时，优先考虑用动量定理。 ③在涉及滑块或木板的位移时，优先考虑用动能定理。 ④在涉及滑块与木板的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。 ⑤滑块与木板不相对滑动时，两者达到共同速度 【典例1】如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg，mC＝2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。 审题指导： 题干关键 获取信息 A与C碰撞时间极短 系统A、C动量守恒 A、B再次同速，恰好不与C碰撞 最后三者同速 [拓展]　在上例中(1)若A与C发生碰撞后粘在一起，则三个物体最终的速度是多少？ (2)在(1)的条件下，相互作用的整个过程中，系统的机械能损失了多少？ [典例2]质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有一质量为m2＝0.2 kg、可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝2 m/s从左端滑上小车，如图所示，最后在小车上某处与小车保持相对静止，物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2，求： (1)物块与小车的共同速度大小v； (2)物块相对小车滑行的时间t； (3)从开始到共速，小车运动的位移大小x1； (4)从开始到共速，物块运动的位移大小x2； (5)在此过程中系统产生的内能； (6)若物块不滑离小车，物块的速度不能超过多少。 【巩固练习1】如图所示，质量m1＝0.3 kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，则(　　) A.物块滑上小车后，系统动量守恒、机械能守恒 B.增大物块与车面间的动摩擦因数，摩擦生热变大 C.若v0＝2.5 m/s，则物块在车面上滑行的时间为0.24 s D.若要保证物块不从小车右端滑出，则v0不得大于5 m/s 【巩固练习2】如图所示，质量m1=3kg且足够长的小车静止在光滑的水平面上，现有质量m2=2kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0=2m/s从左端滑上小车，物块与车上表面间的动摩擦因数μ=0.5，最后恰好不掉下小车且与小车保持相对静止，g取10m/s2。在这一过程中，下列说法正确的是（  ）    A．系统最后共同运动的速度为1.2m/s B．系统损失的机械能为4.8J C．小车获得的最大动能为0.96J D．物块克服摩擦力做的功为4J 【巩固练习3】（2021·海南·高考真题）如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v0向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m，它们之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。 （1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小； （2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离； （3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。 【巩固练习4】（2023春·福建省福州第一中学校考期末）如图所示，光滑水平地面上并排放置着质量分别为m1=1kg、m2=2kg的木板A、B，一质量M=2kg的滑块C（视为质点）以初速度v0=10m/s从A左端滑上木板，C滑离木板A时的速度大小为v1=7m/s，最终C与木板B相对静止，则（　　） A．木板B与滑块C最终均静止在水平地面上 B．木板B的最大速度为2m/s C．木板A的最大速度为1m/s D．整个过程，A、B、C组成的系统机械能减少了57.5J 小结：(1)若子弹未射穿木块或滑块未从木板上滑下，当两者速度相等时木块或木板的速度最大，两者的相对位移(子弹为射入木块的深度)取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型) (2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能 (3)根据能量守恒，系统损失的动能ΔEk＝ Ek0，可以看出，子弹(或滑块)的质量越小，木块(或木板)的质量越大，动能损失越多 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于非弹性碰撞拓展模型，也可以从力和运动的角度借助图示求解 模型(四)　小球与曲面体的“碰撞”模型 模型图例 模型规律 光滑的曲面体开始时静止在水平地面上，滑块以速度v0滑上曲面体 1.系统水平方向动量守恒；2.系统的机械能守恒。 两个位置 (1)上升到最大高度：m与M具有共同水平速度v共，此时m的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv02＝(M＋m)v共2＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为m的重力势能)。 (2)返回最低点：水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv02＝mv12＋Mv22(相当于完成了弹性碰撞)。 [典例]如图所示，光滑弧形滑块P锁定在光滑水平地面上，其弧形底端切线水平，小球Q(视为质点)的质量为滑块P的质量的一半，小球Q从滑块P顶端由静止释放，Q离开P时的动能为Ek1。现解除锁定，仍让Q从滑块顶端由静止释放，Q离开P时的动能为Ek2，Ek1和Ek2的比值为(　　) A. B. C. D. 【巩固练习1】(多选)如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R＝0.8 m的光滑圆弧斜劈B，斜劈的质量是M＝3 kg，底端与水平面相切，左边有质量是m＝1 kg的小球A以初速度v0＝4 m/s从切点C(是圆弧的最低点)冲上斜劈，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.小球A不能从斜劈顶端冲出 B.小球A能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈 C.小球A冲上斜劈过程中经过最低点C时对斜劈的压力大小是30 N D.小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2 m/s，方向向左 【巩固练习2】(多选)(2024·黑龙江牡丹江市二中月考)如图所示，质量为4m的光滑物块a静止在光滑水平地面上，物块a左侧面为圆弧面且与水平地面相切，质量为m的滑块b以初速度v0向右运动滑上a，沿a左侧面上滑一段距离后又返回，最后滑离a，不计一切摩擦，滑块b从滑上a到滑离a的过程中，下列说法正确的是(　　) A.滑块b沿a上升的最大高度为 B.物块a运动的最大速度为 C.物块a对滑块b的冲量大小mv0 D.物块a对滑块b所做的功－mv 【巩固练习3】在光滑水平面上静置有质量均为m的木板AB和滑块CD，木板AB上表面粗糙，与物块间的动摩擦因数为μ，滑块CD上表面是光滑的圆弧，其始端D点切线水平且与木板AB上表面相平，它们紧靠在一起，如图所示。一可视为质点的物块P，质量也为m，从木板AB的右端以初速度v0滑上木板AB，过B点时速度为，又滑上滑块CD，最终恰好能滑到滑块CD圆弧的最高点C处，求： (1)物块P滑到B处时木板AB的速度vAB； (2)滑块CD圆弧的半径R。 [反思归纳]　物块P与光滑的圆弧滑块CD相互作用的过程，二者组成的系统机械能守恒，由于竖直方向合外力不为零，系统仅在水平方向上动量守恒。物块P恰好能滑到圆弧轨道最高点C，此时物块P与滑块CD有相同的速度。如果物块P从最高点C滑出圆弧轨道，则滑出轨道后，P在水平方向上的分速度与CD的速度相同，P返回时仍然从C点落入圆弧轨道。如果圆弧轨道不光滑，则P与CD组成的系统机械能不守恒，且仍然仅在水平方向上动量守恒。总之，对物体及系统正确进行受力分析和运动分析，是碰撞模型乃至所有动量问题、能量问题的解题前提。 【巩固练习4】（多选）（2023·河南开封·统考三模）如图所示，一辆质量的小车静止在光滑水平面上，小车左边部分为半径的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端平滑连接一长度的水平粗粘面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为的小物块（可视为质点）从小车左侧圆弧轨道顶端A点由静止释放，小物块和小车粗糙区域的动摩擦因数，重力加速度取，则（　　）    A．小物块滑到圆弧末端时的速度大小为 B．小物块滑到圆弧末端时小车的速度大小为 C．小物块与右侧挡板碰撞前瞬间的速度大小为 D．小物块最终距圆弧轨道末端的距离为 学科网（北京）股份有限公司 $$