第1讲 特殊平行四边形 培优讲义 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

特殊平行四边形专题 专题1 最小值题型 例1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6，E为BC边的中点,M为对角线BD上的一个动点,求AM+BM的最小值 【变式1】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=120°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是    .  【变式2】.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,M为EF的中点,则AM的最小值为 【变式3】.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为 　 .  专题2 折叠题型 例2.如图,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,P为AB的中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在直线上的C'处,折痕为DE,则∠DEC=　 　°.  【变式1】.如图,将矩形ABCD沿直线EF对折,点D恰好与BC边上的点H重合,若∠GFP=62°,则∠EHF的度数为　 　°.  【变式2】.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到点B'的位置,AB'与CD交于点E.若AB=8,DE=3,P为线段AC上的任意一点,PG⊥AB'于点G,PH⊥DC于点H,试求PG+PH的值 . 专题3 旋转题型 例3.如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为 【变式1】矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,其各顶点的坐标分别为A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),固定点B并将此矩形按顺时针方向旋转,若旋转后点C的对应点的坐标为(3,0),则旋转后点D的对应点的坐标为 【变式2】如图，在平面直角坐标 系中，按如图所示放置正方形OABC,D 为OA 上一点，其坐标为 D(1,2).将正方形OABC 绕坐标原点O 顺时针旋转，每秒旋转90°,动2023秒后点D 的对应点D'的坐标为 专题4 易错题型 例4..如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D'落在∠ABC的平分线上时,求DE的长 . 【变式1】.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把矩形沿AE折叠,使点B落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时,BE的长为  　.  【变式2】.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,若点P在AD边上,连接BP,PC,△BPC是以PB为腰的等腰三角形,则PB的长为　 　.  专题5　特殊平行四边形中的动点问题 例5【十字模型】.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动. (1)如图1,当点E自D向C,点F自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由; (2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明) (3)如图3,当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 例6【手拉手模型】.小明参加数学兴趣小组的探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2√2的正方形AEFG按图1的位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上. (1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由; (2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长. 练习 1.[2020江苏宿迁湖滨新区模拟]如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使点D落到EF上的点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后,∠DAG的度数为 (　 　) A.30° B.45° C.60° D.75° 2.如图,将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点B落在点B'处,其中AB=9,BC=6,则FC'的长为　 　.  3.如图,四边形OABC为矩形,点A,C分别在x轴和y轴上,连接AC,点B的坐标为(8,6),以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC,AO于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于1/2MN长为半径画弧,两弧交于点Q,作射线AQ交y轴于点D,则点D的坐标为 (　 　) A.(0,1) B.(0,8/3) C.(0,5/3) D.(0,2) 4.如图,沿DE折叠矩形ABCD,使点C落在AB边上的点F处,若AD=8,且△AFD的面积为60,则△DEC的面积为 　 .  5.如图,将甲、乙两张不同的纸片分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则 (　 　) A.甲、乙都可以 B.甲、乙都不可以C.甲不可以,乙可以 D.甲可以,乙不可以 6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC,点F是CD的中点,则EF的最大值为 (　 　) A.8 B.9 C.10 D.2√41 7.一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形(如图所示),则该矩形纸片的长与宽的比为　 　.  8.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF=　 　°.  9.若以正方形ABCD的边CD为边作等边三角形CDE,则∠AED的度数是　 　.  10.已知四边形ABCD为菱形,该菱形的周长为16,面积为8,则∠ABC的度数为　 　.  11.矩形ABCD中,∠ABC的平分线与直线CD相交于点E,DE=2,CD=4,则这个矩形的面积是　 　.  12. 矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD于点E,若OE∶ED=1∶3,AE=√3,则BD=　 　.  13.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动.设点D,E运动的时间是t s(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF. (1)求证:AE=DF. (2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由. (3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由. 14.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,将∠MAN绕点A接顺时针方向旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N. (1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),求证:BM+DN=MN. (2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间的数量关系是 . (3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系,并对你的猜想加以说明. 15.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,正方形A'B'C'D'的顶点A'与点O重合,A'B'交BC于点E,A'D'交CD于点F. (1)求证:OE=OF. (2)若正方形ABCD的边长为1,求两个正方形重叠部分的面积. (3)在(2)的条件下,若正方形A'B'C'D'绕着点O旋转,EF的长度何时最小?最小值是多少? 答案 例1.　【解析】　 如图,过点M作MF⊥BC于点F,∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,点E为BC的中点,∴∠DBC= 1/2∠ABC=30°,AE⊥BC,∴MF=1/2BM,∴AM+1/2BM=AM+MF,∴当A,M,F三点共线时,AM+MF取得最小值,∴AM+1/2BM的最小值为. 【变式1】.√3　【解析】　有关直线同侧的折线段相加值最小问题,常转化为直线两侧两点之间线段最短问题,即将点B借助菱形的对称性转移到点D,如图,连接DE交AC于点P,易知PB=PD,此时PE+PB的最小值为DE的长.因为四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,所以AD=AB=2,AE=1/2AB=1.易知DE垂直平分AB,在Rt△ADE中,DE=√AD^2−AE^2=√3,即PE+PB的最小值为√3. 【变式2】.　【解析】　连接AP.在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°,又∵PE⊥AB,PF⊥AC,∴四边形AEPF是矩形,∴EF=AP.∵M是EF的中点,∴AM=1/2EF=1/2AP.由题意知,AP的最小值即Rt△ABC斜边上的高,易得AP的最小值为12/5,∴AM 的最小值是1/2×12/5=6/5.故选D. 【变式2】.√17　【解析】　在AD上取一点M,使得AM=2,连接EM,交AC于点P,易知此时PF+PE取最小值,即EM的长.过点M作MN⊥BC于点N,由题意可知EN=BN-BE=AM-BE=2-1=1,MN=AB=4,所以EM=√EN^2+MN^2=√1^2+4^2=√17. 例2.75　【解析】　如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,∴AB=AD,∠ADC=120°,∠C=60°,△ABD是等边三角形.∵P为AB的中点,∴DP平分∠ADB,∴∠ADP=30°,∴∠PDC=∠ADC-∠ADP=90°,由折叠可知∠CDE=∠PDE, ∴∠CDE=45°,在△DEC中,∠DEC=180°-∠C-∠CDE=75°. 【变式1】.56　【解析】　由折叠可知∠CFP=∠GFP=62°,∴∠HFG=180°-∠CFP-∠GFP=56°,∵HE∥FG,∴∠EHF= ∠HFG= 56°. 【变式2】.【解析】　由已知得∠EAC=∠CAB,且∠CAB=∠ECA, ∴∠EAC=∠ECA,∴AE=EC=8-3=5.在Rt△ADE中,AD=√AE^2−DE^2=4. 延长HP交AB于点M,则PM⊥AB, ∵∠CAB'=∠CAB,PG⊥AB',PM⊥AB,∴PG=PM,∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4. 例3.(-1,-1)　【解析】　由菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),得点D的坐标为(1,1).每秒旋转45°,则第60秒时,旋转了45°×60=2 700°,2 700÷360=7.5(周), 即OD旋转了7周半,故第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为(-1,-1). 【变式1】(3,2). 【变式2】∵正方形OABC 绕坐标原点O顺时针旋转，每 秒旋转90°, ∴旋转4秒恰好旋转360° ∵2023÷4=505......3, 旋转2023秒，即点D 旋转了505圈后，又旋转了3次. ∵3×90°=270°, ∴此时点D 对应的位置即点D '所在的位置， 如图.过点D,D '分别作DE⊥x 轴于点E,D'F⊥x 轴 于点F,∴∠D'FO=∠OED=90°, ∴∠EOD+∠EDO=90°, ∵四边形OABC 是正方形，∴∠AOC=90°,∴∠FOD′+∠DOE=90°, ∴∠D'OF=∠ODE. 在△D'OF 和△DOE 中， (∠FD'0=∠OED ∠D'OF =∠ODE, OD=OD' ∴△D'FO≌△OED(AAS), ∵点D 的坐标为(1,2),∴OF=DE=2,D'F=OE=1.又点D '在第二象限， ∴旋转2023秒后，点D 的坐标为(-2,1). 例4..【解析】　如图,过点D'作MN⊥AB,交CD于点N,交AB于点M,连接BD'. ∵点D的对应点D'落在∠ABC的平分线上,∴D'M=BM. 设BM=D'M=x,则AM=7-x.由折叠知,AD=AD'=5. 在Rt△D'AM中,D'M2=AD'2-AM2,∴25-(7-x)2=x2,∴x=3或x=4,即D'M=3或D'M=4. 设DE=m,则D'E=m,分两种情况讨论: (1)当D'M=3时,BM=NC=3,D'N=2,EN=CD-DE-NC=7-m-3=4-m. 在Rt△D'NE中,m2=(4-m)2+22,∴m=5/2,即DE=5/2. (2)当D'M=4时,BM=NC=4,D'N=1,EN=CD-DE-NC=7-m-4=3-m. 在Rt△D'NE中,m2=(3-m)2+12,∴m=5/3,即DE=5/3. 综上,DE的长为5/2或5/3. 【变式1】.3/2或3　【解析】　由题意知,需分两种情况讨论:①当∠CB'E=90°时,如图1,由折叠得,∠AB'E=∠B=90°,AB=AB',∴∠AB'C=180°, ∴A, B' ,C三点共线.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,∴AC=5.∵AB'=AB=3, ∴B'C=AC-AB'=2.设BE=x,则CE=BC-BE=4-x,B'E=x,在Rt△B'CE中, B'E2+B'C2=CE2,即x2+22=(4-x)2,解得x=3/2.②当∠B'EC=90°时,如图2,由折叠可知△ABE≌△AB'E,∴BE=B'E,∠B=∠AB'E=90°,∴四边形ABEB'是正方形,∴BE=AB=3.综上所述,当△CEB'为直角三角形时, BE的长为3/2或3. 【变式2】.5或6　【解析】　如图1,当BC为底边时,PB=PC.由“SAS”可证△ABP≌△DCP,所以AP=PD=1/2AD=1/2BC=3.在Rt△ABP中,由勾股定理,得PB=√AB^2+AP^2=√4^2+3^2=5.如图2,当CP为底边时,则BP=BC=6.综上所述,PB的长为5或6. 例5.【解析】　(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下: ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°. ∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠CDF. ∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴∠APD=90°,∴AE⊥DF. (2)成立. (3)成立.理由如下: 同(1)可证AE=DF,∠DAE=∠CDF. 如图,延长FD交AE于点G,则∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°,∴∠AGD=90°, ∴AE⊥DF. 7.【解析】　(1)∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形, ∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,∴△ADG≌△ABE,∴∠AGD=∠AEB. 如图1,延长EB交DG于点H. 在△ADG中,∠AGD+∠ADG=90°,∴∠AEB+∠ADG=90°, ∴∠DHE=180°-(∠AEB+∠ADG)=90°,∴DG⊥BE. (2)∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE, ∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,∴∠DAG=∠BAE,又∵AD=AB,AG=AE,∴△ADG≌△ABE,∴DG=BE. 如图2,过点A作AM⊥DG于点M,则∠AMD=∠AMG=90°, ∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠MDA=45°.在Rt△AMD中,∠MDA=45°,AD=2, 可得DM=AM=√2,在Rt△AMG中,GM=√AG^2−AM^2=√6, ∴DG=DM+GM=√2+√6,∴BE=DG=√2+√6. 1.C　【解析】　如图,设AM与EF交于点N,由题意得∠1=∠2,AN=MN, ∠MGA=90°,∴NG=1/2AM,∴AN=NG,∴∠2=∠4.∵EF∥AB,∴∠4=∠3, ∴∠1=∠2=∠3=1/3×90°=30°,∴∠DAG=60°.故选C. 2.5　【解析】　由题意可知,C'D=1/2AD=1/2BC=3.设CF=x,则FC'=x,DF=9-x.在Rt△C'DF中,DF2+C'D2=FC'2,即(9-x)2+32= x2, 解得x=5,所以FC'=5. 3.B　【解析】　如图,过点D作DE⊥AC于点E.∵四边形OABC为矩形,点B的坐标为(8,6),∴OA=8,OC=6,∴AC=10.由题意可得AD平分∠OAC,∴∠DAE=∠DAO, ∵AD=AD,∠AOD=∠AED=90°,∴△ADO≌△ADE,∴AE=AO=8,OD=DE,∴CE=2. ∵CD2=DE2+CE2,∴(6-OD)2=4+OD2,∴OD=8/3,∴点D(0,8/3).故选B. 4.289/8　【解析】　∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°,BC=AD=8,CD=AB.在Rt△AFD中,△AFD的面积为60, ∴1/2 AD·AF=60,解得AF=15,∴DF=√AD^2+AF^2=17.由折叠的性质,得CD=DF=17,∴AB=17,∴BF=AB-AF=17-15=2.设CE=x,则EF=CE=x,BE=BC-CE=8-x.在Rt△BEF中,EF2=BF2+BE2,即x2=22+(8-x)2,解得x=17/4,即CE=17/4,∴△DEC的面积为1/2 CD·CE=289/8. 5.A　【解析】　对剪开后的纸片进行旋转平移操作,可得如图所示的图形,可见甲、乙都可以拼成和原来面积相等的正方形.故选A. 6.B　【解析】　如图,取BC的中点为O,连接OE,OF.∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=6,AD=BC=8,∠BCD=90°,∵点F是CD的中点,点O是BC的中点, ∴CF=3,CO=4,∴OF=5.∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点,∴OE=OC=4.根据三角形三边关系可得OE+OF≥EF,∴当点O、点E、点F共线时,EF取得最大值,最大值为OE+OF=4+5=9.故选B. 7.2∶√3　【解析】　根据折叠的性质,得BC'=BC,∠ABC'=∠C'BE=∠EBC.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠A= 90°,∴∠ABC'=1/3∠ABC=30°,∴在Rt△ABC'中,AC'∶AB∶BC'=1∶√3∶2,∴BC∶AB=2∶√3,∴该矩形纸片的长与宽的比为2∶√3. 8.60　【解析】　如图,连接BD,BF.∵∠BAD=80°,∴∠ADC=100°.∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,∴AF=BF,BF=DF,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD=1/2∠BAD=40°,∴∠CDF=100°-40°=60°. 9.15°或75°　【解析】　有两种情况:(1)当点E在正方形ABCD内时,如图1,在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADC=90°,在等边三角形CDE中,CD=DE,∠CDE=60°,∴∠ADE=90°-60°=30°,AD=DE,∴∠AED=∠DAE=1/2(180°-∠ADE)=75°;(2)当点E在正方形ABCD外时,如图2,在等边三角形CDE中,∠EDC=60°,∴∠ADE=90°+60°=150°,∴∠AED=∠DAE=1/2(180°-∠ADE)=15°.综上,∠AED的度数是15°或75°. 10.30°或150°　【解析】　如图1,当∠ABC为锐角时,过点A作AE⊥BC于点E,∵菱形ABCD的周长为16,∴AB=4,又∵菱形ABCD的面积为8,∴AE=2,∴∠ABE=30°,即∠ABC=30°.如图2,当∠ABC为钝角时,过点D作DF⊥AB于点F,∵菱形ABCD的周长为16,∴AD=4,又∵菱形ABCD的面积为8,∴DF=2,∴∠DAF=30°,∴∠ABC=150°.故∠ABC的度数为30°或150°. 11.8或24　【解析】　①如图1,当点E在CD上时,∵DE=2,CD=4,∴CE=CD-DE=2.∵BE平分∠ABC,∠ABC= ∠C=90°, ∴∠CBE=45°,△BCE是等腰直角三角形,∴BC=CE=2,S矩形ABCD=BC·CD=8;②如图2,CE=CD+DE=6,易知△BCE是等腰直角三角形,∴BC=CE=6,S矩形ABCD=BC·CD=24.综上,这个矩形的面积为8或24. 12.4或8√5/5　【解析】　由于不能确定AB为矩形ABCD的长边还是短边,故需分两种情况讨论:①如图1,若AB是矩形ABCD的较短边,设OE=x,则ED=3x,AO=OD=2x,在Rt△OEA中,AO2=AE2+OE2,即(2x)2=3+x2,所以x=1,所以OD=2,所以BD=2OD=4;②如图2,若AB是矩形ABCD的较长边,设OE=y,则ED=3y,AO=OD=4y,在Rt△OEA中,AO2=AE2+OE2,即(4y)2=3+y2,所以y=√5/5,所以OD=4√5/5,所以BD=2OD=8√5/5.综上,BD的长为4或8√5/5. 13.【解析】　(1)依题意,得CD=4t,AE=2t. 在Rt△ABC中,∠C=90°-∠A=30°. 在Rt△CDF中,∠C=30°,∴DF=1/2CD=2t,∴AE=DF. (2)能.理由如下: ∵DF⊥BC,∠B=90°,∴DF∥AB,由(1)知DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形. 当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,则60-4t=2t,解得t=10, ∴当t=10时,四边形AEFD是菱形. (3)当t=15/2时,△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°).理由如下:当∠EDF=90°时,DE∥BC, ∴∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE,∴60-4t=2·2t,解得t=15/2(符合题意). 当∠DEF=90°时,DE⊥EF, ∵四边形AEFD是平行四边形,∴AD∥EF,∴DE⊥AD,∴△ADE是直角三角形,∠ADE=90°. ∵∠A=60°,∴∠DEA=30°,∴AD=1/2AE,∴60-4t=1/2·2t,解得t=12(符合题意). 综上,当t=15/2时,△DEF是直角三角形(∠EDF=90°);当t=12时,△DEF是直角三角形(∠DEF=90°). 14.【解析】　(1)如图1,延长CB至点E,使得BE=DN,连接AE. 易证△ABE≌△ADN, ∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°, ∵∠MAN=45°,∴∠EAM=∠MAN, 又∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM,∴ME=MN,即BM+BE=MN,∴BM+DN=MN. (2)BM+DN=MN (3)DN-BM=MN.理由如下: 如图2,在DC上截取DE=BM,连接AE.易证△ADE≌△ABM,∴∠DAE=∠BAM,AE=AM, ∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°, ∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠MAN, 又∵AN=AN,∴△MAN≌△EAN,∴EN=MN,即DN-DE=MN,∴DN-BM=MN. 15.【解析】　(1)∵正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O, ∴∠BOC=90°,∠OBC=∠OCF=45°,OB=OC. ∵四边形A'B'C'D'是正方形,∴∠EOF=90°. ∵∠BOE=∠BOC-∠EOC=90°-∠EOC,∠COF=∠EOF-∠EOC=90°-∠EOC, ∴∠BOE=∠COF. 在△BOE和△COF中,{■(∠BOE=∠COF,@OB=OC,@∠OBC=∠OCF,)┤ ∴△BOE≌△COF, ∴OE=OF. (2)∵△BOE≌△COF,∴S_△_BOE=S_△_COF, ∴S_△_EOC+S_△_COF=S_△_EOC+S_△_BOE, 即S_四边形OECF_ =S_△BOC_ . ∵S_△_BOC=1/4S正方形ABCD=1/4×1×1=1/4, ∴两个正方形重叠部分的面积为1/4. (3)当OE垂直于BC时,EF的长度最小,最小值为√2/2. 连接EF,∵∠EOF=90°,∴EF2=OE2+OF2. ∵OE=OF,∴EF2=2OE2, ∴要使EF的长度最小,则OE的长度最小, 当OE垂直于BC时,OE最小,此时OE=1/2,则EF=√2/2. ∴当OE垂直于BC时,EF的长度最小,最小值为√2/2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$